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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第9章第52讲椭圆_图文

第52讲

x y 1 . 椭 圆? ? 1 的 焦 点 为 F 、 F ,是 A B椭 圆 过 焦 1 2 9 2 5 2 0 点 F 的 弦 , 则 V A B F 的 周 长 是    . 1 2
解 析 : V A B F 的 周 长 l ? A BA ?F ? B F A F ? 2 2 2? 1 A F ? B F ? B F 2 a ? 2 a ? 4 a ? 2 0 . 2 1 2?

2

2

2 2 x y 2 . 若 ? ? 1 表 示 椭 圆 , 则 k 的 取 值 范 围 k ? 2 3 ? k 是     . ??? 2k 或 ?? k3

x2 y2 解 析 : 因 为 ? ?1表 示 椭 圆 , k ? 2 3? k ?k ? 2 ? 0 1 1 ? 所 以 即? 2 ? k ? 或 ? k ? 3 . ?3? k ? 0 , 2 2 ?k ? 2 ? 3? k ?

3 . 已 知 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 的 离 心 率 为 , 且 它 的 长
2 2 轴 长 等 于 圆: C x ?y ? 2 x? 1 5?0 的 半 径 , 则 椭

x2 y2 圆 的 标 准 方 程 是   ? ?1 4 3

  .

解 析 : 由 x ? y ? 2x ?15 ? 0 ,
2 2

c 1 知 r ? 4 ? 2a ?a ? 2.又 e? ? , c ?1 . a 2 2 2 x y 所 以 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为   ? ?1 . 4 3

x y 1 4 . 如 果 椭 圆 ? ? 1 的 离 心 率 是, 那 么 实 数 k? 8 9 2

2

2

5 k 的 值 为 4或 ?     . 4

2 2 解析: 1 当 焦 点 在 x 轴 上 时 , a ? k ? 8 ? 0 , b ? 9, ? ?

所 以 c 2 ? a 2 ? b 2 ? k ? 1 ? 0, 所 以 k ? 1 , 且 e c ? ? a
2

c k ?1 1 ? ? , 解 得 k ? 4. 2 a k?8 2 2 2 2 当 焦 点 在 y 轴 上 时 , a ? 9 , b ? k ? 8 ? 0, ? ?
2 2 2

c ? a ? b ? 1 ? k ? 0, c 所 以 ? 8 ? k ? 1, 且 e ? ? a 5 解得k ? ? . 4 c2 ? 2 a 1? k , 9

x y 5 . 椭 圆 ? ? 1 的 一 条 准 线 方 程 为 y?m , 4 m 则 m ?  . 5  

2

2

m 解 析 : 焦 点 在 y 轴 上 , ? m , m ? 5 . m ? 4

椭圆的标准方程
【 例 1 】 已 知 椭 圆 的 中 心 在 原 点 , 以 坐 标 轴 为 对 称 轴 , 且 经 过 两 点 P ( 61 , ) , P -3 , -2 ) , 求 该 椭 1 2( 圆 的 方 程 .

【 解 析 】 设 所 求 的 椭 圆 方 程 为 m x 2+ n y 2= 1 ( m ? 0 , n ? 0 ). 因 为 椭 圆 经 过 两 点 P1 ( 6 , 1), P2 (- 3,? 1 ? m ? ? ?6m ? n ? 1 ? 9 所以? ,解 得 ? , ?3m ? 2n ? 1 ?n ? 1 ? 3 ? x2 y2 故 所 求 的 椭 圆 标 准 方 程 为 + = 1. 9 3 2 ),

已知两点,椭圆标准方程的形式不
确定,可以根据焦点位置设出椭圆标准

方程进行分类讨论,用待定系数法求出 a,
b的值,但若设为mx2+ny2=1,则包含了 焦点在x轴上和焦点在y轴上的两种情况,

是一个好的选择,避免讨论,简化解题
过程.

【变式练习1】

求中心在原点,并与椭圆 9x2 + 4y2 = 36
有相同的焦点,且经过点Q(2,-3)的椭 圆的标准方程.

