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高二数学等比数列知识点总结与经典习题

等比数列 一.知识点梳理: 1、等比数列的概念、有关公式和性质: (1)定义: {an }为等比数列 ? an?1 ? q(常数) an (2)通项公式: an ? a1q n?1 ? ak q n?k (q ? 1) ?na1 ? n (3)求和公式: s n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ? (4)中项公式: (5)性 质: G 2 ? ab 推广: an ? an?m ? an?m a、若 m+n=p+q 则 am an ? a p aq ; b、若 {k n } 成等差数列 (其中 k n ? N ) ,则 {a kn } 成等比数列。 c、 sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。 d、 q n ?1 2 ? an , a1 q n?m ? an (m ? n) am 2. 判断和证明数列是等比数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 (2)通项公式法; an 为同一常数; an ?1 2 (3)中项公式法:验证 an ?1 ? an an?2 , n ? N 都成立; (4) 若{an}为等差数列,则{ a a n }为等比数列(a>0 且 a≠1) ; 若{an}为正数等比数列,则{logaan}为等差数列(a>0 且 a≠1) 。 二. 典型例题: 【例 1】若数列 { a n } 中, a ,则数列的通项 a n ? 3 , 且 a a 1? n ? 1? n (n 是正整数) 2 练习:1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设 { a n } 是公比为 q 的无穷等比数列, 下列 { a n } 的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 ①S1 与 S2; ②a2 与 S3; ③a1 与 an; ④q 与 an. 组.(写出所有符合要求的组号) 其中 n 为大于 1 的整数, Sn 为 { a n } 的前 n 项和. 9 1 2 2.若等比数列的首项为8,末项为3,公比为3,则这个数列的项数为( A.3 C.5 B.4 D.6 ) ) 3.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( A.64 C.128 B.81 D.243 ) 4.等比数列{an}中,若 a1=1,a4=8,则 a5=( A.16 C.32 B.16 或-16 D.32 或-32 5.已知{an}是公比为 q(q≠1)的等比数列,an>0,m=a5+a6,k=a4+a7,则 m 与 k 的 大小关系是( A.m>k C.m<k ) B.m=k D.m 与 k 的大小随 q 的值而变化 ) 2 6.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3· a9=2a5 ,a2=1,则 a1=( 1 A.2 C. 2 2 B. 2 D.2 ) 7.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=± 3,ac=9 2 2 2 8. 数列 { a n } 的前 n 项和 Sn ? 2n ?1, 则a1 ? a2 ? ? ? an ? _______________ 9. 已知 a + b + c , b + c -a , c + a -b , a + b -c 成等比数列, 公比为 q , 求证: (1) q3 + q2 + q = 1 ; (2) q = a . c 【例 2】 已知数列 {an }, a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1 (n ? 2) ,写出数列 {an } 的通项公式 练习:1、各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2, a3, a1 成等差数列,则 1 2 a3+a4 的值为( a4+a5 ) A. C. 1- 5 2 5-1 2 B. D. 5+1 2 5+1 5-1 或 2 2 ) 2、若 a,b,c 成等比数列,则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0( A.必有两个不等实根 C.必无实根 B.必有两个相等实根 D.以上三种情况均有可能 3. 设数列 {an } 的各项为正数,若对任意的正整数 n, an 与 2 的等差中项等于其前 n 项和 s n 与 2 的等比中项, 求 {an } 的通项公式. 【例 3】(错位相减)求和:(1) S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 … 练习:1. 在等比数列 {bn } 中,S4=4,S8=20,那么 S12= 2.在等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9,那么 a4+a5=( A.27 C.81 B.27 或-27 D.81 或-81 ) 3 . 设 {an} 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , 公 比 q = 2 , 且 a1· a2· a3· …· a30 = 230 , 那 么 a3· a6· a9· …· a30 等于( A.210 C.216 4.如果数列{an}是等比数列,那么( A.数列{a2 n}是等比数列 C.数列{lgan}是等比数列 ) B.220 D.215 ) B.数列{2an}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 10 a18 5.在等比数列{an}中,a5a7=6,a2+a10=5.则a 等于( 2 3 A.-3或-2 3 C.2 2 B.3 2 3 D.3或2 ) 6.若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10, 则 a =( A.4 C.-2 ) B.2 D.-4 7.一个等比数列前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,则该数列 有( ) A.13 项 C.11 项 B.12 项

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