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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件:2-2-1 综合法与分析法


成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
推理与证明

第二章

推理与证明

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第二章
2.2 直接证明与间接证明

第二章

推理与证明

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第二章
第 1 课时 综合法与分析法

第二章

推理与证明

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第二章

2.2

第1课时

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课程目标解读

第二章

2.2

第1课时

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1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本 方法.分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特 点. 2.进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系 与差异.

第二章

2.2

第1课时

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重点难点展示

第二章

2.2

第1课时

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本节重点:综合法和分析法的概念及思考过程、特点. 本节难点:综合法和分析法的应用.

第二章

2.2

第1课时

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学习要点点拨

第二章

2.2

第1课时

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一、综合法 1.综合法的特点 从“已知”看“可知”, 逐步推向“未知”, 其逐步推理, 是由因导果,实际上是寻找“已知”的必要条件.

第二章

2.2

第1课时

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用综合法证明数学问题,证明步骤严谨,逐层递进,步步 为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹,并且 综合法的推理过程属于演绎推理,它的每一步推理得出的结论 都是正确的,不同于合情推理.使用综合法证明问题,有时从 条件可得出几个结论,哪个结论才可作为下一步的条件是分析 的要点,所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利 用综合法证明数学问题的关键.

第二章

2.2

第1课时

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2.综合法的基本思路 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示 所要证明的结论,则综合法的推理形式为 P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q 其逻辑依据是三段论式演绎推理.

第二章

2.2

第1课时

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二、分析法 1.分析法的特点 分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”,执 果索因,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找它 的充分条件. 分析法的推理过程也属于演绎推理,每一步推理都是严密 的逻辑推理.

第二章

2.2

第1课时

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2.分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”,从待征结论或需求问 题出发,一步一步地探索下去,最后得到一个明显成立的条 件.若用 P 表示要证明的结论,则分析法的推理形式为 P?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一个明显成立的条件

第二章

2.2

第1课时

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三、分析法与综合法的区别与联系 (1)区别:综合法是“由因导果”,而分析法则是“执果索 因”,它们是截然相反的两种证明方法.分析法便于我们去寻 找思路,而综合法便于过程的叙述,两种方法各有所长,在解 决具体的问题时,结合起来运用效果会更好.

第二章

2.2

第1课时

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(2)联系:在分析法中,从结论出发的每一步所得到的判断 都是使结论成立的充分条件,最后的一步归结为已被证明了的 事实.因此从分析法的最后一步又可以倒推回去,直到结论, 这个倒推的证明过程就是综合法. 分析法便于思考,叙述较繁;综合法叙述条理清楚,不便 于思考,综合法是分析法的逆向思维过程,表述简单,条理清 楚.所以实际证题时,可将分析法、综合法结合起来使用,即: 分析找思路,综合写过程.

第二章

2.2

第1课时

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用分析法证题时,要注意表述的规范严谨,正确使用“要 证”、“只须证”这样的连接词.

第二章

2.2

第1课时

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课前自主预习

第二章

2.2

第1课时

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1.根据分析法与综合法的基本概念与推理方式填表 综合法 分析法

利用 已知条件 和某些 从要证明的结论出发, 逐步寻求
公理 使它成立的 充分条件 ,直至最 数学 定义、定理 、

定 等,经过一系列的推理 后, 把要证明的结论归结为判定 义 论证最 后 推 导 出 所 要 一 个 明 显 成 立 的 条 件 ( 已 知 条 证明的结论成立, 这种 件、 定理 、 定义、 公理等),这 证明方法叫做综合法 种证明方法叫做分析法

第二章

2.2

第1课时

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综合法 P?Q1 → Q1?Q2 → 框 图 表 Q2?Q3 →?→ Qn?Q (P 表示

分析法

Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一个明显?成立的条件

已知条件 、已有的

示 定义 、定理 、公理 等,Q 表示 所要证明的

结论 )

第二章

2.2

第1课时

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综合法 特 点 顺推证法或由因导果法

分析法 逆推证法或执果索因法

第二章

2.2

第1课时

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2.当待解决问题,一时打不开思路,不知从何入手时,有 时可以运用 分析法 去探求解题思路,特别是对于条件简单而 结论复杂的题目,往往更是行之有效的方法,另外,对于恒等 式的证明,也同样可以运用分析法证明.又如在立体几何证明 题中,将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析,看 能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路,也是常用方 法.

