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广东华师附中文科数学2012届高三11月阶段测试


广 东 省 华 师 附 中 2012 届 高 三 11 月 阶 段 测 试 数学试题(文科) 数学试题(文科)
本 试 卷 分 选 择 题 和 非 选 择 题 两 部 分 , 共 4 页 , 满 分 为 1 50 分 . 考 试 用 时 1 20 分 钟 . 注意事项: 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内 相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定区域 内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第 一 部 分 选 择 题 (共 50 分 )
一, 选 择 题 :本 大 题 共 10 小 题 ,每 小 题 5 分 ,满 分 50 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项中,只有一项是符合题目要求的.

2 R,集合 1. 若全集 U = R,集合 A = { x | x + 4 x + 3 > 0 }, B = { x | log 3 (2 ? x ) ≤ 1 },

则 C ( A I B) =
U

A.{ x | x < ?1 或 x > 2 } C.{ x | x ≤ ?1 或 x > 2 }

B.{ x | x < ?1 或 x ≥ 2 } D.{ x | x ≤ ?1 或 x ≥ 2 }

为虚数单位, 2. 若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 则表示复数 A. E C. G 3. 函数 f ( x ) = A. -2
x

z 的点是( 的点是( 1? i



B. F D. H

2 + a 的零点为 1,则实数 a 的值为 3 +1 1 1 B. ? C. 2 2

( D. 2



的图象的一段圆弧(如图所示) 4. 已知函数 f ( x )( 0 ≤ x ≤ 1) 的图象的一段圆弧(如图所示) 0 < x1 < x2 < 1 ,则( A.



f ( x1 ) f ( x2 ) < x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) > x1 x2

B.

f ( x1 ) f ( x2 ) = x1 x2

y

C.

D.前三个判断都不正确

O

1

x

? y ≤ x, ? 2 2 5. 若不等式组 ? y ≥ ? x, 表示的平面区域为 M,x + y ≤ 1 所表示的平面区域为 N, 现随机向 ?2 x ? y ? 4 ≤ 0, ?
内抛一粒豆子, 区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为 A. ( D. )

π
64

B.

π
32

C.

3π 64

3π 32

第1页

下列四个命题 四个命题: 6. 有下列四个命题:

r r r r p1 :若 a ? b = 0 ,则一定有 a ⊥ b ;
p2 : ? x、y ∈ R, sin(x-y)=sinx-siny; sin( =sinx-siny;
?1 ? p3 : ?a ∈ (0,1) U (1, +∞) ,函数 f ( x) = a1? 2 x + 1 都恒过定点 ? ,2 ? ; ?2 ?
p4 :方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件是 D 2 + E 2 ? 4 F ≥ 0 .
其中假命题的是 A. p1 , p4 B. p2 , p4 C. p1 , p3 D. p2 , p4 ( )

三点共线, 为坐标原点, 7. 已知等差数列 {an } 的前项和为 Sn ,若 M 、 N 、 P 三点共线, O 为坐标原点,

uuur uuuu r uuu r ON = a15 OM + a6 OP (直线 MP 不过点 O ),则 S 20 等于
A . 15 B . 10 C . 40 D . 20
正视图 右图是一个几何体的三视图, 8. 右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为 2 和 4 ,腰长为 2 的等腰梯形,则该几何体的体积是 的等腰梯形, 侧视图

A.

28π 3

B.

7π 3

C . 28π

D . 7π
俯视图

x2 y2 的左、右焦点, 9. 设 F1、F2 分别双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P 满足 a b

| PF2 |=| F1 F2 |, 且 cos ∠PF1 F2 =
A. 3 x ± 4 y = 0 B. 3 x ± 5 y = 0

4 ,则双曲线的渐近线方程为 5
C. 4 x ± 3 y = 0 D. 5 x ± 4 y = 0





定义运算: 10. 定义运算:

a1 a3

a2 3 = a1a4 ? a2 a3 ,将函数 f ( x) = a4 1

? sin x cos x 2π 3
分)

向左平移 m 个单位 ( m > 0) ,

所得图象对应的函数为偶函数, 所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是

A.

