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丹东市2013届高三总复习质量测试(二)文科数学


丹东市 2013 届高三总复习质量测试(二)

数 学(供文科考生使用)
命题:宋润生 顾 凯 宫卫东 校对、审核:宋润生 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)题~ 第(24)题为选考题,其它题为必考题.第 I 卷 1 至 3 页,第 II 卷 3 至 6 页.考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. (1)集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M ? N ? (A) (0, 2] (B) (0, 2) (C) (1, 2] (D) (1, 2)

(2)把复数 z 的共轭复数记作 z ,复数 z ? 3 ? i ( i 为虚数单位) ,则复数 面内所对应的点在 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限

z 在复平 1? i

(D)第四象限

(3)已知 M ( x0 , y0 ) 是抛物线 C : y 2 ? 8x 上一点, F 为抛物线 C 的焦点,若 | MF |? 4 , 则 x0 的取值范围是 (A) (??, 2) (B) (2, ??) (C) (??, 4) (D) (4, ??)

(4)下列命题中,真命题的是 (A) ?x0 ? R, e 0 ? 0
x

(B) ?x ? R, 2 ? x
x

2

(C) “若 x ? 3 ,则 x ? 2 ”的否命题 (D) x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 “
2

数学试题第 1 页(共 12 页)

?x ? 2 y ? 2 ? (5)变量 x、 y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 3x ? y ? 3 的取值范围是 ? 4 x ? y ? ?1 ?
(A) [ ,9]

3 2

(B) [ , 6]

3 2

(C) [?2,9]

(D) [2,9]

(6)如下图,正三棱锥的主视图由等腰直角三角形 ABC 及斜边 AB 上的高组成, 如果 AB ? 2 3 ,那么这个正三棱锥的体积是 (A) 3 3 C (B) 3 (C) 9 (D) 3 A B

(7)若圆 C 与直线 x ? y ? 4 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 都相切,则当圆 C 的半 径最小时,圆 C 的方程是 (A) ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 (C) ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 (B) ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 8 (D) ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 8

(8)已知函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? f ( ) log 2 x ,则 f (?2) ? (A) 1 (B) 3 (C) ?1
开始 输入 x

1 2

(D) ?3

(9)右图所示的是根据输入的 x 值计算 y 的值的程序 框图,若 x 依次取数列 ? 则所得 y 值的最小值为 (A) 28 (B) 27 (C) 9 (D) 4 5
数学试题第 2 页(共 12 页)

?n ? 5? * ? ( n ? N ) 中的项, ? n ?
2

x ? 4.5




y ? 6x
输出 结束

y ? 2x

y

(10)已知直线 x ? 0 和 x ? ( ? ? 0,| ? |?

?
2

是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? 3 cos(? x ? ? )

?
2

)图象的两条相邻的对称轴,则

(A) f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, (B) f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, (C) ? ? (D) ? ?

?

?

2

) 上为单调递增函数 ) 上为单调递减函数

?
?
6
6

,在 f ( x ) 在 (0, ,在 f ( x ) 在 (0,

?
?
2

2

) 上为单调递减函数

) 上为单调递增函数 2 ? (11)在△ ABC 中, ?A ? 60 , ? A 的内角平分线 AD 将 BC 分成 BD、DC 两段,若 ???? 1 ??? ? ???? 向量 AD ? AB ? ? AC (? ? R ) ,则 ?B ? 3 ? ? ? ? (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 90
(12)已知球的半径为 5 ,球面被互相垂直的两个平面所截,两个截面圆的半径分别是

4 和 2 3 ,则这两个截面圆的公共弦长为
(A) 3 (B) 2 3 (C) 6 (D) 2 13

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生 都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当某人到达路口时看见的是红灯的概率是
3 2 2

; ;

(14)函数 f ( x) ? x ? ax ? ax ? a 存在极值点,则实数 a 的取值范围是 (15)设 a、b、c 分别表示△ ABC 的内角 A、B、C 的对边,若 a ? b ? 3bc ,
2 2

sin C ? 2 3 sin B ,则 ? A ?
(16)过双曲线



x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F1 作一条渐近线的垂线,垂足 a 2 b2

为 A ,与另一条渐近线交于点 B ,若 A 恰好是 F1 B 的中点,则双曲线的离心 率是 .
数学试题第 3 页(共 12 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 曲线 y ? xn (n ?N* ) 在点 (2, 2n ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 an . (I)求数列 {an } 的通项公式 an ; (II)设 bn ? (2 ? an )(2 ? an?2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ,求证