第二章

2.2

第1课时

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课堂典例讲练

第二章

2.2

第1课时

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思路方法技巧
命题方向 综合法的应用

[例 1]

已知 a,b 是正数,且 a+b=1,

1 1 求证:a+b≥4.

第二章

2.2

第1课时

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[分析]

注意到条件 a+b=1,可在待证式中进行 1 的代

换(或利用字母之间的倒数关系,将待证式左边乘以 1,即乘以 (a+b)变形后用基本不等式证明.也可以先将 a+b=1 利用基 本不等式转化为 ab的不等式,再看待证式能否向 ab(或 ab) 转化.

第二章

2.2

第1课时

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[证明]

解法一:∵a,b 是正数且 a+b=1,

1 1 1 ∴a+b≥2 ab,∴ ab≤ ,∴ab≤ , ≥4. 2 4 ab 1 1 a+b 1 ∴a+b= ab =ab≥4.

第二章

2.2

第1课时

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解法二:∵a,b 是正数, 1 1 ∴a+b≥2 ab>0, + ≥2 a b 1 1 ∴(a+b)(a+b)≥4. 1 1 又 a+b=1,∴a+b≥4. 1 1 a+b a+b b a 解法三: + = + =1+ + +1≥2+2 a b a b a b 4.当且仅当 a=b 时,取“=”号. ba ·= ab 1 >0, ab

第二章

2.2

第1课时

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[点评]

1.综合法证明问题的步骤

第一步:分析条件,选择方向.认真发掘题目的已知条件, 特别是隐含条件,分析已知与结论之间的联系,选择相关的公 理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法. 第二步:转化条件,组织过程.把题目的已知条件,转化 成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间 的转化.组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思 路.

第二章

2.2

第1课时

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第三步:适当调整,回顾反思.解题后回顾解题过程,可 对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,反思总 结解题方法的选取.

第二章

2.2

第1课时

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2.综合法证明不等式依赖的主要是不等式的基本性质和 已知的重要不等式,其中常用的有如下几个: ①a2≥0(a∈R). ② (a - b)2≥0(a 、 b ∈ R) , 其 变 形 有 a2 + b2≥2ab , a+b 2 ?a+b?2 ( 2 ) ≥ab,a2+b2≥ 2 . a+b b a ③若 a、b∈(0,+∞),则 ≥ ab, + ≥2. 2 a b

第二章

2.2

第1课时

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1 1 25 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(a+a)(b+b)≥ 4.

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2 ab,

1 ∴ab≤4.
2 2 1 1 25 a +1 b +1 25 ∴(a+a)(b+b)- 4 = a · b - 4

4a2b2-33ab+8 ?1-4ab??8-ab? = = ≥0. 4ab 4ab 1 1 25 ∴(a+a)(b+b)≥ 4 .

第二章

2.2

第1课时

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建模应用引路
命题方向 分析法的应用
2 2

[例 2]

2 设 a、b 为实数,求证 a +b ≥ (a+b). 2

第二章

2.2

第1课时

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[解析]
2 2

当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0,

2 ∴ a +b ≥ 2 (a+b)成立. 当 a+b>0 时, 用分析法证明如下: 2 要证 a +b ≥ (a+b), 2
2 2

2 只需证( a +b ) ≥[ 2 (a+b)]2.
2 2 2

第二章

2.2

第1课时

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1 2 即证 a +b ≥ (a +b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. 2
2 2

∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, 2 ∴ a +b ≥ 2 (a+b)成立.综上所述,不等式得证.
2 2

第二章

2.2

第1课时

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[点评]

(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性

质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论; (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发, 逐步 寻求使它成立的充分条件, 最后得到的充分条件是已知(或已证) 的不等式; (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要 证”、“只需证”、“即证”等词语.

第二章

2.2

第1课时

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当 a≥2 时,求证 a+1- a< a-1- a-2.

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

要证 a+1- a< a-1- a-2,

只需证 a+1+ a-2< a+ a-1, 只需证( a+1+ a-2)2<( a+ a-1)2, 只 需 证 a + 1 + a - 2 + 2 ?a+1??a-2? < a + a - 1 + 2 a?a-1?, 只需证 ?a+1??a-2?< a?a-1?, 只需证(a+1)(a-2)<a(a-1), 即证-2<0,而-2<0 显然成立, 所以 a+1- a< a-1- a-2成立.
第二章 2.2 第1课时

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探索延拓创新
命题方向 综合法和分析法的综合应用

[例 3] [分析] 来解决.

