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2017届人教A版 直线与圆锥曲线的位置关系 单元测试


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考点 42 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1. (2014·湖北高考文科·T8)设 a,b 是关于 t 的方程 t2cosθ+tsinθ=0 的两个不等实根,则过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 A.0 B.1 C.2 D.3

y2 =1 的公共点的个数为 ( cos 2 ? sin 2 ?
x2
-

)

【解题提示】求出过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线为 y=结论.

sin ? x,结合双曲线的渐近线方程,可得 cos ?

【解析】选 A.由于 a,b 是关于 t 的方程 t2cosθ +tsinθ =0 的两个不等实根, 所以 a+b=-

sin ? ,ab=0, cos ?

过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线为 y-a2=

b2 ? a 2 b?a

(x-a),

即 y=(b+a)x-ab,即 y=-

sin ? x, cos ?

因为双曲线

x2 y2 =1 的一条渐近线方程为 cos 2 ? sin 2 ?

y=-

sin ? x, cos ?

所以过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线

x2 y2 =1 的公共点的个数为 0. cos 2 ? sin 2 ?
在抛物线 C : y ? 2 px 的准线上,记 C 的
2

2.(2014·辽宁高考文科·T8)已知点 焦点为 F ,则直线 AF 的斜率为

A ? ?2,3?

( A) ?

4 3

( B) ? 1

(C ) ?

3 4

( D) ?

1 2

【解题提示】由抛物线的定义知

p 的值,也就确定了抛物线的方程和焦点坐标;利用直线

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的斜率公式求出直线 AF 的斜率 【解析】选C.

?
根据已知条件得

p ? ?2 2 2 ,所以 p ? 4. 从而抛物线方程为 y ? 8x ,其焦点 F (2, 0)

3?0 3 ?? . 4 从而直线 AF 的斜率为 ?2 ? 2

二、填空题
3.(2014·安徽高考文科·T15)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件:

(i) 直线 l 在点 P?x0 , y0 ?处与曲线 C 相切;(ii ) 曲线 C 在 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直
线 l 在点 P 处“切过”曲线 C . 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线 l : y ? 0 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? x 2 ②直线 l : x ? ?1 在点 P?? 1,0? 处“切过”曲线 C : y ? ( x ? 1)2 ③直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? sin x ④直线 l : y ? x 在点 P?0,0? 处“切过”曲线 C : y ? tan x ⑤直线 l : y ? x ? 1 在点 P?1,0? 处“切过”曲线 C : y ? ln x 【解题提示】根据各选项分别判断。 【解析】根据题意满足条件的有(1) (3) (4) ,剩余选项(2) (5)都在切线的一边。 答案:??④ 4.(2014·安徽高考理科·T14) )设 F1 , F2 分别是椭圆 x 2 + y = 1(0 < b < 1) 2
2

b

E : x2 ?

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点,若 b2

E 的方程为__________ AF 1 ? 3 BF 1 , AF 2 ? x 轴,则椭圆
【解题提示】构造直角三角形,利用线段平行、垂直关系及点 A,B 在椭圆上求得参数 b. 【解析】如图所示,设 A(c, y1 ),B(x 2 , y2 ) ,作 F1F2 / / BC ,则

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y1 3 = ? y1 3 y2 y2 1 2c 3 = ? x2 c - x2 4 5 c 3





ì 2 y12 ? c + 2 =1 ? b ? ? 2 y2 2 í x2 + 2 = 1 b ? ? 2 2 2 ? c =1- b 2 又点 A,B 在椭圆上,所以 ? 与①②联立解得 b = 。 3 ?
所以椭圆方程为 x 2 + 3 y = 1 。
2

2

5. (2014·湖南高考文科·T14)平面上以机器人在行进中始终保持与点 F ?1, 0? 的距离和 到直线 x ? ?1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P?? 1 , 0? 且斜率为 k 的直线,则 k 的取值 范围是 【解题提示】根据抛物线的定义和直线与圆锥曲线的关系求解。 【解析】把机器人看做一个动点,则根据抛物线定义知道它的轨迹为抛物线,其方程为

0? 且 斜 率 为 k 的 直 线 方 程 为 y ? k ?x ? 1? , 两 个 方 程 联 立 y 2 ? 4x , 过 点 P?? 1,
? y2 ? 4x 2 2 2 2 2 ,消去 y 得 k x ? 2k ? 4 x ? k ? 0 ,由题意 ? ? 2k 2 ? 4 ? 4k 4 ? 0 , ? ? y ? k ? x ? 1?

