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2015北大自主招生数学试题


2015 北大自主招生数学试题

一.选择题 1.整数 x,y,z 满足 xy+yz+zx=1,则(1+ x )(1+ y 2 )(1+ z )可能取到的值为(
2
2



A.16900 B.17900 C.18900 D.前三个答案都不对 2.在不超过 99 的正整数中选出 50 个不同的正整数,已知这 50 个数中任两个的和都不等于 99,也不等于 100.这 50 个数的和可能等于( ) A.3524 B.3624 C.3724 D.前三个答案都不对 3.已知 x∈[0,

? 2 ],对任意实数 a,函数 y= cos x ?2acosx+1 的最小值记为 g(a),则当 a 取遍所有实数时, 2
) C.3
n

g(a)的最大值为( A.1 B.2
20
20

D.前三个答案都不对 )

4.已知 10 ? 2 是 2 的整数倍,则正整数 n 的最大值为( A.21 B.22 C.23 D.前三个答案都不对

5.在凸四边形 ABCD 中, BC=4, ∠ADC=60?, ∠BAD=90?, 四边形 ABCD 的面积等于 则 CD 的长(精确到小数点后 1 位)为( ) A.6.9 B.7.1 C.7.3 D.前三个答案都不对 二.填空题

AB ? CD ? BC ? AD , 2

( 1+ ) 6.满足等式

1 x

x ?1

? (1 ?

1 2015 ) 的整数 x 的个数是_______. 2015

7.已知 a,b,c,d∈[2,4],则

(ab ? cd )2 的最大值与最小值的和为___________ (a 2 ? d 2 )(b2 ? c 2 )
2

8.对于任意实数 x∈[1,5],| x +px+q|≤2,不超过 9.设 x=

p 2 ? q 2 的最大整数是__________

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 b2 ? a 2 ? c2 2015 ,y= ,z= ,且 x+y+z=1,则 x ? y 2015 ? z 2015 的值为___ 2bc 2ac 2ba

10.设 A 1 , A2 ,..., An 都是 9 元集合{1,2,3,…,9}的子集,已知| A i |为奇数,1≤i≤n,| A i ? Aj |为偶数,1≤i≠j ≤n,则 n 的最大值为____________ 三.解答题 11.已知数列{ an }为正项等比数列,且 a3 ? a4 ? a1 ? a2 =5,求 a5 ? a6 的最小值 12.已知 f(x)为二次函数,且 a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))成正项等比数列,求证:f(a)=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足 a>b>c, 求证:这个三角形内接正方形边长的最小值为

ac sin B a ? c sin B

14.从 O 出发的两条射线 l1 , l2 ,已知直线 l 交 l1 , l2 于 A、B 两点,且 S?AOB =c(c 为定值),记 AB 的中点为 X, 求证:X 的轨迹为双曲线 15.已知 ai (i=1,2,3,…,10)满足: a1 ? a2 ? ... ? a10 =30, a1a2 ...a10 <21,求证: ?ai ,使得 ai <1 ##Answer##
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2015 北大自主招生数学试题

1.1+ x =xy+yz+zx+ x =(x+y)(x+z),同理 1+ y 2 =(y+z)(y+x),1+ z =(z+x)(z+y)

2

2

2

(1+ x )(1+ y 2 )(1+ z )= [( x ? y)(y? z)(z? x)]2 ,对照前三个答案,只有 A 是一个完全平方数
2
2

检验,不妨取 x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解 x=5,y=?3,z=8.选 A 2.考虑将 1,2,?,99 这 99 个正整数分成如下 50 组 (1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的 50 个不 同的正整数中没有 50,则必有 2 个数位于 (1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组,不合题意.所 以这 50 个不同的正整数中必有 50,而 (1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51)中,每组有且只有一个数被选 中. 因为 50+49=99, 所以(49,51)中选 51; 因为 51+48=99, 所以(48,52)中选 52; 以此类推, 可得 50,51,52,?,98,99 是唯一可能的选法.经检验,选 50,51,52,?,98,99 满足题意,此时 50+51+?+98+99=3725。故选 D.

