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第一讲 函数的基本概念和性质


[百乐思个性化辅导讲义:

]

日期:

第一讲 函数的基本性质
一、函数的概念和性质 (一)函数的概念 1.定义 若一变量 y 随另一变量 x 的变化而变化,那么 y 是 x 的函数,记为 y ? f ( x) 。 f 表示 y 随 x 变化的规 律,也就是 y 的值与 x 的值的对应法则。 2.函数的基本要素和派生要素(三要素) : 函数的定义域和对应法则是函数的两个基本要素,值域是派生要素 ①定义域 函数 y ? f ( x) 的定义域是自变量 x 的取值范围,如 y ? x2 ? 1 的定义域是 ( ? ?, ? 1][1,+?) . ②对应法则

y 的值随 x 变化的规律,如 y ? 2 x 的对应法则是 y 值是 x 的 2 倍.

只要两个函数的定义域相同,对应规则也相同,就称这两个函数为相同的函数,与变量用什么符号表示无关. 如 y ? f (x) 与 u ? f (t ) 是同一函数。 ③值域: 与自变量 x 的取值范围相对应的 y 值的集合,如 y ? 2 x 的值域是 ( ? ?, ? ?) (二)函数的表示法 1.解析法 用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法,叫做函数的解析法,如 y ? 2 x 2.列表法 用数值表来表示两个变量之间的函数关系的方法,叫做函数的列表法,如用列表法表示 y ? 2 x 如 左表:

x y
3.图像法

… …

-1 -4

-1 -2

0 0

1 2

2 4

… …

( x, y ) 的集合.函数的图像= P( x, y ) y ? f ( x)? 如用图像法表示 y ? 2 x 如左图:

用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法,叫做函数的图像法.满足函数 y ? f (x) 的所有点

?

y

x
(三)函数的性质 1.单调性 对任意 x1 , x2 ? (a, b) ,如果

x1 ? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 y ? f (x) 是区间 (a, b) 上的单调增加函数,简称增函数; x1 ? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 y ? f (x) 是区间 (a, b) 上的单调减少函数,简称减函数。
单调增加函数和单调减少函数统称单调函数, 若函数 y ? f (x) 是区间 ( a, b) 上的单调函数, 则称区间 ( a, b) 为 单调区间. ( a, b) 用集合表示为 x a ? x ? b , 增函数的图像是自左至右上升的曲线; 减函数的图像是自左至右是下降的曲线 例 解 判断下列函数的单调性 (2) y ? ?5x ? 5 (?? ? x ? ?) (1) 当 x1 ? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , y ? 5x ? 5 (?? ? x ? ?) 是增函数; (2) 当 x1 ? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , y ? ?5x ? 5 (?? ? x ? ?) 减函数。 (1) y ? 5x ? 5 (?? ? x ? ?)

?

?

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1

[百乐思个性化辅导讲义:
2.奇偶性 设函数 y ? f (x) 的定义域为 D 且关于原点对称

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若对任意 x ? D ,满足 f (? x) ? f ( x), 则称 f (x) 是 D 上的偶函数。偶函数的图形关于 y 轴对称。 若对任意 x ? D ,满足 f (? x) ? ? f ( x), 则称 f (x) 是 I 上的奇函数。奇函数的图形关于原点对称。 有的函数既不是奇函数也不是偶函数的函数,称为非奇非偶函数。 例 解 指出下列函数哪个奇函数,哪个偶函数. (2) y ? ?5 x ? 5 ( ??? x ? ?? ) (3) y ? x2 ? 5 ( ??? x ? ?? ) (1) y ? 2 x (2) y ? ?5 x ? 5 (3) y ? x2 ? 5 (一)正比例函数 1.定义 函数 y ? kx(常数k ? 0) 叫做正比例函数. 2.定义域与值域 都是实数集 R. 3.图像 图像见左图. 4.单调性 当 k ? 0 单调增; k ? 0 单调减. 5.奇偶性 是奇函数. (二)一次函数 1.定义 函数 y ? kx ? b 叫做一次函数,其中 k 与 b 是常数且 k ? 0 .若 b ? 0 ,函数 y ? kx 是正比例函数. 2.定义域与值域 都是实数集 R 3.图像 见下图 4.单调性 当 k ? 0 单调增; k ? 0 单调减. 5.奇偶性 非奇非偶. (1) y ? 2 x ( ??? x ? ?? )

