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学案9 幂函数与二次函数


学案 9

幂函数

1 1 导学目标: 1.了解幂函数的概念.2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x 的图象, x 2 了解它们的变化情况.

自主梳理 1.幂函数的概念 形如______的函数叫做幂函数,其中____是自变量,____是常数. 2.幂函数的性质 (1)五种常见幂函数的性质,列表如下: 定义域 y=x y=x2 y=x3
1

值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+∞)

奇偶性 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇

单调性 ?↗ [0,+∞)↗ (-∞,0]↙ ?↗ [0,+∞)↗ (-∞,0)↙ (0,+∞)↙

过定点

R R R [0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+∞)

(1,1)

y= x 2 y=x
-1

(2)所有幂函数在________上都有定义,并且图象都过点(1,1),且在第____象限无图象. (3)α>0 时,幂函数的图象通过点________________,并且在区间(0,+∞)上是________, α<0 时,幂函数在(0,+∞)上是减函数,图象________原点. 自我检测 1 1.(2011· 石家庄月考)如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象.已知 n 取± 2,± 四 2 个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为 ( )

1 1 A.-2,- , ,2 2 2
1

1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 2.已知函数:①y=2 ;②y=log2x;③y=x ;④y= x .则下列函数图象(在第一象限部 分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 ( )
x
-1

1 2

A.②①③④ C.④①③②

B.②③①④ D.④③①②

1 3.(2011· 沧州模拟)设 α∈{-1,1, ,3},则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的所 2 有 α 值为 A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 ( 1 C.y= x D.y=x+1 ( ) ) ( )

x 4.与函数 y= 的图象形状一样的是 x+1 A.y=2x 5.已知点( A.f(x)=x3
1

B.y=log2x

3 ,3 3)在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的表达式是 3 B.f(x)=x
-3

C.f(x)= x 2

D.f(x)= x

?

1 2

探究点一 幂函数的定义与图象 例1 1 已知幂函数 f(x)的图象过点( 2,2),幂函数 g(x)的图象过点(2, ). 4

(1)求 f(x),g(x)的解析式; (2)求当 x 为何值时:①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x).

2

1 变式迁移 1 若点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,点(-2, )在幂函数 g(x)的图象上,定 4
?f?x?,f?x?≤g?x?, ? 义 h(x)=? ?g?x?,f?x?>g?x?, ?

试求函数 h(x)的最大值以及单调区间.

探究点二 幂函数的单调性 例2 (1) 3
0 .8

比较下列各题中值的大小. ,3
0 .7

;(2) 0.21 , 0.23 ;

3

3

1

1

2

(3) 2 2 , 1.8 3 ;(4) 4.15 , 3.8

?

2 3

3

和 (?1.9) 5 .

变式迁移 2 (1)比较下列各组值的大小:

1 ① ? 8 ________ ? ( ) 3 ; 9
?

1 3

1

②0.20.5________0.40.3.

3

(2)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,则 m 的取值范围是__________________________. 探究点三 幂函数的综合应用 例3 (2011· 葫芦岛模拟)已知函数 f(x)= x m
? m 3
2

?2 m?3

(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,

+∞)上是减函数,求满足 (a ? 1)

< (3 ? 2a)

?

m 3

的 a 的范围.

变式迁移 3 已知幂函数 f(x)= x

( m2 ? m) ?1

(m∈N*)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的 取值范围.

1.幂函数 y=xα(α∈R),其中 α 为常数,其本质特征是以幂的底 x 为自变量,指数 α 为常 数,这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”),在(1,+ ∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴.幂函数的图象一定会出现在第一象限内, 一定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数 的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原 点.

(满分:75 分)
4

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. 右图是函数 y= x
m n

(m, n∈N*, m、 n 互质)的图象, 则

(

)

m A.m,n 是奇数,且 <1 n m B.m 是偶数,n 是奇数,且 >1 n m C.m 是偶数,n 是奇数,且 <1 n m D.m 是奇数,n 是偶数,且 >1 n 2.(2010· 陕西)下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)= f(x)f(y)”的是 A.幂函数 C.指数函数 3.下列函数图象中,正确的是 B.对数函数 D.余弦函数 ( ) ( )

4.(2010· 安徽)设 a= ( ) 5 ,b= ( ) 5 ,c= ( ) 5 ,则 a,b,c 的大小关系是 ( A.a>c>b C.c>a>b B.a>b>c D.b>c>a
5

3 5

2

2 5

3

2 5

2

)

5.下列命题中正确的是 ①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0); ②幂函数的图象不可能在第四象限; ③当 n=0 时,函数 y=xn 的图象是一条直线; ④幂函数 y=xn 当 n>0 时是增函数; ⑤幂函数 y=xn 当 n<0 时在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小. A.①和④ C.②和③ 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 邯郸模拟)若幂函数 y= (m2 ? 3m ? 3) x 为________.
a 1
m 2?m?2

(

)

