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高考数学优题优解100道(21)解答


高考优题优解 100 道(21)
【题 21】(2005.全国Ⅰ卷.15 题):△ABC 的外接圆圆心为 O,两边上的高 ???? ??? ? ??? ? ???? 的交点为 H,如果 OH ? m OA ? OB ? OC ,则实数 m=

?

?

【解析 1】 (取特殊三角形 1) 如解图 1,设△ABC 中 ?ACB ? 90? . 则 AB 为外接圆 O 的直径,故必

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? 0,?OA ? OB ? OC ? OC. ???? ? OH ? OC 但此时垂心 C 在直角顶,
【解析 2】 (取特殊三角形 2) 如解图 2, △ABC 为正三角形,此时有:

??? ? ??? ? ???? ? OA ? OB ? OC ? 0 ,但是 O,H 重合,所以又有:

? ? ???? ? OH ? 0, 于是条件式简化为: 0 ? m ? 0,
故 m 可为任意实数,即? m ? R . 评注: 各位可能不曾想到,这是一道高考错题. 为什么呢?因为事后命题人给出的标答是:m=1. 但是如上所述,当△ABC 为正三角形时,却有 m ? R . 数学命题的基本原则是同一道题只能有唯一正确的答案.智者千虑必有一失,

这种异常的情况,只能说明命题人忽视了正三角形这种特殊情况. 不过,如果将原题限定为非正三角形,那么这道题仍然不失为一道好题. 以下研讨,在一般情况即非特殊三角形的条件下,如何证明 m=1. 假如你知道平面几何中如下定理:三角形任一顶点到其垂心的距离必等于其

外心到对便秘距离的两倍. 则以下证明会非常简单. 【解析 3】如解图 3,OM⊥BC 于 M,那么

???? ???? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ? AH ? 2OM ,?OH ? OA ? AH ? OA ? 2OM

??? ? ??? ? ???? ? OB ? OC ? 2 OM 但是
以下证明这个定理.

???? ??? ? ??? ? ???? 故 OH ? OA ? OB ? OC ,也就是 m ? 1 .

延长 BO,交圆 O 于 D,连 CD,则 ?BCD ? 90?? AH ? BC, ∴AH∥DC. 连 AD,CH,∵H 为△ABC 的垂心,同理有 CH⊥AB.但 DA⊥AB,∴CH∥AD. 故四边形 ADCH 为平行四边形,∴AH=DC. OM 是△ABC 的中位线,∴DC=2MO.这就证明了;AH=2MO. 【解析 4】 (小 A 老师提供) 延长 BO 交外接圆于 D,连 CD 同上可证

???? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AH ? DC, 但DC ? OC ? OD ? OC ? OB ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ?OH ? OA ? AH ? OA ? OB ? OC,?m ? 1.
【解析 5】 (小 A 老师提供) 如解图 5,作 OM⊥BC 于 M,则 M 为 BC 中点.已知 ???? ??? ? ??? ? ???? OH ? m OA ? OB ? OC ???? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? AH ? AO ? OH ? ? m ? 1? OA ? m OB ? OC ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AH ? BC ? ? m ? 1? OA ? BC ? m OB ? OC ? BC

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???? ??? ? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AH ? BC ? 0, OB ? OC ? BC ? 2 OD ? BC ? 0 ,∴m=1. 但是

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