?

?

?

?

-1 ) ? ( 1, ? ?) 。 k 2 ? 1, 所以 k ?(- ?, (- ?, -1 ) ? ( 1, ? ?) 答案:

三、解答题
6. (2014 · 新课标全国卷Ⅱ高考理科数学 · T20)( 本小题满分 12 分 ) 设 F1,F2 分别是椭圆

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x2 y 2 + =1 ? a ? b ? 0? 的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一 a2 b2
个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率. 4

(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN =5 F1 N ,求 a,b. 【解题提示】(1)利用直线 MN 的斜率为

3 再结合 a2=b2+c2 表示出关于离心率 e 的方程,解方 4

程求得离心率. (2)结合图形,利用椭圆的性质和焦半径公式求得 a,b. 【解析】(1)因为由题知,

1 3 MF1 3 b2 = ,所以 · = ,且 a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0, 2c 4 a F1 F2 4

解得 e=

1 1 .所以 C 的离心率为 . 2 2

(2)由三角形中位线知识可知,MF2=2×2,即

b2 =4. a
3 c.由焦 2

设 F1N=m,由题可知 MF1=4m.由两直角三角形相似,可得 M,N 两点横坐标分别为 c,半径公式可得: MF1=a+ec,NF1=a+e ? ? c ? ,且 MF1∶NF1=4∶1,e=,a2=b2+c2.联立解得 a=7,b=2 7 . 所以,a=7,b=2 7 . 7. (2014·湖南高考文科·T20) (本小题满分 13 分) 如 图 5 , O 为 坐 标 原 点 , 双 曲 线

? 3 ? ? 2 ?

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 和 椭 圆 a12 b12

C2 :

2 3 x2 y 2 且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点 ,1) , ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) 均过点 P( 2 3 a2 b2

为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1 , C2 的方程; (2)是 否 存 在 直 线

l , 使 得 l 与 C1 交 于 A, B 两 点 , 与 C2 只 有 一 个 公 共 点 , 且

??? ? ??? ? ??? ? ?证明你的结论 . | OA? OB|? | AB |

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【解题提示】利用椭圆的定义和直线与圆锥曲线位置关系,联立方程组,求解。 【解析】 (1)设 C 2 的焦距为 2c 2 ,由题意知, 2c 2 ? 2,2a1 ? 2, 从而 a1 ? 1, c 2 ? 1. 因为点

?2 3? 2 3 y2 2 ? - 1 ? 1 ,故 b1 2 ? 3 P( , 1 ) ,在双曲线 x ? 2 ? 1 上,所以 ? ? 3 ? b2 3 b1 ? ? 1

2

?2 3? ? ? ? ? ?1 ? 1?2 ? ? 2 3 ? ? ?1 ? 1?2 ? 2 3 由椭圆的定义知 2a 2 ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ?
于是 a2 ? 3, b2 ? a2 ? c2 ? 2 ,
2 2 2

2

2

y2 y2 x2 ? 1, ? ?1 故 C 1 , C 2 的方程分别为 x ? 3 3 2
2

(2)不存在符合题设条件的直线 (i)若直线 l 垂直于 x 轴, 因为 l 与 C 2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x ? 当x?
?

2或x?? 2

2 时,易知 A( 2,3 ),B( 2 ,? 3 ) ,所以
? ? ? ?
?

OA? OB ? 2 2, AB ? 2 3 ,此时, OA? OB ? AB
? ?
?

