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1.4 三角函数的性质对称性与单调性


三角函数的对称性

正弦函数——对称性
● ● ● ●

正弦函数的对称性

正弦函数是轴对称图形吗? 对称轴: x ?

?
2

? k? , k ? Z

正弦函数是中心对称图形吗?

对称中心( k? ,0) (k ? Z )

余弦函数——对称性

余弦函数的对称性

余弦函数是轴对称图形吗?

对称轴: x ? k? ( k ? Z )
余弦函数是中心对称图形吗?
对称中心: x

?

?
2

? k? , k ? Z

1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象(填表)

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

三角函数的对称性

对称 _______________ (kπ,0)(k∈Z) 中心

π (kπ+ ,0) 2 (k∈ Z)

kπ ( ,0)(k∈Z) ______________ 2

对称 轴

π x=kπ+ , 2 ____________ ______________ (k∈Z)

x=kπ,k∈ Z

无对称轴

1 .正弦函数和余弦函数的图象的对称轴以及对称中心与函数图 象的关键点有什么关系? 【提示】 零点. y=sin x与y=cos x的对称轴方程中的x都是它们取

得最大值或最小值时相应的x,对称中心的横坐标都是它们的

π 1.(教材改编题)y=sin(x- )的图象的一个对称中心是( 4 3π A. (-π,0) B.(- ,0) 4 3π π C. ( ,0) D. ( ,0) 4 2
π π 【解析】 令 x- = kπ, ∴x= kπ+ , k∈ Z. 4 4 3 令 k=- 1,得 x=- π, y= 0. 4
【答案】 B

)

三角函数的对称性

例2:求函数

y ? sin(2 x ?
z ? 2x ?

?

解(1)令

?
3

3 ? y ? sin(2 x ? ) ? sin z 则 3
?
2 ? k? , k ? Z

) 的对称轴和对称中心

y ? sin z 的对称轴为 z ?
2x ?

?
3

?

?
2

? k?
x?

解得:对称轴为
(2) y ? sin z

?
12

?k

?
2

,k ? Z

的对称中心为 ( k? ,0) , k ? Z
2x ?

z ? k?

?
3

? k?

x??

?
6

?k

?
2

对称中心为 ( ?

?
6

?k

?
2

,0) , k ? Z

例3

例4: 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的的大小. (3) cos515。 与 cos530。.
??

y

1

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

解:

cos515 ? cos(360 ? 155 ) ? cos155
o o o

o

cos530 ? cos(360 ? 170 ) ? cos170
o o o

o

因为

0 ? 155 ? 170 ? 180
o o o

o

且函数y=cos x,x∈[0°,180°]是减函数,所以

cos155 ? cos170
o

o



cos515o ? cos530o

1 ? 例5 求函数 y ? sin( x ? ), x ?[?2? , 2? ] 2 3 的单调增区间. 1 ? 解:令z ? x? 2 3 ? ? 函数y ? sin z的单调增区间 [? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ]



1 ? ? ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 2 2 3 2

?

5? ? 得 ? ? 4k? ? x ? ? 4k? 3 3

(k ? Z )

又∵ x ?[?2? , 2? ]
5? ? 1 ? , ] ?函数y ? sin( x ? )的单调增区间是 [? 3 3 2 3

1 求函数 y ? sin( 3 ? 2 x )的单调递增区间。 为了防止出错,以及计算方便,遇到负号要提出来

?

反 思: 对于求y ? A sin(? x ? ? )的单调区间, 要注意? ? 0 的情形, 将? <0化为? >0,再处理.

函数
y
1

y=sinx
y
1

y=cosx
??
?

图形 定义域

?? 2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

0
-1

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

值域

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 最值 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 2 2 单调性 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇偶性 周期 对称性 奇函数

y ?[?1,1]

x?R

x?R
y ?[?1,1]
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1
x ? ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ?

增函数 减函数

x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数

2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z

2? 对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z 2

1 ? 变式训练: 求函数y ? sin(? x ? )的单调增区间. 2 3

遇到x系数为负的三角函数, 第一步一定要将x系数化为正值, 否则答案会正好相反,出现错误.

1 ? 1 ? 详解:y ? sin( ? x ? ) ? ? sin( x ? ) 2 3 2 3 1 ? 即求函数y ? sin( x ? )的单调减区间。 2 3 ? 1 ? 3? ? 2k? ? x? ? ? 2k? , k ? Z 2 2 3 2 5? 11? ? 4 k? ? x ? ? 4k? , k ? Z 3 3 1 ? 所以函数y ? sin( ? x ? )的单调增区间为: 2 3 5? 11? [ ? 4 k? , ? 4k? ], k ? Z 3 3


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