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2015年高考数学模拟预测试卷(新课标)29

2015 年高考数学模拟预测试卷(新课标)

1. 三段论推理“①矩形是平行四边形; ②三角形不是平行四边形; ③三角形不是矩形” 中的小前提是( ) A.① B.② C.③ D.①和② 2.四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在 1、2、3、4 号位置上(如图), 第 1 次前后排动物互换位置,第 2 次左右列互换座位,??这样交替进行下去,那么第 2014 次互换座位后,小兔的位置对应的是( )

A.编号 1 B.编号 2 C.编号 3 D.编号 4 2 2 3 3 4 4 5 5 10 3.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a 10 +b =( ) A. 28 B. 76 C. 123 D. 199 4.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0? a=b”,类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0? a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di? a=c,b=d”,类比推出,“若 a,b, c,d∈Q,则 a+b 2 =c+d 2 ? a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0? a>b”,类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0? a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1? -1<x<1”,类比推出“若 z∈C,则|z|<1? -1<z<1”. 其中类比正确的为( ) A.①② B.①④ C.①②③ D.②③④ 5. 已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个“整数对”是( ) A.(7,5) B.(5,7) C.(2,10) D.(10,1)

6.观察下列不等式:①

1 1 1 1 1 1 <1;② + < 2 ;③ + + < 3 ;?. 2 2 6 2 6 12

则第 n 个不等式为________. 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比 以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 比数列. 8.观察下列等式:

T16 成等 T12

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可以推测:1 +2 +3 +?+n =________(n∈N ,用含 n 的代数式表示). 9.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出现在第 2 行; 数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行; 数字 7,8,9,10 出现在第 4 行, 依此类推,则(1)按网络运作顺序第 n 行第 1 个数字(如第 2 行第 1 个数字为 2,第 3 行 第 1 个数字为 4,?)是________;(2)第 63 行从左至右的第 4 个数字应是________.

3

3

3

3

*

10.在锐角三角形 ABC 中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC. 11.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的 四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规 律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据 你得到的关系式求出 f(n)的表达式;
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(3)求

1 1 1 1 + + +?+ 的值. f ?1? f ? 2 ? ? 1 f ? 3? ? 1 f ? n? ?1

12. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师, 单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形, 如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图 有 19 个蜂巢,按此规律,以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢总数.

(1)试给出 f(4),f(5)的值,并求 f(n)的表达式(不要求证明); (2)证明:

1 1 1 1 4 + + +?+ < . f ? 3? f ? n? 3 f ?1? f ? 2 ?
得分 四、新添加的题型

评卷人

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参考答案 1.B 【解析】①的逆否命题是:“不是平行四边形的四边形一定不是矩形”,由演绎推理三段论 可知,①是大前提;②是小前提;③是结论. 2.C 【解析】由已知和图形得,小兔自第 1 次交换位置后依次坐在④→③→①→②→④?,得到 每 4 次一个循环.因为 2014÷4 的余数为 2,所以第 2014 次交换位置后,小兔的位置和第 2 次交换的位置相同,即编号为 3. 3.C 【解析】观察各等式的右边,它们分别为 1,3,4,7,11,?, 发现从第 3 项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,? 10 10 故 a +b =123. 4.A 【解析】对于③,“若 a,b∈C,则 a-b>0? a>b”是错误的,如 a=2+i,b=1+i,则 a -b=1>0,但 2+i>1+i 不正确;对于④,“若 z∈C,则|z|<1? -1<z<1”是错误的,如 y =

1 1 1 1 2 + i,|y|= <1,但-1< + i<1 是不成立的.故选 A. 2 2 2 2 2

5.B 【解析】依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知每组中每个“整数对”的和 为 n+1,且每组共有 n 个“整数对”,这样前 n 组一共有

n ? n ? 1? 个“整数对”,注意到 2

10 ?10 ? 1? 11?11 ? 1? <60< ,因此第 60 个“整数对”处于第 11 组(每个“整数对”的和为 2 2
12 的组)的第 5 个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为 12 的组中的各对数依次为: (1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),?,因此第 60 个“整数对”是(5,7),选 B. 6.