当 x ? ? 2 ,同理可知 OA? OB ? AB (ii)若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y ? kx ? m

? y ? kx ? m ? ( 3 - k 2)x 2 ? 2kmx ? m 2 ? 3 ? 0 由? 得 y2 ?1 ?x ? 3 ?
当 l 与 C 1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1, y1 ) , B( x2, y2 ) ,则 x1 , x 2 是上述方程的两个实根, 从而 x1 ? x 2 ?
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2km m2 ? 3 , x x ? , 1 2 3? k2 k2 ? 3

于是 y1 y 2 ? k x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m ?
2 2

3k 2 ? 3m 2 k2 ? 3

? y ? kx ? m ? 由 ? y2 得 ( 2k 2 ? 3 )x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 6 ? 0 x2 ? ?1 ? 2 ? 3
因为直线 l 与 C 2 只有一个公共点,所以上述方程的判别式

? ? 16k 2 m 2 ? 8(2k ? 3)(m 2 ? 3) ? 0
化简,得 2k ? m ? 3 。因此
2 2

OA? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?
2 2

?

?

m 2 ? 3 3k 2 ? 3m 2 ? k 2 ? 3 ? ? 2 ?0 k2 ? 3 k2 ? 3 k ?3
2 2

于是 OA ? OB ? 2OA ? OB ? OA ? OB ? 2OA ? OB 即 OA? OB ? OA- OB ,故 OA? OB ? AB 综合(i) (ii)可知,不存在符合题设条件的直线 8.(2014·广东高考文科·T20)(14 分)已知椭圆 C:
? ? 2 ? ? 2
? ? ?

x2 y 2 + =1(a>b>0)的一个焦点为( 5 ,0), a2 b2

离心率为

5 . 3

(1)求椭圆 C 的标准方程. (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 【解题提示】(1)由 c,e,求出 b 得椭圆方程,(2)要分切线斜率是否存在加以讨论. 【解析】(1)因为 c= 5 ,离心率 e= 所以 a=3,b=2, 椭圆 C 的标准方程为

5 , 3

x2 y 2 + =1. 9 4

(2)方法一:若有一条切线斜率不存在, 则另一条斜率为 0, 此时点 P 有四个点, 分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);
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当两条切线斜率都存在时, 设切线方程为 y-y0=k(x-x0), 代入

x2 y 2 + =1 中, 9 4

整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切线与椭圆只有一个公共点, 则Δ =0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, 进一步化简得( x0 -9)k2-2x0y0k+ y0 -4=0. 因为两条切线相互垂直,所以 k1k2=-1, 也就是
2 2

y0 2 ? 4 2 2 =-1,则 x0 + y0 =13. x0 2 ? 9
2 2

显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程 x0 + y0 =13, 所以点 P 的轨迹方程为 x0 + y0 =13. 方法二:若有一条切线斜率不存在, 则另一条斜率为 0, 此时点 P 有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时, 设切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则
2 2

x12 y12 x2 y2 + =1 且 2 + 2 =1. 9 4 9 4
x1 x y1 y xx y y + =1 和 2 + 2 =1, 4 9 4 9

两条切线方程分别为

因为两条切线都过点 P(x0,y0), 所以

x1 x0 y1 y0 xx y y + =1 且 2 0 + 2 0 =1, 4 9 4 9

因为两条切线相互垂直, 所以 k1=

y0 ? y1 y ? y2 ,k2= 0 且 k1k2=-1, x0 ? x1 x0 ? x2

y0 2 ? 4 也就是 2 =-1, x0 ? 9
整理得 x0 + y0 =13. 显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程 x0 + y0 =13, 所以点 P 的轨迹方程为 x0 + y0 =13.
2 2 2 2 2 2

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9.(2014·广东高考理科)(14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 + =1(a>b>0)的一个焦点为( 5 ,0),离心率 a2 b2



5 . 3

(1)求椭圆 C 的标准方程. (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 【解题提示】(1)由 c,e,求出 b 得椭圆方程,(2)要分切线斜率是否存在加以讨论. 【解析】(1)因为 c= 5 ,离心率 e= 所以 a=3,b=2, 椭圆 C 的标准方程为

