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2014高中数学 离散型随机变量及其分布列参考课件 北师大版选修2-3


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3.离散型随机变量分布列的性质 pi≥0,i=1,2,3,?,n (1)___________________________ ; p1+p2+p3+?+pn=1 (2) __________________________. 4.常见离散型随机变量的分布列 X 1 0 P p q

? 二点分布 ? 若随机变量X的分布列是 ? X10Ppq其中0<p<1,q=1-p,则称离散 型随机变量X服从参数为p的二点分布.

? 5.超几何分布 ? 设有总数为N件的两类物品,其中一类有n 件,从所有物品中任取M件(M≤N),这M件中 所含这类物品件数X是一个离散型随机变量, n m 它取值为 m 时的概率为 P ( X = m ) = Cm C M N M
- -

Cn N

,m=0,1,2,?,n

?______________________________,m= 0,1,2,?,n(0≤m≤l,l是n和M中较小的一 个).我们称离散型随机变量X的这种形式的 概率分布为超几何分布,也称X服从参数为N, M,n的超几何分布.

典型例题精析

知能巩固提升

一、选择题(每题5分,共15分) 1.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机

试验结果是(
(A)两颗都是4点 (B)两颗都是2点

)

(C)一颗是1点,另一颗是3点
(D)一颗是1点,另一颗是3点,或者两颗都是2点

【解析】选D.由于抛掷一颗骰子,可能出现的点数是1,2,3,
4,5,6这6种情况之一,而X表示抛掷两颗骰子所得点数之和, 所以X=4=1+3=2+2,表示的随机试验结果是:一颗是1点,另一

颗是3点,或者两颗都是2点.

2.某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止
射击,射击次数为X,则“X=5”表示的试验结果是( (A)第5次击中目标 (B)第5次未击中目标 (C)前4次均未击中目标 )

(D)第4次击中目标
【解析】选C.“X=5”表示射击次数为5次,依题意击中时就 停止射击,故前4次均未击中目标.

3.一产品分为一、二、三级,其中一级品是二级品的2倍,三 级品是二级品的 , 从这批产品中随机抽取一个检验质量,其 级别为随机变量X,则P(X>1)的值是( )
1 2

(A) 4
7

(B)

3 7

(C) 2
7

(D) 1
7

【解题提示】本题应先由比例关系,分别求得一、二、三 级产品对应的概率,再确定P(X>1)的值. 【解析】选B.由题意可知 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= , ∴ P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)= 2 + 1 = 3 .
7 7 7 4 7 2 7 1 7

二、填空题(每题5分,共10分)

4.(2010·三明高二检测)已知离散型随机变量X的概率分布
如下:

则K为_______.
【解析】由离散型随机变量分布列性质可知 K+2K+3K=1即 K= 1
1 答案: 6 6

5.把3个骰子全部掷出,设出现6点的骰子次数是X,则P (X<2)=________.
3 2 5 5 1 【解析】P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)= 3 +C3 ? 3 = 25 . 6 6 27 25

答案:

27

三、解答题(6题12分,7题13分,共25分) 6.(2010·吉林高二检测)某中学语文测试中出现连线题,有 四位作家和四个作品,每位作家和一个作品对应,连对一个得 3分,连错一个得0分,某位同学随机地把四位作家和四个作品

连在一起,设他所得的分数为随机变量X,
(1)请写出X的分布列; (2)求这位同学得分不低于6分的概率.

【解题提示】先列出X的所有可能取值,求出对应的概率值,
由分布列可得P(X≥6).

【解析】(1)X的所有可能取值为:0,3,6,12
3 1 1 1 P(X=0)= ,P(X=3)= ,P(X=6)= ,P(X=12)= 8 3 4 24

所以X的分布列为:

(2)P(X≥6)=P(X=6)+P(X=12)= 1 + 1 = 7

4 24 24

7.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6, 现从中随机取出3个球,用X表示取出球的最大号码,求X的分 布列. 【解题提示】随机取出3个球的最大号码X的所有可能取值 为3,4,5,6.而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式 和排列组合知识来解,从而获得X的分布列.

【解析】随机变量X的可能取值为3,4,5,6.“X=3”对应事 件“取出的3个球的编号为1,2,3”;“X=4”对应事件“取

出的3个球中恰取到4号球和1,2,3号球中的2个”;“X=5”
对应事件“取出的3个球中恰取到5号球和1,2,3,4号球中 的2个”;“X=6”对应事件“取出的3个球中恰取到6号球和

1,2,3,4,5号球中的2个”.
从袋中随机地取3个球,包含的基本事件总数为 C3 事件 6, “X=3”包含的基本事件总数为 C3 事件“X=4”包含的基本 3,
1 2 2 事件“X=5”包含的基本事件总数为 事件总数为 C1 事 C C , 1C4 , 1 3 2 件“X=6”包含的基本事件总数为 C1 从而有 C 1 5,

∴随机变量X的分布列为

1.(5分)(2010·银川高二检测)设随机变量Y等可能地取

值1,2,3,4,5,6,7,8,又设随机变量X=2Y+1,则P(X
<6)的值为( (A)
1 6


1 8

(B)

(C)

【解析】选C.因为X=2Y+1,所以X的可能取值为3,5,7,9, 11,13,15,17共8个,又∵Y是等可能取值, ∴P(X<6)=P(X=3)+P(X=5)= + = .
1 1 1 8 8 4

1 4

(D)

1 2

2.(5分)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,若设X表 示所取的2台彩电中甲型彩电的台数,则P(X=1)=______. 【解析】X=1时对应实验结果为取的2台彩电中甲型彩电的台数 是1台,而乙型彩电的台数也是1台,对应的概率是
1 C1 C 3 3 P= 3 2 2 = ? P(X=1)= . C5 5 5 3 答案: 5

3.(5分)抛掷两颗骰子,所得点数之和X是一个随机变 量,P(X≤4)=________. 【解题提示】X≤4包含了X=2,X=3,X=4三种情形,分别求 出相应的概率最后求和.

【解析】P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).
相应的基本事件空间有36个基本事件,X=2对应(1,1), X=3对应(1,2),(2,1),X=4对应(1,3),(3,1),
1 2 1 ,P(X=3)= = , 36 36 18 3 1 P(X=4)= = , 所以P(X≤4)= 1 . 36 12 6 1 答案: 6

(2,2),故 P(X=2)=

4.(15分)设随机变量X的分布列P(X= k )=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数a的值;
3 ); 5 (3)求 P( 1 <X< 7 ). 10 10 5

(2)求P(X≥

【解题提示】(1)先求出X的分布列,再根据分布列的性 质确定a.(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合 分布列求解.

【解析】依题意,随机变量X的分布列为

(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得 a=

1 . 15


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