求证:当 x≥0 时,sinx≤x. 不等式恒成立问题, 可以转化为函数的最值问题

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

要证 x≥0 时,sinx≤x,

只需证 x≥0 时,sinx-x≤0 即可. 设 f(x)=sinx-x,则即证 x≥0 时,f(x)≤f(0). 即证 x≥0 时,f(x)的最大值小于或等于 0.(*) ∵f(x)=sinx-x, ∴f′(x)=cosx-1,∴当 x≥0 时,f′(x)≤0, ∴f(x)在[0,+∞)上单调递减. ∴当 x≥0 时,f(x)max=f(0)=0,∴sinx-x≤0 成立. ∴原不等式成立.
第二章 2.2 第1课时

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设 a,b 是相异的正数,求证:关于 x 的一元二次方程(a2 +b2)x2+4abx+2ab=0 没有实数根.

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

要证明(a2+b2)x2+4abx+2ab=0 没有实数根,

只需证△<0 即可. ∵△=(4ab)2-4(a2+b2)· 2ab =16a2b2-8a3b-8b3a=8ab(2ab-a2-b2) =-8ab(a2-2ab+b2)=-8ab(a-b)2. ∵a、b 是相异的正数, ∴ab>0,(a-b)2>0,∴-8ab(a-b)2<0, ∴该一元二次方程没有实数根.

第二章

2.2

第1课时

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名师辨误做答

[例 4]

bn 1 an 1 1 1 设 a+b>0,n 为偶数,求证 an + bn ≥a+b.





第二章

2.2

第1课时

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bn 1 an 1 1 1 ?an-bn??an 1-bn 1? [错解] + n - - = . n an b a b ?ab?
- - - -

∵n 为偶数,∴(ab)n>0. 又∵an-bn 和 an 1-bn 1 同号, bn-1 an-1 1 1 ∴ an + bn -a-b>0, bn 1 an 1 1 1 ∴ an + bn >a+b.
- - - -

第二章

2.2

第1课时

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[辨析]

这里题目中的条件为 a+b>0,而不是 a>0,b>0,

因此,应分 a>0 且 b>0 和 a,b 有一个为负值两种情况加以 讨论.

第二章

2.2

第1课时

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bn-1 an-1 1 1 ?an-bn??an-1-bn-1? [正解] an + bn -a-b= . ?ab?n ①当 a>0,b>0,a+b>0 时,(an-bn)(an-1-bn-1)≥0, (ab)n>0, ?an-bn??an-1-bn-1? bn-1 an-1 1 1 ∴ ≥0,∴ an + bn ≥a+b. ?ab?n ②当 a,b 有一个为负值时,不妨设 a>0,b<0,且 a+b >0,∴a>|b|. ∴(ab)n>0,an>0,bn>0,an-1>0,bn-1<0,

第二章

2.2

第1课时

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故 an-bn>0,an-1-bn-1>0, ?an-bn??an-1-bn-1? ∴ ≥0 n ?ab? bn 1 an 1 1 1 ∴ an + bn ≥a+b ∴由①②知结论成立.
- -

第二章

2.2

第1课时

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课堂巩固练习

第二章

2.2

第1课时

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一、选择题 1.a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是( 1 A.a+b+ ≥2 2 ab
? 1 1? B.(a+b)?a+b?≥4 ? ?

)

a2+b2 C. ≥a+b ab 2ab D. ≥ ab a+b
[答案] D
第二章 2.2 第1课时

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[解析] ≤ ab

2 ab 2ab ∵a>0,b>0,∴a+b≥2 ab,∴ ≤1,∴ a+b a+b

第二章

2.2

第1课时

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2.若 a、b、c∈R,且 ab+bc+ca=1,则下列不等式成 立的是( )

A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3 1 1 1 C.a+b+c≥2 3 1 D.abc(a+b+c)≤3
[答案] B

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

∵a、b、c∈R,∴a2+b2≥2ab,

b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac, ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac=1 又(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac =a2+b2+c2+2≥3.

第二章

2.2

第1课时

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3.在△ABC 中,已知 cosAcosB>sinAsinB,则△ABC 一定 是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形
[答案]C

B.直角三角形 D.不能确定

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

∵cosAcosB>sinsinB,

∴cos(A+B)>0,∴A+B 为锐角, ∴C 为钝角,故选 C.