5 , 3

x2 y 2 + =1. 9 4

(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为 0, 此时点 P 有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时,设切线方程为 y-y0=k(x-x0), 代入

x2 y 2 + =1 中, 9 4

整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切线与椭圆只有一个公共点, 则Δ =0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, 进一步化简得( x0 -9)k2-2x0y0k+ y0 -4=0. 因为两条切线相互垂直,所以 k1k2=-1, 也就是
2 2

y0 2 ? 4 2 2 =-1,则 x0 + y0 =13. 2 x0 ? 9
2 2

显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程 x0 + y0 =13, 所以点 P 的轨迹方程为 x0 + y0 =13. 方法二:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为 0, 此时点 P 有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时,设切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则
2 2

x12 y12 x2 y2 + =1 且 2 + 2 =1. 9 4 9 4

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x1 x y1 y xx y y + =1 和 2 + 2 =1, 4 9 4 9 x1 x0 y1 y0 xx y y 因为两条切线都过点 P(x0,y0),所以 + =1 且 2 0 + 2 0 =1, 4 9 4 9
两条切线方程分别为 因为两条切线相互垂直,所以 k1=

y0 ? y1 y ? y2 ,k2= 0 且 k1k2=-1, x0 ? x1 x0 ? x2

也就是

y0 2 ? 4 2 2 =-1,整理得 x0 + y0 =13. 2 x0 ? 9
2 2

显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程 x0 + y0 =13, 所以点 P 的轨迹方程为 x0 + y0 =13.
2 2

10. (2014· 福建高考理科· T19) (本小题满分 13 分) 已知双曲线 E : 的两条渐近线分别为 l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x . (1)求双曲线 E 的离心率;

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

(2)如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1 , l2 于 A, B 两点( A, B 分别在第一, 四象限) ,且 ?OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公 共点的双曲线 E ?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由。

【解题指南】⑴由渐近线可知

b c ? 2 ,由基本量关系式求 e ? ;⑵设直线 y ? kx ? m ,再 a a

根据条件建立 k,m 的两个方程. 【解析】解法一:(1)∵双曲线 E 的渐近线分别为 y ? 2 x, y ? ?2 x ,……………1 分



b c c2 ? a 2 ? 2 ,有 ? 2 ,即 c ? 5a ,于是双曲线的离心率 e ? ? 5 ;…3 分 a a a

(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .设直线 l 与 x 轴相交于点 C , a 2 4a 2

当 l ? x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,
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则 OC ? a, AB ? 4a ,又因为 △OAB 的面积为 8, ∴

1 1 OC ? AB ? 8 ,即 a ? 4a ? 8 ,解得 a ? 2 , 2 2

此时双曲线 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .……………………………………………6 分 4 16 x2 y2 ? ? 1. 4 16 x2 y2 ? ? 1 也满足条件,……7 分 4 16

若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为

以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E :

设直线 l 的方程 y ? kx ? m ,依题意,得 k ? 2 或 k ? ?2 ,………………………8 分 则 C (? 由?

m ,0) ,记 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , k

2m 2m ? y ? kx ? m 得 y1 ? ,同理 y2 ? , 2?k 2?k ? y ? 2x 1 1 m 2m 2m OC ? y1 ? y2 得 ? ? ? ?8, 2 2 k 2?k 2?k
2 2

由 S△OAB ?
2

即 m ? 4 4 ? k ? 4( k ? 4) ,……………………………………………………10 分

? y ? kx ? m ? 2 由 ? x2 y2 得 (4 ? k 2 ) x 2 ? 2kmx ? m2 ? 16 ? 0 ,∵ 4 ? k ? 0 , ? ?1 ? ? 4 16
∴ ? ? 4k m ? 4(4 ? k )(m ? 16) ? ?16(4k ? m ? 16) ,又 m ? 4(k ? 4) ,
2 2 2 2 2 2 2 2

∴ ? ? 0 ,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点.……………………………12 分 因此,存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程只能为

x2 y2 ? ? 1 …………………………………………………………………13 分 4 16
方法二:(1)同方法一;

x2 y2 ?1. (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2 ? a 4a 2
设直线 l 的方程为 x ? my ? t , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,依题意得 ?