π
6

B.

π
3

C.

5π 6

D.

第 二 部 分 非 选 择 题 (共 100

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 填空题: (一)必做题(11~13 题 ) 必做题(11~ 11. 设定义在区间 (0,

π
2

) 上的函数 y = 4 tan x 的图象与 y = 6sin x 的图象交于点 P,过点 P 作 x 轴的 的图象与


垂线, 垂足为 P1, 垂线, 直线 PP1 与函数 y = cos x 的图象交于点 P2, 则线段 P1P2 的长为

第2页

12. 数列 {a n } 满足 a n +1

1 ? 2a n , ( 0 ≤ a n < ) ? 6 2 =? ,若 a1 = ,则 a2010 的值为 1 7 ?2a n ? 1, ( ≤ a n < 1 ) 2 ?
F



1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20… 13. 观察下列各式 9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20…, 这些等式反映了自然数间的某种规律, 表示自然数, 这些等式反映了自然数间的某种规律,设 n 表示自然数,用关 于 n 的等式表示为 . ( 二 ) 选 做 题 ( 14 ~ 1 5 题 , 考 生 只 能 从 中 选 做 一 题 ) ⒕(坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的参数方程是 坐标系与参数方程选做题)

E

A

D

B

C

1 ? ? x = 2 (t + t ) ? ( t 为参数) 则曲线 C 的普通方程是 为参数) , ? 1 ? y = 3(t ? ) ? t ?
⒖(几何证明选讲选做题)如图, PT 是圆 O 的切线, 几何证明选讲选做题)如图, 的切线,



B

?O

A

PAB 是圆 O 的割线,若 PT = 2 , PA = 1 , ∠P = 60 o , 的割线,
则圆 O 的半径 r = .

T

P

三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 满 分 80 分 . 解 答 须 写 出 文 字 说 明 , 证 明 过 程 或 演 算 步骤. 16. (本 小 题 满 分 12 分 ) 已知函数 f ( x) =

1 3 sin x cos x ? cos 2 x ? , x ∈ R . 2

的最小值和最小正周期; (Ⅰ ) 求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期; ( Ⅱ ) 已 知 ?ABC 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且 c = 3, f (C ) = 0 , 若 向 量

ur r m = (1,sin A) 与 n = (2,sin B ) 共线,求 a、b 的值. 共线, 的值.

17.(本小题满分 17.(本小题满分 12 分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都 .( 是正整数), ),且每批均需付运费 购入 x 台(x 是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每 批购入书桌的总价值(不含运费)成正比, 批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元资金可以用于支付运费和保管费. 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f ( x ); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

第3页

18. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 所 示 , 正 方 形 ADEF 与 梯 形 ABCD 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ,

AD ⊥ CD, AB // CD, CD = 2 AB = 2 AD .
(Ⅰ)求证: BC ⊥ BE ; 求证: 上找一点 ( Ⅱ ) 在 EC 上找一 点 M , 使得 BM // 平面 ADEF , 点的位置,并给出证明. 请确定 M 点的位置,并给出证明. E

F D C

A 1 9. (本题满分 14 分) 为非负实数, 设 a 为非负实数,函数 f ( x) = x x ? a ? a . 求函数的单调区间 单调区间; (Ⅰ)当 a = 2 时,求函数的单调区间; 的零点个数,并求出零点. (Ⅱ)讨论函数 y = f ( x) 的零点个数,并求出零点.

B

2 0 . (本题满分 14 分) 已知椭圆 已知椭圆 C :
x2 y2 2 + 2 = 1 a > b > 0)的左焦点 F 及点 A(0, ),原点 O 到直线 FA 的距离为 ( b b. 的左焦点 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的离心率 e ; (2)若点 F 关于直线 l : 2 x + y = 0 的对称点 P 在圆 O : x 2 + y 2 = 4 上,求椭圆 C 的方程及点 P 的 的方程及

坐标. 坐标.

