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数系的扩充与复数的引入PPT








3.1.1数系的扩充与复数的引入

人类对数的认识过程
记数---加减-----不够减 均分---除法-----不整 除
1-2=?

1-2=?
x2=1

开方---不能完全开方

不能开方

x2=-1

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知识引入

我们已经知道:

对于一元二次方程

x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

思考?

x ? ?1
2

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数 集中,该问题能得到圆满解决呢?

引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

讲解新课

现在我们就引入这样一个数 i ,并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母 C表示 .

数的发展过程:

用图形表示数 集包含关系:

自然数
有理数 分数 无理数 虚数 虚数集 复数集 实数集 实数

R Q

N Q+

复数

纯虚数集

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1.复数的代数形式:通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部
练一 练

虚部

其中

i 称为虚数单位。

说出下列复数的实部和虚部

2 1 0, ,-2+ i , 2 ? i , ? 3i , i 2 3

2.复数的分类:
?实数b ? 0 ? 复数z ? a ? bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 (a, b ? R) ? ?

讨论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

? R? C

复数的相关概念
1、我们把集合C={a+bi|a,b R}中的数,即形如a+bi(a,b R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合 C叫做复数集。 2、复数常用字母z表示,即z=a+bi,以后不作特殊说明,都有 a,b R,其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部。 3、规定a+bi=c+di ? a=c且c=d 4、对于a+bi 当且仅当a=0时,它是实数; 当且仅当a=0且b=0时,它是实数0;

当b=0时,叫做虚数,
当b=0且a=0时,叫纯虚数。
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1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚 数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与 虚部.

2 ? 7 , 0.618,

i ,

2

i 1? 3 ,

?

?

2 i, 0 7

3 ? 9 2i, 5i ? 8

例题讲解

例1: 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?

练习:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

规定:如果两个复数的实部和虚部分别相
等,那么我们就说这两个复数相等.
若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d
a ? bi ? 0 ? a ? 0 且 b ? 0
2) 一般来说,两个复数只能说相等或不相
等,而不能比较大小了.

注:1)

例题讲解

例2: 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i



其中 x, y ? R, 求

x与 y .

练习:
当x是实数时,若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0, 求x的值.

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a ? bi
?a ? c ? c ? di ? ? ?b ? d

机动题

复数z ? (m ? 2m ? m i) ? [(m ? 6)i ? 8]
2 2

1.指出复数z的实部和虚部;
2.实数m为何值时, (1)实数? (2)虚数? (3)零? (4)纯虚数? (5)负数?

3.1.2复数的几何意义
我们知道实数是客观存在的数,它可以用数轴上点 直观表示。
a 1

实数与数轴上的点一一对应

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复数的几何意义(一)
虚y 轴 复平面

b

Z:a+bi

0 一一对应

a

x 实轴

复数z=a+bi

复平面内的点z(a,b)

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复数的几何意义(二 )
虚y 轴 复平面

b

Z:a+bi

0 复数z=a+bi 一一对应

a 平面向量OZ

x 实轴

规定相等向量表示同一个复数 |z|=|a+bi|= r= a2+b2

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熟悉应用:
例1实数m取什么值时,复平面内表示复数 Z=(m -8m+15)+(m -5m-14)i的点 (1)位于第四象限? (2)位于第一、三象限? (3)位于直线y=x上?
2 2

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3、熟悉应用
例2在复平面内,O是原点,向量OA对应的复数 是2+i。 (1)如果点A关于实轴的对称点为B,求向量OB 对应的复数; (2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点C, 点C对应的复数。 求

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3.1自我评价试题一、选择题(每题3分,共30分)
1、若复数z=2m2-3m-2+(m2-3m+2)i是纯虚数,则实数m的值为( ) A 1或2 B -1/2或2 C -1/2 D 2 2、复数i2+1的实部和虚部分别是( ) A 1和i B i或1 C 1和-1 D 0和0 3、若a2-a+(a3-2a2-a+2)i是纯虚数,则a的值为( ) A 1 B 0或1 C 0 D -1,1,2 4、若z=m-1+(m1-1)i是虚数,则( ) A m≠1 B m≠1或m≠-1 C m≠1且m≠-1 D m≠-1 5、若a是任意实数,则复数z=a2-2a+4+(a2-a+4)i所对应的点一定于( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6、在复平面上,P到复数-1/3+3i的对应点F的距离与到直线l:3x+1`=0的 距离相等,则点P的轨迹是( ) A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 直线 7、复数-5+6i的实部是 ,虚部是 。 8、若(x-2y)+(2x+3y)i=3-2i,其中x,y属于R,则x= ,y= . 9、下列复数:2+√3,0.618,i2,5i+2,i√2,其中实数有 10、若cosθ+(m-sinθ-cosθ)i不可能是实数,则m的取值范围是 。


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