第二章

2.2

第1课时

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二、填空题 4.(2012~2013 学年度天津和平区高二期末测试)设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a、b、c 从小到大的排列顺 序是________.

[答案]

b<c<a

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

a2=2,b2=10-2 21<2,

c2=8-2 12<2, 假设 b<c,即 7- 3< 6- 2, 也就是 7+ 2< 3+ 6, 即 9+2 14<9+2 18, 即 14< 18显然成立, ∴b<c<a.

第二章

2.2

第1课时

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1 1 1 5.设 a>0,b>0,c>0,若 a+b+c=1,则 + + 的最小 a b c 值为________.

[答案]

9

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,

1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+c= a + b + c b a c a c b =3+a+b+a+c+b+ c ≥3+2 =9, 1 当且仅当 a=b=c=3时等号成立. ba a·+2 b ca a·+2 c cb b· c

第二章

2.2

第1课时

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三、解答题 6.已知 a、b、c∈R ,求证:


a2+b2+c2 a+b+c ≥ . 3 3

第二章

2.2

第1课时

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[答案]

b<c<a

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

分析法:要证

a2+b2+c2 a+b+c ≥ , 3 3

a2+b2+c2 a+b+c 2 只需证: ≥( ), 3 3 只需证:3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca, 只需证:2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ca, 只需证: (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0, 而这是显然成立的, 所以 a2+b2+c2 a+b+c ≥ 3 成立. 3

第二章

2.2

第1课时

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综合法: ∵a、b、c∈R+,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0, ∴2(a2+b2+c2)≥(ab+bc+ac), ∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2, ∴ a2+b2+c2 a+b+c ≥ 3 . 3

第二章

2.2

第1课时

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课后强化作业(点此链接)

第二章

2.2

第1课时


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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:2-1-1 曲线与方程_数学_...培养学生 分析归纳能力. 第二章 圆锥曲线与方程 成才之路 高中新课程 学习...
2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件:3-2-2 ....ppt
2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件:3-2-2 复数代数形式的乘除...[分析] 此必须先分母实数化,再化简. 第三章 3.2 第2课时 成才之路 高中...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件:第二章 推理与证明_数学_...分析法的过程仅需要寻求充分条件即可,而不是充要 条件. 分析法是逆推证明, 故...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:2-1-2 曲线方程的求法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A版 选修2-1 路漫漫其修远...
2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件:第三章....ppt
2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件:第三章 数系的扩充与复数的引入_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A版 选修1-2 路漫漫其修远兮...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:3-1-5 空间向量运算的坐标... b,并确定 λ,μ 的关系,使 a+μb与 z 轴垂直. [分析] 前三者只需...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:3-2-4 利用向量知识求空间... 选修2-1 [分析] 由于 PA⊥平面 ABC,故 PA⊥AC,PA⊥BC,又 AC⊥BC,...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:...数学 选修1-11-2合订 坐标法是研究圆锥...[分析] 1 由已知条件 sinB-sinC=2sinA, 可以考虑...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:第二章 圆锥曲线与方程_数学...选修2-1 [分析] 设 N、M 分别是 PF1、PF2 的中点,只要证明|OM| 1 ...
2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:3-1-4 ....ppt
2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:3-1-4 空间向量的正交分解... 选修2-1 [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①{a,b,c}是空间的一个...
...第1课时 综合法与分析法课件 新人教A版选修1-2.ppt
成才之路2014-2015学年高中数学 2.2 第1课时 综合法与分析法课件 新人教A版选修1-2_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第二章推理与证明 第二章 2.2 ...
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(成才之路)2014-2015学年高二数学人教a版选修2-1课件2.1.1曲线与方程_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A版 选修2-1 路漫漫其修远兮 吾将...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:1-4 全称量词与存在量词_...选修2-1 [分析] 由“有解”知,这是一个特称命题,只要存在 x ∈R 使...
高二数学(人教A版)选修1-1课件2-2-1 综合法与分析法_图文.ppt
高二数学(人教A版)选修1-1课件2-2-1 综合法与分析法_数学_高中教育_教育...成才之路 数学 人教A版 选修1-2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二...
2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:3-1-1 ....ppt
2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:3-1-1 变化率问题与导数的...1-2合订 ●课程目标 1.知识、技能、过程、方法目标 (1)通过分析实例, 经历...
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高中数学人教a版选修1-2课件:2.2.1《综合法与分析法》_数学_高中教育_教育专区。第二章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法 内容: 1、了解综合法的思考...