21、 21、(本小题满分 14 分)
f (n) * 已知函数 f ( x) = log 3 ( ax + b) 的图象经过点 A( 2,1) 和 B (5,2) ,记 an = 3 , n ∈ N .

的通项公式; (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn =

an , Tn = b1 + b2 + L + bn ,若 Tn < m(m ∈ Z ) ,求 m 的最小值; 的最小值; 2n

(3)求使不等式 (1 + 求使不等式

1 1 1 )(1 + )L (1 + ) ≥ p 2n + 1 对一切 n ∈ N * 均成立的最大实数 p . a1 a2 an

第4页

广 东 省 华 师 附 中 2012 届 高 三 11 月 阶 段 测 试
参考答案与评分标准
一. 选择题

CCBCD ABC CD

二. 填空题 9.

2

;

10. 5 ;

11.

3 5

12.

7

13.

1 ; 1 2

14 .

6 5 5

15 . 4

1 6 . 解 : (Ⅰ )

f ( x) = 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 3 1 = sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2

= sin(2 x ? ) ? 1 6

π

……………………………………………………3 ……………………………………………………3 分 …………………………………… ………………………………5 ………………………………5 分 ………………

∴ f ( x ) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 π . (Ⅱ)∵ ∵ ∵

f (C ) = sin(2C ? ) ? 1 = 0 , 即 sin(2C ? ) = 1 6 6 π π 11π π π π 0 < C < π , ? < 2C ? < ……7 ,∴ 2C ? = ,∴ C = . ……7 分 6 6 6 6 2 3 ur r m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A = 0 . 共线,

π

π

由正弦定理

a b = , 得 b = 2 a, sin A sin B
2 2

①…………………………………9 ①…………………………………9 分

由余弦定理, ∵ c = 3 ,由余弦定理,得 9 = a + b ? 2ab cos 解方程组①②, 解方程组①②,得 ? ①②

π
3

②……………………10 , ②……………………10 分

?a = 3 . ?b = 2 3

…………………………………………12 …………………………………………12 分

(1 1 7 . 解: 1)设题中比例系数为 k ,若每批购入 x 台,则共需分 ( 由题意 f ( x) =

36 批,每批价值为 20 x 元, x

36 ? 4 + k ? 20 x x 16 1 = 80 5

………………………………………………4 ………………………………………………4 分 ………………………………………………6 ………………………………………………6 分

由 x = 4 时, y = 52 得 k =

∴ f ( x) =

144 + 4 x (0 < x ≤ 36, x ∈ N* ) ……………………………………………8 分 ……………………………………………8 x 144 + 4 x (0 < x ≤ 36, x ∈ N* ) ( 2) 由 ( 1) 知 f ( x ) = x

∴ f ( x) ≥ 2
当且仅当

144 × 4 x = 48 (元) ………………………………………………10 分 ………………………………………………10 x

144 = 4x ,即 x = 6 时,上式等号成立. 上式等号成立. x
第5页

张书桌,可以使资金够用. ………………………………………12 故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用. ………………………………………12 分 18.证明: 因为正方形 所在的平面互相垂直, 18.证明: (Ⅰ)因为正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, DE ⊥ AD ………………………………………1 所以 DE ⊥ 平面 ABCD ∴ DE ⊥ BC ………………………………………1 分 因为 AB = AD ,所以 ∠ADB = ∠BDC = 取 CD 中点 N ,连接 BN 则由题意知: 则由题意知:四边形 ABND 为正方形 所以 BC =

π
4

, BD = AD 2 + AB 2 = 2 AD

1 BN 2 + CN 2 = AD 2 + CD 2 = AD 2 + AD 2 = 2 AD , BD = BC 4
E M F D N C

则 ?BDC 为等腰直角三角形 …………5 则 BD ⊥ BC …………5 分 则 BC ⊥ 平面 BDE ………………7 则 BC ⊥ BE ………………7 分 (Ⅱ)取 EC 中点 M ,则有

