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2019年高中数学人教A版选修1-1练习:第3章 导数及其应用3.3.2 Word版含解析

高中数学选修精品教学资料
第三章 3.3 3.3.2

A 级 基础巩固 一、选择题 1.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f ′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x) 在开区间(a,b)内有极小值点 导学号 03624830 ( A )

A.1 个 C.3 个

B .2 个 D.4 个

[解析] 极小值点应有先减后增的特点,即 f ′(x)<0→f ′(x)=0→f ′(x)>0.由图象可知 只有 1 个极小值点. 2.已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c= 导学号 03624831 ( A ) A.-2 或 2 C.-1 或 1 B.-9 或 3 D.-3 或 1

[解析] ∵y′=3x2-3,∴当 y′=0 时,x=± 1, 则 x,y′,y 的变化情况如下表: x y′ y (-∞,-1) + c+2 -1 (-1,1) - c-2 1 (1,+∞) +

因此,当函数图象与 x 轴恰有两个公共点时,必有 c+2=0 或 c-2=0,∴c=-2 或 c=2. 3. (2016· 四川)已知 a 为函数 f(x)=x3-12x 的极小值点,则 a= 导学号 03624832 ( D A.-4 C.4 B.-2 D.2 )

[解析] f′(x)=3x2-12,令 f′(x)>0 得 x<-2 或 x>2,令 f′(x)<0 得-2<x<2, ∴f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,

∴当 x=2 时, f(x)取极小值,即 2 是函数 f(x)的极小值点,故 a=2. 4.设函数 f(x)=xex,则 导学号 03624833 ( D ) A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 [解析] f ′(x)=ex+xex=ex(1+x), 令 f ′(x)>0,得 x>-1, 令 f ′(x)<0,得 x<-1, ∴函数 f(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,∴当 x=-1 时,f(x)取得极小值. 2 5.设函数 f(x)= +ln x,则 导学号 03624834 ( D ) x 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 [解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题. 2 1 1 2 f ′(x)=- 2+ = (1- ), x x x x 由 f ′(x)=0 可得 x=2. 当 0<x<2 时,f ′(x)<0,f(x)递减,当 x>2 时, f ′(x)>0,∴f(x)单调递增.所以 x=2 为极小值点. 对于含有对数形式的函数在求导时,不要忽视定义域. 6.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 导学号 03624835 ( D ) A.2 C.6 B .3 D.9

a+b 2 [解析] f ′(x)=12x2-2ax-2b,由条件知 f ′(1)=0,∴a+b=6,∴ab≤( ) =9,等号 2 在 a=b=3 时成立,故选 D. 二、填空题 1 1 7.函数 f(x)=- x3+ x2+2x 取得极小值时,x 的值是__-1__. 导学号 03624836 3 2 [解析] f ′(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1),

令 f ′(x)>0 得-1<x<2,令 f ′(x)<0,得 x<-1 或 x>2,∴函数 f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上递 减,在(-1,2)上递增,∴当 x=-1 时,函数 f(x)取得极小值. 1 8. (2015· 陕西文)函数 y=xex 在其极值点处的切线方程为 y=- e . 导学号 03624837

1 [解析] ∵y=xex,∴y′=ex+xex=ex(x+1),当 x=-1 时 y 有极小值,此时 y|x=-1=- ,而 e 1 y′|x=-1=0,∴切线方程为 y=- . e 三、解答题 9. 设函数 y=x3+ax2+bx+c 的图象如图所示,且与 y=0 在原点相切,若函数的极小值为 -4.

(1)求 a、b、c 的值; (2)求函数的递减区间. 导学号 03624838 [解析] (1)因为函数的图象经过点(0,0), 易得 c=0. 又图象与 x 轴相切于点(0,0),且 y′=3x2+2ax+b, 故 0=3×02+2a×0+b,解得 b=0. 所以 y=x3+ax2,则 y′=3x2+2ax. 2 令 y′=0,解得 x=0 或 x=- a, 3 2 即 x=0 和 x=- a 是极值点. 3 由图象知函数在 x=0 处取极大值, 2 故在 x=- a 时取极小值. 3 2 当 x=- a 时,函数有极小值-4, 3 2 2a 所以(- a)3+a(- )2=-4, 3 3 整理得 a3=-27,解得 a=-3.故 a=-3、b=0、c=0. (2)由(1)得 y=x3-3x2,则 y′=3x2-6x, 令 y′<0,即 y′=3x2-6x<0,解得 0<x<2, 所以,函数的递减区间是(0,2). B 级 素养提升

一、选择题 1.函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有 导学号 03624839 ( C ) A.极大值 5,极小值-27 B.极大值 5,极小值-11 C.极大值 5,无极小值 D.极小值-27,无极大值 [解析] y′=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1), ∵-2<x<2, ∴令 y′>0 得-2<x<-1,令 y′<0 得-1<x<2, ∴函数在(-2,-1)上递增,在(-1,2)上递减, ∴当 x=-1 时,f(x)取极大值 f(-1)=-1-3+9=5,f(x)无极小值. 2.(2016· 广西南宁高二检测)已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函 数的一个递增区间是 导学号 03624840 ( B ) A.(2,3) C.(2,+∞) [解析] y′=6x2+2ax+36, 由已知得 24+4a+36=0, ∴a=-15. ∴y′=6x2-30x+36 =6(x2-5x+6)=6(x-2)(x-3), 令 y′>0,得 x<2 或 x>3,故选 B. 3.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值分别 为 导学号 03624841 ( A 4 A. ,0 27 4 C.- ,0 27 [解析] f ′(x)=3x2-2px-q, 由 f ′(1)=0,f(1)=0 得,
? ? ?3-2p-q=0 ?p=2 ? ,解得? ,∴f(x)=x3-2x2+x. ?1-p-q=0 ?q=-1 ? ?