1 1 ?m? , 2 2

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由?

2t ?2 t ? x ? my ? t 得 y1 ? ,同理 y2 ? , 1 ? 2m 1 ? 2m ? y ? 2x

设直线 l 与 x 轴相交于点 C ,则 C (t ,0) , 由 S△OAB ?

1 1 2t 2t OC ? y1 ? y2 ? 8 得 t ? ? ? 8 ,∴ t 2 ? 4(1 ? 4m2 ) , 2 2 1 ? 2m 1 ? 2m

? x ? my ? t ? 2 由 ? x2 得 (4m2 ? 1) y 2 ? 8mty ? 4(t 2 ? a 2 ) ? 0 ,∵ 4m ? 1 ? 0 , y2 ? ?1 ? ? a 2 4a 2
∴直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当

? ? 64m2t 2 ? 16(4m2 ? 1)(t 2 ? a 2 ) ? 0 ,即 4m2a 2 ? t 2 ? a 2 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 ∴ 4m a ? 4(1 ? 4m ) ? a ? 0 ,即 (1 ? 4m )(a ? 4) ? 0 ,有 a ? 4 ,
2

因此, 存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E, 且 E 的方程只能为 方法三:(1)同方法一;

x2 y2 ? ? 1. 4 16

(2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l : y ? kx ? m , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 依题意得 k ? 2 或 k ? ?2 , 由?

? y ? kx ? m ?4 x ? y ? 0
2 2

2 2 2 得 (4 ? k ) x ? 2kmx ? m ? 0 ,由 4 ? k ? 0 , ? ? 0 ,得
2

?m 2 x1 x2 ? , 4 ? k2
又因为 △OAB 的面积为 8,所以

1 4 OA OB sin ?AOB ? 8 ,而 sin ?AOB ? , 2 5



2 2 ?m 2 2 2 x1 ? y12 ? x2 ? y2 ? 8 ,化简得 x1 x2 ? 4 ,∴ ? 4 ,即 m2 ? 4(k 2 ? 4) , 5 4 ? k2

由(1)得双曲线 E 的方程为

x2 y2 ? ?1, a 2 4a 2

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (4 ? k ) x ? 2kmx ? m ? 4a ? 0 , y2 ? ?1 ? ? a 2 4a 2

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因为 4 ? k ? 0 ,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当
2

? ? 4k 2m2 ? 4(4 ? k 2 )(m2 ? 4a 2 ) ? 0 ,即 (k 2 ? 4)(a 2 ? 4) ? 0 ,有 a 2 ? 4 ,
∴双曲线 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1, 4 16

当 l ? x 轴时,由 △OAB 的面积为 8,可得 l : x ? 2 ,又知 l : x ? 2 与双曲线

x2 y2 E: ? ? 1 有且只有一个公共点, 4 16
综上,存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程只能为 11. (2014·辽宁高考理科·T20) (本小题满分 12 分) 圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,

x2 y2 ? ? 1. 4 16

x2 y 2 切点为 P(如图) ,双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a b
(Ⅰ)求 C1 的方程; (Ⅱ)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点, 若以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程.

【解析】 (Ⅰ)设切点坐标为 ? x0 , y0 ? , x0 ? 0, y0 ? 0 .则切线斜率为 k ? ?

x 1 ?? 0 kOP y0

切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? ,即 x0 x ? y0 y ? x02 ? y02 ,而 x02 ? y02 ? 4 ,所以切线 y0

方程为 x0 x ? y0 y ? 4 .切线与两坐标轴的正半轴的交点为 ?

?4 ? ? 4? , 0 ? , ? 0, ? ,切线与 x 轴正 x 0 ? ? ? y0 ?

半轴,y 轴正半轴围成的三角形面积为 s ?

1 4 4 8 ? ? ? 2 x0 y0 x0 y0

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由 x0 2 ? y0 2 ? 4 ? 2 x0 y0 (当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时 x0 y0 取最大值,即 s 有最小值,此时

点 P 的坐标为

?

?2 2 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ?c 2, 2 .由题意得 ? ? 3 解得 a2 ? 1, b2 ? 2 ?a ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?