1 1 1 1 + + +?+ < n 2 6 12 n ? n ? 1? 1 1 1 1 + + +?+ < n. 2 6 12 n ? n ? 1?

【解析】观察题中不等式知,分母中根号下被开方数依次是 1×2;2×3;3×4;?,所以 所求的不等式为

7.

T8 T4

T12 T8

【解析】对于等比数列,通过类比,有等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4=b1b2b3b4,T8= b1b2?b8, T12=b1b2?b12, T16=b1b2?b16, 因此

T8 T T =b5b6b7b8, 12 =b9b10b11b12, 16 =b13b14b15b16, T4 T8 T12

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而 T4,

T8 T12 T16 T T T 16 , , 的公比为 q ,因此 T4, 8 , 12 , 16 成等比数列. T4 T8 T12 T4 T8 T12

8.

1 2 2 n (n+1) 4
3 3 3 3 2

【解析】第二列等式右边分别是 1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,与第一列等式右边比较 即可得,1 +2 +3 +?+n =(1+2+3+?+n) =

1 2 2 n (n+1) . 4

n2 ? n ? 2 9. 2

2013

【解析】 设第 n 行的第 1 个数字构成数列{an}, 则 an+1-an=n, 且 a1=1, ∴an=

n2 ? n ? 2 , 2

而偶数行的顺序从左到右,奇数行的顺序从右到左,第 63 行的第 1 个数字为 1954,从左至 右的第 4 个数字是从右至左的第 60 个数字,从而所求数字为 1954+59=2013. 10.见解析 【解析】证明:∵△ABC 为锐角三角形,

? ? ,∴A> -B, 2 2 ? ∵y=sinx 在(0, )上是增函数, 2 ? ∴sinA>sin( -B)=cosB, 2
∴A+B> 同理可得 sinB>cosC,sinC>cosA, ∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC. 11. (1)41 2 (2)f(n)=2n -2n+1. (3)

3 1 - . 2 2n

【解析】解:(1)f(5)=41. (2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ?? 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n, 2 ∴f(n)=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4=2n -2n+1(n≥2). 又 n=1 满足上式, 2 所以 f(n)=2n -2n+1. (3)当 n≥2 时,

1 1 1 1 1 = = ( - ), f ? n ? ? 1 2n ? n ? 1? 2 n ? 1 n

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1 1 1 1 + + +?+ f ?1? f ? 2 ? ? 1 f ? 3? ? 1 f ? n? ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 (1- + - + - +?+ - ) 2 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 1 =1+ (1- ) 2 n 3 1 = - . 2 2n
=1+ 12. (1)f(n)=3n -3n+1 (2)见解析 【解析】解:(1)f(4)=37,f(5)=61. 由于 f(2)-f(1)=7-1=6, f(3)-f(2)=19-7=2×6, f(4)-f(3)=37-19=3×6, f(5)-f(4)=61-37=4×6, ? 因此,当 n≥2 时,有 f(n)-f(n-1)=6(n-1), 所以 f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+?+[f(2)-f(1)]+f(1) =6[(n-1)+(n-2)+?+2+1]+1 2 =3n -3n+1. 2 又 f(1)=1=3×1 -3×1+1, 2 所以 f(n)=3n -3n+1. (2)证明:当 k≥2 时,
2

1 1 1 1 1 1 = 2 < 2 = ( - ). f ? k ? 3k ? 3k ? 1 3k ? 3k 3 k ? 1 k
所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +?+ <1 + [(1 - ) + ( - ) +?+ ( - 3 2 2 3 n ?1 f ? 2? f ? 3? f ? n? f ?1?

1 )] n
=1+

1 1 1 4 (1- )<1+ = . 3 n 3 3

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