4 ? Sn ? 3 . 3

(18) (本小题满分 12 分) 某同学在生物研究性学习中,对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系 进行观测研究,于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究,且分别记录了每天 昼夜温差与每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料: 日 期 温差 x / ?C 发芽数 y / 颗 4月1日 4月7日 4 月 15 日 4 月 21 日 4 月 30 日 10 11 13 12 8 23 25 30 26 16 (I)从这 5 天中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m、n ,求事件“ m、n 均不小于

25”的概率; (II)请根据 4 月 7 日、4 月 15 日、4 月 21 日三天的数据,求出 y 关于 x 的线性回

? ? ? 归方程 y ? bx ? a ;
(III)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗, 则认为得到的线性回归方程是可靠的,若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两组数据作为 检验数据,试问(II)中所得的线性回归方程是否可靠?

? 参考公式: b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? , a ? y ? bx ;

参考数据: 11? 25 ? 13 ? 30 ? 12 ? 26 ? 977 , 112 ? 132 ? 122 ? 434 .

数学试题第 4 页(共 12 页)

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在空间几何体 ABCDE 中,平面 ACD ? 平面 ABC ,△ ABC 和△ ACD 都

BE 是边长为 2 的等边三角形, ? 2 , E 在平面 ABC 内的射影落在 ?ABC 的平分线上, 点
若 DE // 平面 ABC . (I)求 DE 边的长度; (II)求棱锥 A ? CDE 的体积与 棱锥 A ? BCE 的体积的比值. A C B D E

(20) (本小题满分 12 分) 已知 e 为椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率,点 (1 ,e) 和 (e , ) 都在椭圆上. 2 2 a b

(I)求椭圆的方程; (II)若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆相交于 A、B 点,在直线 x ? y ? 1 ? 0 存在 点 P ,使得 OA ? OB ?

??? ??? ? ?

? 4 ??? OP ( O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程. 3

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 (ln x ? ? ax) , a ? 0 . 2 x 2

(I)若 a ? 2 ,求证:函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? 0 ; (II)若函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上没有单调性且没有零点,求实数 a 的取值范围.

数学试题第 5 页(共 12 页)

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答,如果多答,则按答题位置最 、 、 前的题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过 A 点的直线分别与⊙O1 、⊙O2 相文于 C、D 两点,以 C、D 为切点分别作两圆的切线相交于点 E . (I)若 EA 的延长线与⊙O1 交于点 M , 证明切割线定理: EC ? EA ? EM
2

E

D C O1 M B A O2

(II)证明: E、C、B、D 四点共圆.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?2 ? 3t ? ( t 为参数) ,以原点 O 为极 ?y ? t ?

点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ,直线 l 与 曲线 C 的公共点为 M . (I)求点 M 的极坐标; (II)经过 M 点的直线 l ' 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ' 的极坐标方程.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a . (I)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,求实数 a 的值; (II)在(I)的条件下,若存在实数 t 使 f ( ) ? m ? f ( ?t ) 成立,求实数 m 的取值 范围.

t 2

数学试题第 6 页(共 12 页)

丹东市 2013 届高三总复习质量测试(二)

数学(文科)试题参考答案与评分参考
说明: 一、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)C (7)C (2)D (8)D (3)B (9)B (4)D (10)A (5)A (11)A (6)D (12)B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)

2 5

(14) (??,0) ? (3, ??)