【 解 析 】 由 题 设 知 , 所 求 椭 圆 的 焦 点 在 y轴 上 , 且 焦 点 坐 标 为 (0 , ? 5 ). y x 故 设 所 求 椭 圆 的 方 程 为 2 ? 2 =1 ? a ? b ? 0 ? , a b ?a2 ? b2 ? 5 2 ? a ? ? ? 15 则? 9 ,解 得 ? 2 4 ? ?b ? 10 ? 2 ? 2 =1 b ?a y2 x2 故所求椭圆的方程为 ? =1 15 10
2 2

椭圆的几何性质
【例2】 x2 y 2 已知A? 4,0?,B ? 2,2?是椭圆 ? = 1内的两个点, 25 9 M是椭圆上的动点.求:

?1? MA + MB 的最大值和最小值;
5 ? 2? MB ? MA 的最小值. 4

x2 y2 【 解 析 】? 1 ? 如 图 , 由 ? =1, 25 9 知 a = 5 , b= 3 , 所 以 c= 4 . 所 以 点 A ?4,0 ?为 椭 圆 的 右 焦 点 , 左 焦 点 为 F ( - 4 , 0 ). 又 因 为 M A + M F = 2 a = 10 , 所 以 M A + M B = 10 - M F + M B , 因 为 | M B - M F |? B F = ( ? 4 ? 2 ) 2 ? ( 0 ? 2 ) 2 = 2 1 0 , 所 以 - 2 10 ? M B - M F ? 2 10 , 故 10- 2 10 ? M A - M B ? 10 ? 2 10 , 即 M A + M B 的 最 大 值 为 10 + 2 1 0 , 最 小 值 为 10 - 2 1 0

25 ? 2 ? 由 题 意 椭 圆 的 右 准 线 为 x= , 4 设M 到右准线的距离为 MN , |MA | 4 由椭圆的第二定义知 = e= , |MN | 5 5 5 所以 MA = MN ,所以 MB + MA = MB + MN . 4 4 由 图 易 知 当 B、 M 、 N 共 线 且 M 在 点 B、 N 之 间 时 , 25 17 M B + M N 最 小 为 BN = - 2= , 4 4 5 此 时 M 坐 标 为 ( 5, 2 ). 3

当圆锥曲线上的点与两焦点的距离建立联系
时,常考虑第一定义;当圆锥曲线上的点与焦点和 相应准线的距离建立联系时,常考虑第二定义,并

注意利用平面几何、三角知识来解题.问题(1)是用
椭圆第一定义中的数量关系进行转换,使问题化归 为几何中求最大(小 )值的基本模式,主要是利用三 角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 等结论;问题(2)利用第二定义实现了数据的转化,

利用了三点共线时,距离和最小.

【变式练习2】 x y 已知 F1、 F2是椭圆 + =1 的两个焦点, 9 4 P ( x, y )为椭圆上一点.
2 2

?1? 求 PF1 ? PF2 的最大值; ? 2 ? 求 2x+3y的最大值 和最小值.

【 解 析 】? 1 ? 因 为 a = 3 , 故 由 椭 圆 的 定 义 知 P F1 + P F 2 = 6 , | P F1 | ? | P F 2 | 2 所 以 P F1 ? P F 2 ? ( ) = 9, 2 当 且 仅 当 P F1 = P F 2 = 3 时 等 号 成 立 . 所 以 P F1 ? P F 2 的 最 大 值 为 9 .

? x ? 3 cos? , ?2?易 知 椭 圆 的 参 数 方 程 为 ? ? y ? 2 s in ? ? 则 2 x + 3 y = 6 c o s ? + 6 s i n ? = 6 2 s i n ( ? + ). 4 ? 当 s i n ( ? + )= - 1 时 , ( 2 x+ 3 y ) m in = - 6 2 ; 4 ? 当 s i n ( ? + )= 1 时 , ( 2 x+ 3 y ) m a x = 6 2 4

说明:此题还有其他解法,上面方法
较简捷.利用椭圆的参数方程,直接

将目标函数转化为三角函数,根据正
弦函数的最值求解

椭圆的综合应用
【 例 3】 x y 如 图 , 设 椭 圆 E: 2 ? 2 ? 1 a b ( a > b > 0 )的 焦 点 为 F 1 与 F 2, 且 P ? E , ? F 1 P F 2= 2 ? . 求 证 : P F 1 F 2的 面 积 S = b 2 t a n ? .
2 2