?

y2 ?1 故 C1 的方程为 x ? 2
2

(Ⅱ)由(1)知,椭圆 C2 的焦点为 ? 3, 0 ,

?

??

3, 0 ,因此设椭圆 C2 的方程为

?

x2 y2 ? ? 1, m ? 0 .由点 P 3 ? m2 m2
解得 m ? 3 ;因而 C2 的方程为
2

?

2, 2 在椭圆 C2 上,得

?

2 2 ? 2 ? 1, 2 3? m m

x2 y 2 ? ?1 6 3

当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x ? 3 ,易知 A ? 3, ? 为直径的圆不经过点 P

? ? ?

3? ? 3? , B 3, ? ? ? ,以线段 AB ? 2 ? 2 ? ? ? ?

?

2, 2 ;不合题意.

?

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? k x ? 3 , A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

?y ? k x ? ? 则 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 是方程组 ? 2 x y2 ? ? ?1 3 ?6
整理得 1 ? 2k

?

? 3?

?

的解.

?

2

?x

2

? 4 3k 2 x ? 6k 2 ? 6 ? 0

由韦达定理, x1 ? x2 ?

4 3k 2 6k 2 ? 6 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?2 3k , 1 ? 2k 2



所以 y1 ? y2 ? k ( x1 ? 3) ? k ( x2 ? 3) ?



?3k 2 y1 y2 ? k ( x1 ? 3) ? k ( x2 ? 3) ? 1 ? 2k 2
由题意知 AP ? BP ,从而 AP ? BP ? 0

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

第 13 页 共 20 页

因为 AP ?

??? ?

?

??? ? 2 ? x1 , 2 ? y1 , BP ?

?

?

2 ? x2 , 2 ? y2

?

所以 AP ? BP ?

??? ? ??? ?

?

2 ? x1 , 2 ? y1 ?

??

2 ? x2 , 2 ? y2 ? 0

?

即 ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 ) ? ( 2 ? y1 )( 2 ? y2 ) ? 0 所以 2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? y1 y2 ? 0 将①②代入解得 k ?

2?3 6 或 k ? ?2 ? 6 25 2?3 6 x ? 3 或 y ? (?2 ? 6) x ? 3 25

因此 l 的方程为 y ?

?

?

?

?
2

即 2 ? 3 6 x ? 25 y ? 2 3 ? 9 2 ? 0 或 2 ? 6 x ? y ? 2 3 ? 3 2 ? 0 12. (2014·辽宁高考理科·T20) (本小题满分 12 分)圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半
2

?

?

?

?

轴,

y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P .

(Ⅰ)求 P 点的坐标; (Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ,且与直线 l : y ? x ? 3 交于 A, B 两点,若 ?PAB 的 面积为 2 ,求 C 的标准方程.

【解析】 (Ⅰ)设切点坐标为

? x0 , y0 ? , x0 ? 0, y0 ? 0 .则切线斜率为

k ??

x 1 ?? 0 kOP y0

y ? y0 ? ?
切线方程为

x0 ? x ? x0 ? x x ? y0 y ? x02 ? y02 ,而 x02 ? y02 ? 4 ,所以切线 y0 ,即 0

?4 ? ? 4? ? , 0 ? , ? 0, ? x y0 ? x x ? y y ? 4 0 0 方程为 .切线与两坐标轴的正半轴的交点为 ? 0 ? ? ,切线与 x 轴正
1 4 4 8 s? ? ? ? 2 x0 y0 x0 y0 半轴,y 轴正半轴围成的三角形面积为


x02 ? y02 ? 4 ? 2 x0 y0

(当且仅当

x0 ? y0 ? 2 时 x0 y0 取最大值,即 s 有最小值,此时

点 P 的坐标为

?

2, 2

?.
?

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 A?x1,y 1 ?,B x ? 2 ,y 2 ? ,则 ? x1, y1 ?, ?x2 , y2 b (Ⅱ)设 C 的方程为 a ,点
第 14 页 共 20 页

? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a ?y ? x ? 3 2 2 2 是方程组 ? 的解.整理得 b x ? 4 3x ? 6 ? 2b ? 0 ,

由伟达定理得, 又

x1 ? x2 ? ?