B.④和⑤ D.②和⑤ 1 2 3 4 5

的图象不经过原点,则实数 m 的值

7.已知 a=xα,b= x 2 ,c= x a ,x∈(0,1),α∈(0,1),则 a,b,c 的大小顺序是________. 8. 已知函数 f(x)=xα(0<α<1), 对于下列命题: ①若 x>1, 则 f(x)>1; ②若 0<x<1, 则 0<f(x)<1; f?x1? f?x2? ③当 x>0 时,若 f(x1)>f(x2),则 x1>x2;④若 0<x1<x2,则 < . x1 x2 其中正确的命题序号是________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为最小正周期的周期函数.当-1≤x<1 时,y=f(x)的 1 1 表达式是幂函数,且经过点( , ).求函数在[2k-1,2k+1)(k∈Z)上的表达式. 2 8

1

10. (12 分)已知 f(x)= x -x)>f(x+3).

x?n 2? 2 n?3

(n=2k, k∈Z)的图象在[0, +∞)上单调递增, 解不等式 f(x2

6

11.(14 分)(2011· 荆州模拟)已知函数 f(x)= x ?k (1)求 k 的值并求出相应的 f(x)的解析式;

2

?k ?2

(k∈Z)满足 f(2)<f(3).

(2)对于(1)中得到的函数 f(x),试判断是否存在 q>0, 使函数 g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x 在区 17 间[-1,2]上的值域为[-4, ]?若存在,求出 q;若不存在,请说明理由. 8

答案自主梳理 1.y=xα x α 2.(2)(0,+∞) 四 自我检测 1.B [方法一 由幂函数的图象与性质,n<0 时不过原点,故 C3,C4 对应的 n 值均为负, C1,C2 对应的 n 值均为正; 由增(减)快慢知 n(C1)>n(C2)>n(C3)>n(C4). 故 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为 1 1 2, ,- ,-2. 2 2 方法二 作直线 x=2 分别交 C1,C2,C3,C4 于点 A1,A2,A3,A4,则其对应点的纵坐标
7

(3)(0,0),(1,1) 增函数 不过

? 1 1 - 显然为 2 2 , 2 2 ,2 2,故 n 值分别为 2, ,- ,-2.] 2 2

2,

1 2

1

2.D ③y=x
-1

k [第一个图象过点(0,0),与④对应;第二个图象为反比例函数图象,表达式为 y= , x

恰好符合,

∴第二个图象对应③; 第三个图象为指数函数图象,表达式为 y=ax,且 a>1,①y=2x 恰好符合,∴第三个图象 对应①; 第四个图象为对数函数图象,表达式为 y=logax,且 a>1,②y=log2x 恰好符合,∴第四 个图象对应②. ∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.] 3.A 4.C 5.B

课堂活动区 例1 解 (1)设 f(x)=xα,

∵图象过点( 2,2),故 2=( 2)α, 解得 α=2,∴f(x)=x2. 1 设 g(x)=xβ,∵图象过点(2, ), 4 1 ∴ =2β,解得 β=-2. 4 ∴g(x)=x 2.


(2)在同一坐标系下作出 f(x)=x2 与 g(x)=x

-2

的图象,如图所示.

由图象可知,f(x),g(x)的图象均过点(-1,1)和(1,1). ∴①当 x>1,或 x<-1 时,f(x)>g(x); ②当 x=1,或 x=-1 时,f(x)=g(x); ③当-1<x<1 且 x≠0 时,f(x)<g(x). 变式迁移 1 解 求 f(x),g(x)解析式及作出 f(x),g(x)的图象同例 1, 如例 1 图所示,
?x 2,x<-1或x>1, ? 则有:h(x)=? 2 ?x ,-1≤x≤1. ?


8

根据图象可知函数 h(x)的最大值为 1,单调增区间为(-∞,-1)和(0,1);单调减区间为(- 1,0)和(1,+∞). 例 2 解题导引 比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同,还是指数相同,若底数

相同,利用指数函数的性质;若指数相同,利用幂函数的性质;若底数、指数皆不相同,考 虑用中间值法,常用 0 和 1“搭桥”进行分组. 解 (1)函数 y=3x 是增函数,∴30.8>30.7.

(2)函数 y=x3 是增函数,∴0.213<0.233. (3)∵ 2 ? 1.8 ? 1.8 , ∴ 2 ? 1.8 .
2 2
1 2 1 3
1 2 1 2 1 3

(4) 4.15 ? 15 =1;0< 3.8
3 3

?

2 3

? 1 3 =1;
? 2 3 2

?

2

(?1.9) 5 <0,∴ (?1.9) 5 ? 3.8
变式迁移 2 (1)①< ②< (2)m>0

? 4.15 .