1 【 证 明 】 设 P F 1 = r1,P F 2 = r 2 , 则 S = r1 r 2 s i n 2 ? . 2 又 F 1 F 2 = 2 c, 由 余 弦 定 理 有 ? 2 c ? = r1 2 + r1 2 - 2 r1 r 2 c o s 2 ?
2

= ( r1+ r 2 ) - 2 r1 r 2 - 2 r1 r 2 c o s 2 ? = ? 2 a ? - 2 r1 r 2 (1 + c o s 2 ? ) ,
2 2

于 是 2 r1 r 2 (1 + c o s 2 ? )= 4 a 2 - 4 c 2= 4 b 2 2b 2 所 以 r1 r 2= 1 ? c o s 2? 1 2b 2 这 样 即 有 S= s in 2 ? 2 1 ? c o s 2? 2 2 s i n ? c o s? 2 =b = b ta n ? 2 2cos ?

用定义去解决圆锥曲线问题比较方

便.如本例,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则S=
1/2r1r2sin2θ.若能消去 r1r2 ,再借助余弦定理 即可解决问题.

【 变 式 练 习 3】 x2 y2 已 知 点 A、 B 分 别 是 椭 圆 ? =1 长 轴 的 左 、 右 36 20 端 点 , 点 F 是 椭 圆 的 右 焦 点 , 点 P是 椭 圆 上 的 点 , 位 于 x轴 的 上 方 , 且 P A ? P F .

?1 ? 求 点 P的 坐 标 ; ? 2 ? 设 M 为 椭 圆 长 轴 A B 上 的 一 点 , M 到 直 线 A P的
距 离 等 于 M B , 求 椭 圆 上 的 点 到 点 M 的 距 离 d的 最小值.

【 解 析 】 ? 1 ? 由 已 知 可 得 点 A (- 6 , 0 ), F ? 4 , 0 ? . u uur 设 点 P 的 坐 标 为 ( x , y ), 则 A P = ( x + 6 , y ), u ur F P = ( x - 4 , y ). 由 ? x2 y2 ? =1 ? 已 知 得 ? 36 20 , ? ( x ? 6 )( x ? 4 ) ? y 2 ? 0 ? 3 2 2 x + 9 x- 1 8 = 0 , 解 得 x= 或 x= - 6 . 2 3 5 于 y > 0 , 故 x= , 于 是 y= 3, 2 2 3 5 以 点 P的 坐 标 是 ( , 3) 2 2

则 由 所

? 2 ? 直 线 A P 的 方 程 为 x- 3 y + 6 = 0 . 设 点 M 的 坐 标 为 ? m , 0 ?,
|m ?6| 则 点 M 到 直 线 A P的 距 离 是 2 |m ?6| 由于 = | m - 6 | , 又 - 6 ? m ? 6 , 故 解 得 m = 2. 2 故 椭 圆 上 的 点 ( x, y ) 到 点 M 的 距 离 d 满 足 5 2 4 9 2 d = ( x- 2 ) + y = x - 4 x+ 4 + 2 0- x = ( x- ) + 1 5. 9 9 2 9 因 为 - 6 ? x ? 6 , 所 以 当 x= 时 , d 取 得 最 小 值 1 5 2
2 2 2 2

2 2 x y 1 . 若 方 程 ? 2= 1 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 , 2 a a ( - 1,0) 则 a 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 2 x y 【 解 析 】 方 程 化 为 标 准 方 程 得 ? 2= 1 2 a ? a 2 依 题 意 得 - a ? a ? 0 , 解 得 - 1 ? a ? 0 .