?h(1) ? 2 ? 2a, a ? 1 ? 2 2 3.令 t=cosx,令 h(t)= t ?2at+1,t∈[0,1],g(a)= ? h(a ) ? ?a ? 1, 0 ? a ? 1 作图象知最大值为 1,选 A ?h(0) ? 1, a ? 0 ?
4. 10 ? 2 = 2 ( 5 -1)= 2 ( 5 +1)( 5 -1)= 2 ( 5 +1)( 5 +1)(5-1)( 5 ? 5 ? 5 +5+1),
20
20 20

20

20

10

10

20

10

5

4

3

2

5 10 54 ? 53 ? 52 +5+1 是奇数,5-1=4 是 22 , 55 +1= (4+1 ) +1 被 4 除余数为 2,同理 5 +1 被 4 除余数也是 2,

于是 n 的最大值为 24,选 D 5.设四边形 ABCD 的面积为 S,直线 AC,BD 的夹角为 θ,则

S=

1 1 1 AC?BD?sinθ (AB?CD+BC?AD)sinθ ≤ (AB?CD+BC?AD),由已知两个等号成立, ? 2 2 托勒密定理推论 2

于是 ?

?sin ? ? 1 于是 AC⊥BD,BC⊥CD。用坐标法解得 CD=4 3 ≈6.9。选 A. ? A、B、C、D四点共圆
1 x
x ?1

(1+ ) 6.x>0 时,

(1+ ) (1 ? ) > (1+ ) ( = , 1+ )
x x

1 x

1 x

1 x

1 x

x ?1

? (1 ?

1 2015 ) 无解 2015
n ?1

1 1 n ? 1 ? ( n ?1) ? n ? 1+ ) x ?1 = (1- ) ? n ?1 = ( ) x<0 时,x 为负整数, 设 x=-n,( =? ? x n n ? n ?1 ?
( 1+ ) 数 1 x
x ?1

1 ? ? = ?1 ? ? ? n ?1 ?

n ?1

是 n 的单调函

1 2015 ) ? n-1=2015 ? x=-2016。填 1 2015 ? ? 2 ? ? ? a ?b ? 2 7.设 a =(a,d), b =(b,c),二者夹角为θ ,则所求为 ? ? ? ? = cos ? ,如图 ? | a || b | ? ? (1 ?

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2015 北大自主招生数学试题

y

B (2, 4)

A (4, 2)

O

x

??? ? ??? ? 16 41 OA ? OB 4 ? ??? ? = ? ≤ cos 2 ? ≤1。填 0≤θ ≤∠AOB ? 1≥cosθ ≥cos∠AOB= ??? 25 25 | OA || OB | 5
8.设 y=f(x)= x +px+q,x∈[1,5], 它可以由 y= x ,x∈[-2,2]平移得到, y= x 最值之差为 4, 根据| x +px+q|≤2,
2 2 2 2

? p ? ?3 ? ?p ? 6 ? p ? ?6 ? 2 2 2 只能平移到顶点在(3,-2)处,有 ? ;同理 也满足条件, p ? q = 89 , ? ? ? 2 ?q ? 7 ? 4q ? p ? ?2 ?q ? ?7 ? ? 4
不超过它的最大整数为 9.填 9 9.x+y+z=1 ? c(a2 ? b2 ? c2 ) ? b(a2 ? c2 ? b2 ) ? a(b2 ? c 2 ? a 2 ) ? 2abc

? a3 ? (b ? c)a2 ? (b2 ? c2 ? 2bc)a ? c3 ? bc2 ? b3 ? b2c ? 0 ? a3 ? (b ? c)a2 ? (b ? c)2 a ? (b ? c)2 (b? c) ? 0