4 3 6 ? 2b2 , x x ? 1 2 b2 b2

y1 ? x1 ? 3, y2 ? x2 ? 3
AB ?

所以

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

? 2 ? x2 ? x1 ?

2

? 2 ?? x2 ? x1 ? ? 4 x1 x2 ? ? ? ?
2

2 ? 48 ? 24b 2 ? 8b 4 ? b2 d? 2? 2? 3 2 ? 3 2

而点

P

?

2, 2

? 到直线 y ? x ?
1 AB ? d ? 2 2

3 的距离

s? ABC ?
所以

2 ? 48 ? 24b2 ? 8b4 ? 1 3 s? ABC ? ? ? ?2 2 2 b 2 则
P

又由点

?

2, 2

? 在 C 上知 a

2
2

?

2 ?1 b2 .

x2 y 2 ? ? 1. 2 2 3 解得 a ? 6, b ? 3 .故所求 C 的方程为 6
13. (2014·山东高考理科·T21) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直 线 l 交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时,

?ADF 为正三角形.
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ) ?ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 【解题指南】 (Ⅰ)由抛物线的定义及已知条件点 A 的横坐标为 3 时, ?ADF 为正三角形.

第 15 页 共 20 页

可求得 p 的值.(Ⅱ) (ⅰ)先设出点 A 的坐标,根据 | FA |?| FD | 表示出 D 点坐标,然后根据

l1 // l 求出 AE 的方程,即可判断 AE 是否过定点.(ⅱ)可利用设出的 A 点坐标表示出 ?ABE
的面积,然后利用基本不等式求出最值. 【解析】 (Ⅰ)由题意知 F ?

?p ? ,0 ? ?2 ? ? p ? 2t ? ,0 ? , ? 4 ?

设 D?t ,0??t ? 0?, 则FD的中点为 ? 因为 FA ? FD , 由抛物线的定义知 3 ?

p p ? t? , 2 2

解得 t=3+p 或 t=-3(舍去), 由

p ? 2t ? 3 ,解得 p=2. 4

所以抛物线的方程为 y 2 ? 4 x . (Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知 F(1,0)

设A?x0 , y0 ??x0 y0 ? 0?, D?xD ,0??xD ? 0?,
因为 FA ? FD ,则 xD ? 1 ? x0 ? 1 ,

由xD ? 0得xD ? x0 ? 2,故D?x0 ? 2,0?,
故直线 AB 的斜率 k AB ? ? 设直线 l1 的方程为 y ? ?

y0 ,因为直线 l1 和直线 AB 平行, 2

y0 8 8b x ? b ,代入抛物线方程得 y 2 ? y? ? 0, 2 y0 y0

由题意 ? ?

64 32b 2 ? ? 0, 得b ? ? 2 y0 y0 y0 4 4 , xE ? 2 . y0 y0

设 E ?xE , y E ?, 则y E ? ?

当 y0 ? 4时,k AE ?
2

y E ? y0 4y ? 2 0 , xE ? x0 y0 ? 4

第 16 页 共 20 页

可得直线 AE 的方程为 y ? y0 ?

4 y0 ?x ? x0 ?,由 y02 ? 4x0 , 2 y0 ?4

整理可得 y ?

4 y0 ?x ? 1? ,直线 AE 恒过点 F(1,0) , 2 y0 ?4

2 直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0) , 当y0 ? 4时,

所以直线 AE 过定点 F(1,0). (ii)由(i)知直线 AE 过焦点 F(1,0) , 所以 AE ? AF ? FE ? ? x0 ? 1? ? ? ? 设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 设A?x0 , y0 ? 在直线 AE 上,故 m ?

?1 ? 1 ? 1? ? x0 ? ? 2, ? x0 ? x0 ?

x0 ? 1 , y0

设B?x1 , y1 ?
直线 AB 的方程为 y ? y0 ? ? 由于 y0 ? 0 , 可得 x ? ?

y0 ? x ? x0 ? , 2

2 8 y ? 2 ? x0 ,代入抛物线方程得 y 2 ? y ? 8 ? 4 x0 ? 0 y0 y0 8 , y0

所以 y0 ? y1 ? ?