B.(3,+∞) D.(-∞,3)

) 4 B.0, 27 4 D.0,- 27

1 由 f ′(x)=3x2-4x+1=0 得 x= 或 x=1, 3 1 4 易得当 x= 时 f(x)取极大值 . 3 27

当 x=1 时 f(x)取极小值 0. 4. 已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范 围是 导学号 03624842 ( D ) A.[-3,6] C.(-∞,-3]∪[6,+∞)
2

B.(-3,6) D.(-∞,-3)∪(6,+∞)

[解析] 函数的导数为 f ′(x)=3x +2mx+(m+6),要使函数 f(x)既存在极大值又存在极 小值,则 f ′(x)=0 有两个不同的根,所以判别式 Δ>0,即 Δ=4m2-12(m+6)>0,所以 m2-3m- 18>0,解得 m>6 或 m<-3. 1 2 5 . 若函数 f(x) = x3 + x2 - 在区间 (a,a + 5) 上存在最小值 , 则实数 a 的取值范围是 3 3 导学号 03624843 ( C A.[-5,0) C.[-3,0) [解析] ) B.(-5,0) D.(-3,0)

由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故 f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数 ,在(-

1 2 2 2,0)上是减函数,作出其图象如图所示 ,令 x3+x2- =- 得,x=0 或 x=-3,则结合图象可 3 3 3
?-3≤a<0, ? 知,? 解得 a∈[-3,0),故选 C. ?a+5>0, ?

二、填空题 6 .设 x = 1 与 x = 2 是函数 f(x) = alnx + bx2 + x 的两个极值点 , 则常数 a = 2 . 导学号 03624844 3 a [解析] f ′(x)= +2bx+1, x a+2b+1=0 ? ? 2 由题意得?a ,∴a=- . 3 ?2+4b+1=0 ? 7.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是__(- 2,2)__. 导学号 03624845 [解析] f ′(x)=3x2-3,由 3x2-3=0 得 x=1 或-1, 当 x<-1,或 x>1 时,f ′(x)>0,f(x)单调增; -

当-1<x<1 时,f ′(x)<0,f(x)单调减. ∴x=-1 时,f(x)取到极大值 f(-1)=2,x=1 时,f(x)取到极小值 f(1)=-2,∴欲使直线 y=a 与函数 f(x)的图象有相异的三个公共点,应有-2<a<2. 三、解答题 8 . (2016· 广西南宁高二检测 ) 设 x =- 2,x = 4 是函数 f(x) = x3 + ax2 + bx 的两个极值 点. 导学号 03624846 (1)求常数 a、b 的值; (2)判断 x=-2,x=4 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. [解析] (1)f′(x)=3x2+2ax+b,
? ?12-4a+b=0 由题意得? , ?48+8a+b=0 ? ?a=-3 ? 解得? . ?b=-24 ?

(2)由(1)知 f′(x)=3x2-6x-24 =3(x2-2x-8) =3(x-4)(x+2), 令 f′(x)>0,得 x<-2 或 x>4, 令 f′(x)<0,得-2<x<4. ∴f(x)在(-∞,-2),(4,+∞)上单调递增,在(-2,4)上单调递减, ∴当 x=-2 时, f(x)取极大值,当 x=4 时, f(x)取极小值,故 x=-2 是极大值点,x=4 是极小 值点. C 级 能力提高 1.(2016· 河南郑州高二检测)已知函数 f(x)=2f′(1)ln x-x,则 f(x)的极大值为__2ln_2- 2__. 导学号 03624847 [解析] 函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 由于函数 f(x)=2f′(1)ln x-x. 1 则 f′(x)=2f′(1)× -1(x>0), x f′(1)=2f′(x)-1, 2-x 1 故 f′(1)=1,得到 f′(x)=2× -1= , x x 令 f′(x)>0,解得 x<2,令 f′(x)<0,解得 x>2, 则函数在(0,2)上为增函数,在[2,+∞)上为减函数,故 f(x)的极大值为 f(2)=2ln 2-2. 2.已知函数 f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y

=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围. 导学号 03624848 [解析] ∵f(x)在 x=-1 处取得极值, ∴f ′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1. ∴f(x)=x3-3x-1,∴f ′(x)=3x2-3, 由 f ′(x)=0 解得 x1=-1,x2=1. 当 x<-1 时,f ′(x)>0;当-1<x<1 时,f ′(x)<0; 当 x>1 时,f ′(x)>0. ∴由 f(x)的单调性可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1,在 x=1 处取得极小值 f(1) =-3. ∵直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点, 又 f(-3)=-19<-3,f(3)=17>1, 结合 f(x)的单调性可知,m 的取值范围是(-3,1).


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