??? x ? ?? 是奇函数. ??? x ? ?? 是非奇非偶函数. ??? x ? ?? 是偶函数

二、正比例函数、一次函数和反比例函数

y y ? 2x
y ? 0.5 x y ? ?0.5x y ? ?2 x

x

y

y ? kx ? b(b ? 0)

y

y ? kx ? b(b ? 0)
0

x
图4.1

0

x

k ?0
(三)反比例函数 1.定义 函数 y ?

k?0

x2 y2 k ? 1 ,为等轴双曲线). (k ? 0) 叫做反比例函数(将坐标轴逆旋 45? ,则为 ? 2k 2k x x y 2.定义域与值域 定义域: ? 0 ; 值域: ? 0 . y 6
y??

3.图像 见图. 4.单调性 当 k ? 0 单调减; k ? 0 单调增. 5.奇偶性 奇函数.

y

x y?? 2 x

y?

6 x

x
y?

2 x

x

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四、二次函数 1.定义

]

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函数 y ? ax2 ? bx ? c 叫做二次函数,其中 a, b, c是常数且a ? 0 .
?? ? ?

2.定义域与值域 定义域:实数集 R;值域: ??? 4a , ?? ? (a ? 0) ?? ?
? ? ? ??, ? ? ? (a<0) 4a ? ?? ? ??

3.图像

y ? ax2 ? bx ? c 的图像列表如下 a?0 在 y ? ax2 ? bx ? c ? 0 时
y y
0

a?0

顶点坐标和对称轴

??0
(有两相异实数根 x1 , x2 x1 ? x2 )

x1

x2 x

x1

0

??0
(有两相等实数根 x1 ? x2 ? ?

y
b ) 2a

y
0

0 x ?x 1 2

x

y ? ax 2 ? bx ? c b x2 x ? a( x 2 ? x) + c a b 2 ? b2 ? 2 b ? a ?x ? x ? ( ) ? ? ?c x1 ? x2 a 2a ? 4a ? x b 2 4ac ? b2 ? a( x ? ) ? 2a 4a
顶点坐标 ? ?

y
??0
(没有实数根)
0

y
0

x

?? ? b ,? ? ? 2a 4a ?
b 2a

x

对称轴方程 x ? ?

4.性质

单调性、最大值与最小值、奇偶性、对称性见下表

y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 , b, c ? 0 )
开口方向 在区间 ? ??, ? 单调性 上单调减; 在区间 ? ?

y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ,b ? 0)

y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 , b, c ? 0 )
向 在区间 ? ??, ? 上单调增; 在区间 ? ?

y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ,b ? 0 )
上 在区间 ? ??,0? 上单调增; 在区间 ? 0, ??? 上单调减.

向 上

? ?

b? 2a ? ?

在区间 ? ??,0? 上单调减; 在区间 ? 0, ??? 上单调增。

? ?

b? 2a ? ?

? b ? , ?? ? ? 2a ?

? b ? , ?? ? ? 2a ?
? 4a

上单调增. 最大值 最小值 奇偶性 对称性 无 无 0 偶函数 关于 y 轴对称

上单调减.

?

c
无 偶函数 关于 y 轴对称
3

?

? 4a b 对称 2a

无 非奇非偶 关于 x ? ?

非奇非偶 关于 x ? ?

b 对称 2a

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5. y ? ax2 ? bx ? c 与 y ? ax 2 的图像的关系

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2 y ? ax2 ? bx ? c 与 y ? ax 2 的 图 像 形 状 相 同 而 所 处 位 置 不 同 , 故 可 通 过 移 动 y ? a x 的 图 像 获 得

2 y ? ax ? bx? c的图像. 因 y ? ax 2 的顶点坐标是 (0, 0) ,而 y ? ax2 ? bx ? c 的顶点坐标是 ( ?

b ? , ? ) ,故将 2a 4a

y ? ax 2 的图像平移 ?