可求得

y1 ? ? y0 ?

8 4 , x1 ? ? x0 ? 4 , y0 x0

所以点 B 到直线 AE 的距离为

d? ?

? 4 8 ? ? x0 ? 4 ? m? y0 ? ? ?1 ? x0 y0 ? ? ? 1 ? m2

4? x0 ? 1? x0

? 1 ? ? ? 4? x0 ? ? ? x 0 ? ?
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则 ?ABE 的面积 S ?

? 1 ? 1 ? 1 ?? ? ? 4? x0 ? ? x0 ? 2 ? ? ? ? 16 ?? x0 2 ? x ? 0 ? ?

14. (2014·山东高考文科·T21) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,直线 y ? x 2 a b 2

被椭圆 C 截得的线段长为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

4 10 . 5

(Ⅱ) 过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点 ( A, B 不是椭圆 C 的顶点) , 点 D 在椭圆 C 上, 且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点. (i)设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1 , k2 .证明存在常数 ? 使得 k1 ? ? k2 ,并求出 ? 的 值; (ii)求 ? OMN 面积的最大值. 【解题指南】 (Ⅰ)求椭圆的方程即求出 a,b,的值即可. (Ⅱ) 可先设出直线方程, 联立, 利用韦达定理表示, 找出两个斜率之间的关系,第二小问, 可直接用 x1 , y1 表示出来面积,再利用基本不等式求出最大值. 【解析】(1)? e ?

3 c 3 c 2 3 a 2 ? b2 3 ? ? 即 2= , ? ? a 2 ? 4b2 2 2 a 2 a 4 a 4

设直线与椭圆交于 p, q 两点.不妨设 p 点为直线和椭圆在第一象限的交点.

又?弦长为

4 10 2 5 2 5 , ? p( , ) 5 5 5

4 4 ? 52 ? 52 ? 1 a b
联立解得a 2 ? 4, b 2 ? 1 x2 ? 椭圆方程为 ? y 2 ? 1. 4
(2)(i)设 A?x1 , y1 ??x1 y1 ? 0?, D?x2 , y2 ? ,则 B?? x1 ,? y1 ? , 因为直线 AB 的斜率 k AB ?

y1 , x1 x1 y1

又 AB ? AD ,所以直线 AD 的斜率 k ? ?

第 18 页 共 20 页

设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m , 由题意知 k ? 0, m ? 0 .

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 可得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8mkx? 4m2 ? 4 ? 0 . 2 ? y ?1 ? ?4

?

?

所以 x1 ? x2 ? ?

8mk 1 ? 4k 2 2m . 1 ? 4k 2

因此 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2m ? 由题意知 x1 ? ? x2 所以 k1 ?

y1 ? y2 1 y ?? ? 1 x1 ? x2 4k 4 x1 y1 ?x ? x1 ? . 4 x1

所以直线 BD 的方程为 y ? y1 ? 令 y=0,得 x ? 3x1 , 即M ?3x1 ,0? 可得 k 2 ? ? 所以 k1 ? ?

y1 2 x1

1 1 k 2 , 即? ? ? . 2 2 1 因此存在常数 ? ? ? 使得结论成立. 2
(ii)直线 BD 的方程为 y ? y1 ?

y1 ?x ? x1 ? . 4 x1

令 x=0 得 y ? ?

3 3 ? ? y1 ,即 N ? 0,? y1 ? , 4 4 ? ?

由(i)知 M ?3x1 ,0? 可得 ?OMN 的面积 S ? 因为 x1 ? y1 ?

1 3 9 ? 3 x1 ? y1 ? x1 y1 . 2 4 8

x 2 x12 ? y12 ? 1 ,当且仅当 1 ? y1 ? 时等号成立, 4 2 2
9 , 8

此时 S 取得最大值

第 19 页 共 20 页

所以 ?OMN 的面积为最大值

9 . 8

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