解析 根据幂函数 y=x1.3 的图象, 当 0<x<1 时,0<y<1,∴0<0.71.3<1. 又根据幂函数 y=x0.7 的图象, 当 x>1 时,y>1,∴1.30.7>1. 于是有 0.71.3<1.30.7. 对于幂函数 y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m 知,当 x>0 时,随着 x 的增大,函数值也增大,∴ m>0. 例3 解 ∵函数 f(x)在(0,+∞)上递减, ∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 又函数的图象关于 y 轴对称, ∴m2-2m-3 是偶数, 而 22-2×2-3=-3 为奇数, 12-2×1-3=-4 为偶数, ∴m=1. 而 y= x
? 1 3

在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,
1 3

∴ (a ? 1)

?

< (3 ? 2a)

?

1 3

等价于 a+1>3-2a>0,

或 0>a+1>3-2a,或 a+1<0<3-2a,
9

2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 2 3 故 a 的范围为{a|a<-1 或 <a< }. 3 2 变式迁移 3 解 (1)m2+m=m(m+1),m∈N*, 而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, ∴m(m+1)为偶数. ∴函数 f(x)= x ( m
2

? m)

?1

(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.

(2)∵函数 f(x)经过点(2, 2), ∴ 2= 2
( m2 ? m ) ?1
1

,即 2 2 ? 2

( m 2 ? m ) ?1

.

∴m2+m=2. 解得 m=1 或 m=-2. 又∵m∈N*,∴m=1. 2-a≥0, ? ? 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0 ? ?2-a>a-1. 3 解得 1≤a< . 2 3 ∴a 的取值范围为[1, ). 2 课后练习区 1.C [由图象知,函数为偶函数, ∴m 为偶数,n 为奇数. m 又函数图象在第一限内上凸,∴ <1.] n 2.C [∵(x+y)α≠xα· yα, ∴幂函数 f(x)=xα 不具有此性质. ∵loga(x+y)≠logax· logay, ∴对数函数 f(x)=logax 不具有此性质. ∵ax y=ax· ay,∴指数函数 f(x)=ax 具有此性质.


∵cos(x+y)≠cos x· cos y, ∴余弦函数 y=cos x 不具有此性质.] 3.C [对 A、B,由 y=x+a 知 a>1,可知 A、B 图象不正确; D 中由 y=x+a 知 0<a<1,∴y=logax 应为减函数,D 错.]
2

4.A

[∵y= x 5 在 x∈(0,+∞)递增,
10

3 2 ∴ ( ) 5 ? ( ) 5 ,即 a>c, 5 5
2 ∵y=( )x 在 x∈(-∞,+∞)递减, 5 ∴ ( ) 5 ? ( ) 5 ,即 c>b, ∴a>c>b.] 5.D 6.1 或 2 解析
?m2-3m+3=1 ? 由? 2 解得 m=1 或 2. ? ?m -m-2≤0

2

2

2 5

2

2 5

3

经检验 m=1 或 2 都适合. 7.c<a<b 1 α 解析 ∵α∈(0,1),∴ >α> . α 2
1 a

又∵x∈(0,1),∴ x a <xα< x 2 ,即 c<a<b. 8.①②③

解析 作出 y=xα(0<α<1)在第一象限内的图象,如图所示, 可判定①②③正确, 又 f?x? 表示图象上的点与原点连线的斜率, x

f?x1? f?x2? 当 0<x1<x2 时应有 > ,故④错. x1 x2 9.解 设在[-1,1)中,f(x)=xn, 1 1 由点( , )在函数图象上,求得 n=3.……………………………………………………(4 分) 2 8 令 x∈[2k-1,2k+1),则 x-2k∈[-1,1), ∴f(x-2k)=(x-2k)3.……………………………………………………………………(8 分) 又 f(x)周期为 2,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)3. 即 f(x)=(x-2k)3(k∈Z).………………………………………………………………(12 分)

11

1 10.解 由条件知 2 >0, -n +2n+3 -n2+2n+3>0,解得-1<n<3.…………………………………………………………(4 分) 又 n=2k,k∈Z,∴n=0,2. 1 当 n=0,2 时,f(x)=x , 3 ∴f(x)在 R 上单调递增.…………………………………………………………………(8 分) ∴f(x2-x)>f(x+3)转化为 x2-x>x+3. 解得 x<-1 或 x>3. ∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).………………………………………(12 分) 11.解 (1)∵f(2)<f(3),

∴f(x)在第一象限是增函数. 故-k2+k+2>0,解得-1<k<2. 又∵k∈Z,∴k=0 或 k=1. 当 k=0 或 k=1 时,-k2+k+2=2, ∴f(x)=x2.…………………………………………………………………………………(6 分) (2)假设存在 q>0 满足题设,由(1)知 g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2]. 2q-1 4q2+1 ∵g(2)=-1,∴两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点( , )处取得. 2q 4q ……………………………………………………………………………………………(8 分) 4q2+1 4q2+1 ?4q-1?2 而 -g(-1)= -(2-3q)= ≥0, 4q 4q 4q ∴g(x)max= 4q2+1 17 = ,…………………………………………………………………(12 分) 4q 8

g(x)min=g(-1)=2-3q=-4. 解得 q=2.∴存在 q=2 满足题意.……………………………………………………(14 分)

12


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