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1983高考数学全国卷及答案


1983 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
一. (本题满分 10 分) 1.在直角坐标系内,函数 y=|x|的图象 (A)关于坐标轴、原点都不对称 (B)关于原点对称 (C)关于 x 轴对称 (D)关于 y 轴对称 2.抛物线 x2+y=0 的焦点位于 (A)y 轴的负半轴上 (C)x 轴的负半轴上 (B)y 轴的正半轴上 (D)x 轴的正半轴上 ( D
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( D )

( A )

3.两条异面直线,指的是 (A)在空间内不相交的两条直线



(B)分别位于两个不同平面内的两条直线

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(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (D)不在同一平面内的两条直线 4.对任何 180 ? ? ? ? 360 ?, cos (A) (C) ?
1 ? cos? . 2 1 ? cos? . 2
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? 的值等于 2

( C )

(B)

1 ? cos? . 2 1 ? cos? . 2

(D) ?

5. 0.32 , log2 0.3, 20.3 这三个数之间的大小顺序是 (A) 0.32 ? 20.3 ? log2 0.3 (C) log2 0.3 ? 0.32 ? 20.3 (B) 0.32 ? log2 0.3 ? 20.3 (D) log2 0.3 ? 20.3 ? 0.32
1

( C )

二. (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系内,表中的方程表示什么图形?画出这些图形 方程 图形名称 x2+y2=2x 圆
Y
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x2-y2=0 两条相交直线
Y

图形
O 1 X

O

X

解:见上图

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三. (本题满分 10 分) 1 求函数 y ? x ? 5 log2 (36 ? x 2 ) 的定义域
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2.一个小组共有 10 名同学,其中 4 名是女同学,6 名是男同学 要从
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小组内选出 3 名代表,其中至少有 1 名女同学,求一共有多少种选法
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解:1.根据题意,得
? x ? 5 ? 0, ? x ? 5, 即? ? 2 36 ? x ? 0 , ?? 6 ? x ? 6, ?

解得

? 5 ? x ? 6. ?函数的定义域是 (?5,6)

1 2 2 1 3 2. C4 ? C6 ? C4 ? C6 ? C4 ? 100(种) 3 3 或: C10 ? C6 ? 120? 20 ? 100(种)

四. (本题满分 12 分) 已知复数 z ? cos ? ? i sin ?, 求证 : z 3 ? 证: z 3 ?
1 ? 2 cos 3? z3
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1 ? z 3 ? z ?3 ? (cos ? ? i sin ?) 3 ? (cos ? ? i sin ?) ?3 3 z

? cos3? ? i sin 3? ? cos(?3?) ? i sin(?3?) ? 2 cos3?
2

五. (本题满分 14 分) 在圆心为 O、半径为常数 R 的半圆板内画内接矩形(如图) 当矩
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形的长和宽各取多少时,矩形的面积最大?求出这个最大面积 解:设矩形在半圆板直径上的一边长为 2x,α 角如图所示,则 x=Rcosα ,另一 边的长为 Rsinα 矩形面积 S 为
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O

α

S=2R2sinα cosα . =R2sin2α 当 2α = 即α = 时,也即长为 2 R cos 矩形面积最大 最大面积是 R2 六. (本题满分 14 分)
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R

? 2

? 4

? ? 2 ? 2 R ,宽为 R sin ? R 时, 4 4 2

如图,地平面上有一旗杆 OP,为了测得它的高度 h,在地面上选 一基线 AB,AB=20 米,在 A 点处测得 P 点的仰角∠OAP=300,在 B 点 处测得 P 点的仰角∠OBP=450, 又测得∠AOB=600, 求旗杆的高度 h (结 果可以保留根号)
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解:在直角三角形 AOP 中,得 OA=OPctg300= 3h . 在直角三角形 BOP 中,得 OB=OPctg45 =h
0

P h A 300 20 米 60 450 B
0

O

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在三角形 AOB 中,由余弦定理 得
3

202 ? ( 3h) 2 ? h 2 ? 2( 3h) ? h ? cos60?, 400 ? (4 ? 3 )h 2 , 400 h2 ? ,即h ? 4? 3 20 4? 3

(米).

答:略

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七. (本题满分 16 分) 如图,已知一块直角三角形板 ABC 的 BC 边在平面α 内, ∠ABC=600,∠ACB=300,BC=24cm,A 点在平面α 内的射影为 N,AN=9cm 求以 A 为顶点的三棱锥 A-NBC 的体积(结果可以保留根号) 解:自 N 作 NE⊥BC,E 为垂足 连结 AE,
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由三垂线定理可知

AE⊥BC
A C N B α E

在直角三角形 ABC 中,
AE ? BC ? sin 30? ? sin 60? ? 6 3.

在直角三角形 ANE 中,
NE ? AE 2 ? AN 2 ? 3 3. 1 ?NBC的面积S ? ? BC ? NE ? 36 3 2

三棱锥 A-NBC 的体积 V ? ? S ? AN ? 108 3 (cm 2 ) 答:略
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1 3

八. (本题满分 17 分) 一个等比数列有三项 如果把第二项加上 4,那么所得的三项就成
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为等差数列;如果再把这等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项 又成等比数列,求原来的等比数列
4
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解:设所求等比数列为 a , a q, a q2,由已知条件得
? 2(aq ? 4) ? a ? aq2 , ?a(q 2 ? 2q ? 1) ? 8, 化简得 : ? ? 2 2 ?(aq ? 4) ? a(aq ? 32). ? a(q ? 4) ? ?2. ?a ? 2 ? 2 ? ?a ? 解方程组得? 或? 9 q ? 3 ?q ? ?5 ? ? ?

由 a =2,q=3,得所求等比数列是 2,6,18; 由 a ? , q ? ?5 ,得所求等比数列是 ,? 经检验均正确
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2 9

2 9

10 50 , . 9 9

九. (本题满分 17 分) 如图,已知两条直线 L1:2x-3y+2=0,L2:3x-2y+3=0.有一动圆(圆 心和半径都在变动)与 L1,L2 都相交,并且 L1,L2 被截在圆内的两条 线段的长度分别是定值 26,24 求圆心 M 的轨迹方程,并说出轨迹的
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名称

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解:设圆心 M 的坐标为(x,y),圆的半径为 r, 点 M 到 L1,L2 的距离分别为 d1,d2
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根据弦、弦心距、半径三者之间的关系,有
26 2 ) ? r2, 2 24 2 d2 ? ( )2 ? r 2. 2 2 2 得d 2 ? d 1 ? 5 2 . d1 ? (
2

Y L2 L1

根据点到直线的距离公式,得
O

M X

5

d1 ?

| 2x ? 3y ? 2 |

得方程(

13 2x ? 3y ? 2 13

, d2 ?

| 3x ? 2 y ? 3 | 13 3x ? 2 y ? 3

代入上式,

13 ( x ? 1) 2 y 2 化简得x 2 ? 2 x ? 1 ? y 2 ? 65. 即 ? ? 1. 65 65

)2 ? (

) 2 ? 25

轨迹是双曲线

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6


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