b ? 和纵移 ? 即可得到 y ? ax2 ? bx ? c 的图像. 2a 4a
例题解析
2

例 1 求 log2 (6 ? 5x ? x ) 的定义域

例 2 已知 y ? (m ? 1) x 2 ? 2mx ? 3 是偶函数,化简该式并求其最大值或最小值

例 3 求 y ? x ? 2x ? 5 的对称轴、最小值、定义域、值域.
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练习
1、在映射 f : A ? B 中,下列说法是否正确: ①A 中每一个元素在 B 中都有象( ) ;②A 中可以存在第一元素在 B 中没有象( ) ; ③A 中允许某一个元素有两个象( ) ;④B 中每一个元素在 A 中都有原象( ) ; ⑤B 中允许某些元素没有原象( ) ;⑥B 中某一元素在 A 中可能有多个原象( ) 。 2、函数的表示方法有_____________________。 3、用区间表示下列函数的定义域: 1 1 (1) y ? :______________________; (2) y ? :______________________; 2x ? 1 2x ?1 (3) y ? (5) y ? (4) ? x ? :______________________; y ?
2

?x ?1??3 ? x? :______________________;

1 :__________________; lg x
1 1

(6) y ? ?4 x ? 8? 3 ?3x ? 2?? 2 ? ?x ? 1?0 :_____________________; (7) y
1 x ?1 ?3

?5

x ?1

:____________________;

(8) y ? log3 9 ? x 2 ? lg x 2 :____________________。 4、若 f ?x ? 的定义域为(–1,1],则 f ?3x ? 1? 的定义域为______________; f ?lg x ? 的定义域为______________。 5、若 f ?x ? ? x 2 ? x ? 1 ,则 f ?? 2 ? ? _________; f ?? x ? =_________; f ? ? =_________。 6、若 f ?x ? 1? ? 2 x ? 1 ,则 f ?x ? ? ________, f [ f ?x ?] =________。
?1? ?x?

?

?

? x 2 , x ? ?0 , ? ? ? ? 7、 f ?x ? ? ?? , x ? 0 ,则 f ?? 2 ? =________, f ?? ? =________, f {[ f ? f ?? 1??]} 。 ?1 ? x , x ? ?? ? , 0? ?

8、若 f ( x) ?

x ,则 f 3x ? 5

?1

?x? ? ____________, f ?1 ( 1 ) =_______。
2

9、画四个坐标系,并在坐标系中分别作函数 y ? x 2 ? 2 x?x ? Z ? , y ? ? x2 ? 2 x , y ? x 2 ? 2 | x | , y ?| x 2 ? 2 x | 的图象, 并说出函数单调区间。

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[百乐思个性化辅导讲义:
10、直接写出下列函数的值域: ① y ? ?2 x ? 1 ____________;② y ?

]

日期:

1 1? x ____________;③ y ? ____________; x x ?1

④ y ? x 2 ? 2 x ? 1_________________;⑤ y ? e x ? 1 ____________;⑥ y ? log2 ?x ? 1? ____________。 11、说出下列函数的单调性: ① y ? 3x ? 1 的单调递____区间为____________; y ? 1? ②y?
1 x 的单调递____区间为____________; 2

2 3 的单调递____区间为____________; y ? ? 的单调递____区间为____________; x x

③ y ? x 2 ? 4 x ? 1 的单调递增区间为____________;单调递减区间为____________; ④ y ? ? x 2 ? x ? 1的单调递增区间为____________;单调递减区间为____________; ⑤ y ? log3 x 的单调递____区间为____________; y ? log1 x 的单调递____区间为____________;
3

⑥ y ? a x 当 a ? 1 时,单调递____区间为________;当 0 ? a ? 1 时,单调递____区间为__________。 12、证明单调性: ①求证: f ?x ? ?
?3 在(–∞,0)是增函数; x

②求证: f ( x) ? ? x 2 ? 2 x 在(0,+∞)是减函数; ③求证: f ?x? ? x ?1 在(1,+∞)上是增函数; ④求证: y ? log3 ( x ? 1) 在(–1,+∞)上增函数。 ⑤求证: y ? 2 x ?1 在 R 上是增函数。

13、直接写出下列函数的奇偶性: ① f ?x ? ? x ?
1 :_____;② f ?x ? ? x ?4 ? x ?2 :_____;③ f ?x ? ? x 3 :_____;④ f ?x ? ? 0 :_____; x
2 x ?1 2 ?1
x

⑤ f ?x ? ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | :_____;⑥ f ?x ? ?

:_____;⑦ f ?x ? ? lg

14、对于函数 f ?x ? , ①若有 f ?? x ? = ? f ? x ? ,那么 f ?x ? 是____函数,函数定义域关于_____对称,图象关于_______对称。 ②若有 f ?? x ? = f ?x ? ,那么 f ?x ? 是_____函数,函数定义域关于_____对称,图象关于______对称。

1? x :_____。 1? x

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