(15)

? 6

(16) 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17)解: (I)∵ y ' ? n ? x n?1 , 分) ∴切线方程为 y ? 2n ? n ? 2n?1 ( x ? 2) , 分) 令 y ? 0 ,得 an ? 2 ? 分) (II)∵ bn ? 分) ∴ S n ? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? ??? ? 2( ? ???? ( 4 ???? ( 2

2 ; n

???? ( 6

4 4 1 1 ? 2( ? ) ? 0 ,∴ Sn ? S1 ? , 3 n(n ? 2) n n?2

???? ( 8

1 3

1 2

1 4

1 n

1 ) n?2

数学试题第 7 页(共 12 页)

? 2(1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ) ? 2( ? ? ??? ? ) 2 3 n 3 4 n?2
???? ( 10

? 3?
分)

2 2 ? , n ?1 n ? 2

∵ n ? N ,∴ Sn ? 3 ,因此
*

4 ? Sn ? 3 . 3

???? ( 12

分) (18)解: (I) (m,n) 的所有取值情况有 (23,25)(23,30)(23,26)(23,16)(25,30) , , , , (25,26)(25,16)(30, , , 26)(30,16)(26,16) , , ,共有 10 个, ????(2 分)

设“ m、n 均不小于 25”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件有 (25,30)(25,26) , (30,26) , ∴ P( A) ?
3 3 ,故事件 A 的概率为 ; 10 10
2

????(4 分)

(II)由数据得 x ? 12, y ? 27 , 3x y ? 972 , 3x ? 432, 又

?x y
i i ?1

3

i

? 977 ,

?x
i ?1

3

2 i

? 434 ,

? ?b?

977 ? 972 5 5 ? ? , a ? 27 ? ? 12 ? ?3 . 434 ? 432 2 2

? ∴ y 关于 x 的线性回归方程为 y ?

5 x ?3; 2

????(8 分)

? ? (III)当 x ? 10 时, y ? 22 ,|22-23| ? 2 ,当 x ? 8 时, y ? 17, |17-16| ? 2 ,

∴得到的线性回归方程是可靠的. (19)解: (I)取 AC 中点 O ,连结 BO、DO , 作 EF ? 平面 ABC ,则垂足 F 在 BO 上, ∵ DO ? AC ,平面 ACD ? 平面 ABC , 交线是 AC ,∴ DO ? 平面 ABC , 则 EF // DO ,∴ E、F、O、D 共面, ∵ DE // 平面 ABC ,面 EFOD ? 面 ABC ? OD ,
数学试题第 8 页(共 12 页)

????(12 分)

∴ DF // OF ,∴ EF ? DO ? 3 , ∴ BF ? 1 , DE ? OF ? 3 ?1 ; (II)∵ VA?CDE ? VE ? ACD , VA? BCE ? VE ? ABC , 由(I)棱锥 E ? ACD 和棱锥 E ? ABC 的高分别是 ED 和 EF , 它们的底面△ ABC 和△ ACD 全等, ∴ ????(6 分)

VE ? ACD DE 3 . ? ? 1? VE ? ABC EF 3

????(12 分)

(20)解: (I)由题设知, a2 =b2 ? c2,e= 得

c e ,由点 (1 , ) 在椭圆上, a
????(2 分)

1 a
2

?

c2 a b
2 2

=1 ,∴ b 2 =1 , c 2 =a 2 ? 1 ,

3 c2 由点 (e , ) 在椭圆上,得 4 ? 2 a

(

3 2 ) a2 ? 1 3 2 ? 1 ,即 4 ? ? 1 , a 2 =2 , 4 1 a
????(4 分)

x2 ? y 2 ? 1; ∴椭圆 C 的方程是 2

(II)∵点 M (2,0) 在椭圆外,∴直线 AB 的斜率存在,设 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 ,得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 , 2 ? 2 ? y ?1 ?

? ? 64k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 ,得 k 2 ?

1 2 2 ?k? ,即 ? , 2 2 2
????(6 分)

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) ,则 x1 ? x 2 ? ∵ OA ? OB ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
????(8 分)

??? ??? ? ?

? 4 ??? 4 OP ,即 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ( x0 , y0 ) , 3 3

3( y1 ? y2 ) 3[k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] 3k 3( x1 ? x2 ) 6k 2 ? ?? ? ∴ x0 ? , y0 ? , 2 4 4 1 ? 2k 2 4 1 ? 2k
数学试题第 9 页(共 12 页)

∵ P 点在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, ∴ ∵?

1 6k 2 3k ? ?1 ? 0 , 解得 k ? ? , k ? 1 , 或 2 2 4 1 ? 2k 1 ? 2k

1 2 2 ,∴ k ? ? , ?k? 4 2 2 1 ( x ? 2) . 4
????(12 分)

∴直线 l 的方程是 y ? ? (21)解:

(I)若 a ? 2 , f ?( x) ? ?