? a2[a ? (b ? c)] ? (b ? c)2 (a ? b ? c) ? 0 ? (a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)=0
不妨设 a≤b≤c,则 c=a+b,于是

x=

b 2 ? c 2 ? (c ? b ) 2 2015 =1,同理 y=1,z=-1,于是 x ? y 2015 ? z 2015 =1,填 1 2bc

10.每个元素当做一个子集,就满足要求;填 9 11. 设 数 列 {

an

}









q,







a1 ? a2

=

5 q ?1
2

>0,



1 5(t ? 1) 2 1 5q 4 2 设q ? 1 ? t ? 0 =5(t+ +2)≥5×(2 t ? ? 2 )=20,等号成立当且仅 a5 ? a6 =( a1 ? a2 ) q = 2 t t t q ?1
4

当 t=

1 ? t=1 ? q= 2 ,故 a5 ? a6 的最小值为 20 t
2

12.(方法一)设 f(x)=m x +nx+t(m≠0), a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))公比为 q(q>0)
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2015 北大自主招生数学试题

? f (a) ? ma 2 ? na ? t ? aq① ? 则 ? f ( f (a)) ? f (aq) ? m(aq) 2 ? n(aq) ? t ? aq 2 ② ? f ( f ( f (a))) ? f (aq 2 ) ? m(aq 2 )2 ? n(aq 2 ) ? t ? aq 3 ?



①-②并化简得到:ma(1- q 2 )+n(1-q)=q(1-q),②-③并化简得到:maq(1- q 2 )+n(1-q)=q(1-q) 从而 q=1,f(a)=a (方法二)由已知

f ( a ) f ( f ( a )) f ( f ( f (a ))) = = ,假设 f(a)≠a a f ( f (a )) f (a)
=



f ( f (a)) ? f (a ) f (a ) ? a

f ( f ( f (a))) ? f ( f (a)) f ( f (a))-f (a)

?

A(a,f(a)),B(f(a),f(f(a)),C(f(f(a)),f(f(f(a))))



k AB = k BC ?A,B,C 三点共线 ? 一条直线与抛物线交于三个点,矛盾
故 f(a)=a 13.证明:设正方形的边长为 x,△ABC 外接圆半径为 R,当内接正方形如图所示时
A M c x B Q x csinB N

a

P

C

b c sin B ? x1 x1 ac sin B 2 R = abc ? ? x1 = = b 2 Ra ? bc c sin B a a ? c sin B a?c 2R abc abc 同理其他情况,内接正方形的边长分别为 x2 = , x3 = 2 Rb ? ac 2 Rc ? ba ac

x1 - x2 =

abc abc abc (a ? b)(c ? 2 R) <0 ? x1 < x2 , = 2 Ra ? bc 2 Rb ? ac (2 Ra ? bc)(2 Rb ? ac)

同理 x1 < x1 于是 x1 最小,从而这个三角形内接正方形边长的最小值为

ac sin B a ? c sin B

14.证明:设 2θ 为 l1 , l2 的夹角,以 O 为原点, l1 , l2 的角平分线为 x 轴,建立直角坐标系,如图

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2015 北大自主招生数学试题
y A

l1

a X O θ b B l2 x

设 X(x,y),|OA|=a,|OB|=b,则 A(acosθ ,asinθ ),B(bcosθ ,-bsinθ )

a?b ? x? cos ? ? ? 2 ,于是 x 2 ? y 2 =ab ? a ? b ?y ? sin ? ? ? 2
因 S?AOB =

1 2c 2c absin2θ =c,于是 ab= ,X 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 = ,轨迹是双曲线 2 sin 2? sin 2?

15.(反证法)假设 ?i , ai ≥1,设 ai =1+ bi ( bi ≥0), a1 ? a2 ? ... ? a10 =30 ? b1 ? b2 ? ... ? b10 =20

a1a2 ...a10 = (1 ? b1 )(1 ? b2 )...(1 ? b10 ) =1+( b1 ? b2 ? ... ? b10 )+ b1b2 ? b1b3 +…≥21 与 a1a2 ...a10 <21 矛盾
故 ?ai ,使得 ai <1

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