2 . 已 知 椭 圆 G 的 中 心 在 坐 标 原 点 , 长 轴 在 x 轴 上 , 离 3 心 率 为 , 且 G 上 一 点 到 G 的 两 个 焦 点 的 距 离 之 和 2 x2 y2 ?_ = 1 为, 1 2 则 椭 圆 G 的 方 程 为   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 36 9

3 【解析】题意e= , 2a= 12,得a=6, 2 则c=3 3,b= a ? c =3,
2 2

x2 y 2 则所求椭圆方程为 ? =1 36 9

x2 y2 3.直 线 x ? 2y ? 2 ? 0经 过 椭 圆 2 ? 2 ?1?a ? b ? 0? a b 的 一 个 焦 点 和 一 个 顶 点 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 等 于 2 5 .
5

解 析 : 由 题 意 知 椭 圆 的 焦 点 在轴 x 上 , 又 直 线 x?2 y? 2?0 与轴 x 、轴 y 的 交 点 分 别 为 ,0 ,1 它 们 分 别 ?2 ?、 ?0 ?, 是 椭 圆 的 焦 点 与 顶 点 , 所 以 b?1 , c?2 , 从 而 a? 5 , c 25 e? ? a 5

2 2 x y 4 . 已 知 椭 圆 C 与 椭 圆 C : ? = 1 有 相 同 的 焦 1 2 9 5 点 , 椭 圆 C 过 点 ( -, 6 1 ) , 求 椭 圆 的 标 准 方 程 . 1

x2 y2 【 解 析 】 在 椭 圆 C 2: ? = 1 中 , a 2= 9 , b 2= 5 , 9 5 所 以 c= a 2 ? c 2= 2 又 因 为 已 知 椭 圆 C 1与 椭 圆 C 2 有 相 同 的 焦 点 , 所 以 在 椭 圆 C 1中 , c 1= 2 , a 12 ? b 12 + 4 . x2 y2 设 椭 圆 C 1: 2 ? 2 = 1 , 又 椭 圆 C 1 过 点 (- b1 ? 4 b1 6, 1 ),

(? 6 )2 12 所 以 2 ? 2 = 1 , 解 得 b 12 = - 1 ( 舍 去 ) 或 b 12 = 4 , b1 ? 4 b1 则 a 12 ? b 12 ? 4 ? 8 x2 y2 所 以 椭 圆 C 1的 标 准 方 程 为 C 1: ? =1 8 4

x2 y2 5.设椭圆 2 ? 2 =1 ? a ? b ? 0 ? 的左、 a b 右两个焦点分别为 F1、 F2,短轴的 上端点为 B,短轴上的两个三等分 点为 P、 Q,且四边形 F1 PF2 Q为正方形. (1)求椭圆的离心率;

? 2 ? 若过点 B作此正方形的外接圆的切线在 x轴上的一
3 2 个截距为- ,求此椭圆的方程. 4

b 【 解 析 】? 1 ? 由 题 意 知 P (0 , ). 3 设 F1 (- c , 0 ). 因 为 四 边 形 F1 P F 2 Q 为 正 方 形 , b 所 以 c= , 即 b= 3 c, 3 c 1 所 以 b = 9 c , 即 a = 10 c , 所 以 2 = , a 10
2 2 2 2 2

10 所 以 离 心 率 e= 10

? 2 ?因为 B ? 0, 3c ?,
故由几何关系可求得一条切线的斜率为2 2, 所以切线方程为 y=2 2 x+3c. 3 2 因为切线在 x轴上的截距为- ,所以 c=1. 4 x2 y2 故所求椭圆的方程为 ? =1. 10 9

1 .椭圆的两个定义的灵活运用:椭圆 的两个定义都是用椭圆上的点到焦点的距离

来刻画的.第二定义将到焦点的距离与到准
线的距离 ( 平行于坐标轴的线 ) 建立了等量关 系.由此可对一些距离进行有效转化.因此, 在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时, 应先想到利用定义进行求解,会有事半功倍

之效.

2.椭圆的标准方程有两种形式,在解 题时要防止遗漏,要深刻理解椭圆中的几何 量a,b ,c,e等之间的关系如 ( a =b +c ,a> c b > 0,e = )及每一个量的本质含义,并能熟 a 练地应用于解题.
2 2 2

3 .求椭圆的标准方程,常采用“先

定位,后定量”的方法 ( 待定系数法 ) .如
若不能确定焦点的位置,则两种情况都要

考虑,这一点一定要注意,不要遗漏,此
时设所求的椭圆方程为一般形式: Ax2 + By2 = 1(A>0 , B>0 且 A≠B) ;若 A<B ,则焦

点在x轴上;若A>B,则焦点在y轴上.


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