2 (ln x ? x ? 1) , x3 1? x ,定义域是 x ? 0 , x

????(2 分)

设 g ( x) ? ln x ? x ? 1, g ?( x ) ?

在 (1, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 是减函数,在 (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 是增函数, ∴ g ( x) 在 (0, ??) 上最大值是 g (1) ? 0 , 即 ln x ? x ? 1 ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 ; ????(6 分)

(II)由 f ( x ) 在 (0, ??) 无单调性可知,当 x ? (0, ??) 时, f ?( x ) 必有零点, ????(8 分) ∵ f ?( x) ? ?

2 a (ln x ? 1 ? x) , 3 x 2 2 a (ln x ? 1 ? x) 有正根, 3 x 2

∴当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? ?

2 a( x ? ) a a , p( x) 在 (0, 2 ) 递增、 即函数 p ( x) ? ln x ? 1 ? x 有正零点, p ?( x) ? ? 2 a 2x
在 ( ,?? ) 递减, p ( x) max ? p ( ) ? 0 ,解得: a ? 2 ; (1) 再由 f ( x ) 在 (0, ??) 无零点可知,设 h( x) ? ln x ? 令 h?( x) ?

2 a

2 a

????(10 分)

3 ? ax , 2

1 1 ? ax 1 ?a ? ? 0 ,得 x ? , x x a

1 1 ? h( x) 在 ( , ??) 上是减函数, h( x) 在 (0, ) 上是增函数, a a
数学试题第 10 页(共 12 页)

∴ h( x) 在 (0, ??) 最大值是 h( ) ? ? ln a ? 当 h ( ) ? 0 ,即 a ?

1 a

1 , 2

1 a

(2) e 时, f ( x) 在 (0, ??) 没有零点; ????(12 分)

由(1)(2) 、 ,∴ a ? ( e , 2) . (22)证明: (I)连结 CM ,∵ EC 是⊙O1 切线,∴ ?ECA ? ?EMC , ∵ ?CEM ? ?AEC ,∴△ ECA ~ △ EAC , ∴

EC EA 2 ? ,∴ EC = EA EM ; EM EC

????(5 分)

(II)连结 CB、DB ,∵ EC 是⊙O1 在 C 点的切线, ∴ ?ECA ? ?CBA ,同理 ?EDA ? ?DBA , ∴ ?DEC ? ?CBD ? ?DEC ? (?CBA ? ?DBA)

? ?DEC ? (?ECA ? ?EDA) ? 180? ,
∴ E、C、B、D 四点共圆. (23)解: (I)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 , 将? ????(10 分)

? x ? ?2 ? 3t ? 2 代入上式并整理得 t ? 2 3t ? 3 ? 0 ,解得 t ? 3 , ?y ? t ?

∴点 M 的坐标为 (1, 3) ,其极坐标为 (2,

? ); 3

????(5 分)

(II)设直线 l ? 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1),即kx ? y ? 3 ? k ? 0 , 由(I)得曲线 C 是以 (2, 0) 为圆心的圆,且圆心到直线 l ? 的距离为 3 , 则,

3?k k 2 ?1

? 3 .解得 k ? 0 ,或 k ? 3 ,

直线 l ? 的方程为 y ? 3 ,或 y ? 3x ,

数学试题第 11 页(共 12 页)

其极坐标方程为 ? sin ? ? 3或? ? (24)解:

?
3

( ? ? R) .

????(10 分)

(I)由 2x ? a ? a ? 6 得 2x ? a ? 6 ? a , ∴a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 , ∴a ? 3 ? ?2 ,∴a ? 1 ; ????(5 分)

(II)由(I)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1,令 g (t ) ? f ( ) ? f (?t ) ? t ? 1 ? 2t ? 1 ? 2 ,

t 2

? ?3t ? 2, t ? 1 ? 7 1 ? 则 g (t ) ? ?t ? 4, ? ? t ? 1 ∴g (t ) 的最小值为 , 2 2 ? 1 ? ??3t ? 2, t ? ? 2 ?
故实数 m 的取值范围是 [ , ??) .

7 2

????(10 分)

数学试题第 12 页(共 12 页)


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