BM // 平面 ADEF …………8 分 …………8
证明如下: 证明如下:连接 MN A B

由(Ⅰ)知 BN // AD ,所以 BN // 平面 ADEF 的中点, 又因为 M 、 N 分别为 CE 、 CD 的中点,所以 MN // DE 则 MN // 平面 ADEF ………………10 分

? x 2 ? 2 x ? 2, x ≥ 2 ? :(Ⅰ 1 9 . 解:(Ⅰ)当 a = 2 时, f ( x ) = x x ? 2 ? 2 = ? 2 , ?? x + 2 x ? 2, x < 2 ?
2 2 ① 当 x ≥ 2 时, f ( x) = x ? 2 x ? 2 = ( x ? 1) ? 3 ,

-----1 -----1 分

上单调递增; ∴ f ( x ) 在 (2, +∞ ) 上单调递增;
2 2 ② 当 x < 2 时, f ( x ) = ? x + 2 x ? 2 = ?( x ? 1) ? 1 ,

----2 ----2 分

上单调递减, 上单调递增; ∴ f ( x ) 在 (1, 2) 上单调递减,在 ( ?∞,1) 上单调递增; 综上所述, 综上所述, f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?∞,1) 和 (2, +∞ ) ,单调递减区间是 (1, 2) . (Ⅱ)(1)当 a = 0 时, f ( x ) = x | x | ,函数 y = f ( x) 的零点为 x0 = 0 ; )(1 ( 2) 当 a > 0 时 , f ( x ) = x x ? a ? a = ? ----5 分 ----5

---3 ---3 分 -----4 -----4 分

? x 2 ? ax ? a, x ≥ a ? , 2 ? ? x + ax ? a, x < a ?

-----6 -----6 分

第6页

故当 x ≥ a 时, f ( x) = ( x ? ) ?
2

a 2

a2 a ? a ,二次函数对称轴 x = < a , 4 2
----7 ----7 分

上单调递增, ∴ f ( x ) 在 ( a, +∞ ) 上单调递增, f ( a ) < 0 ;

a 2 a2 a ? a ,二次函数对称轴 x = < a , 当 x < a 时, f ( x ) = ? ( x ? ) + 2 4 2
上单调递减, 上单调递增; ∴ f ( x ) 在 ( , a ) 上单调递减,在 (?∞, ) 上单调递增; ∴ f ( x ) 的极大值为 f ( ) = ?( ) + a ×
2

a 2

a 2

-------------------8 -------------------8 分 -----------

a 2

a 2

a a2 ?a = ?a, 2 4

a 1o 当 f ( ) < 0 ,即 0 < a < 4 时,函数 f ( x) 与 x 轴只有唯一交点,即唯一零点, 轴只有唯一交点,即唯一零点, 2
由 x ? ax ? a = 0 解之得
2

a + a 2 + 4a a ? a 2 + 4a 舍去); 函数 y = f ( x) 的零点为 x0 = 或 x0 = (舍去); 2 2

---10 ---10 分

a 2o 当 f ( ) = 0 , 即 a = 4 时 , 函 数 f ( x) 与 x 轴 有 两 个 交 点 , 即 两 个 零 点 , 分 别 为 x1 = 2 和 2

x2 =

a + a 2 + 4a = 2+2 2 ; 2

-------11 -------11 分

a 3o 当 f ( ) > 0 ,即 a > 4 时,函数 f ( x) 与 x 轴有三个交点,即有三个零点, 轴有三个交点,即有三个零点, 2

a ± a 2 ? 4a 解得, 由 ? x + ax ? a = 0 解得, x = , 2
2

∴函数 y = f ( x) 的零点为 x =

a ± a 2 ? 4a a + a 2 + 4a 和 x0 = . 2 2

-------12 -------12 分

综上可得, 综上可得,当 a = 0 时,函数的零点为 0 ; 函数有一个零点, 当 0 < a < 4 时,函数有一个零点,且零点为 当 a = 4 时,有两个零点 2 和 2 + 2 2 ;

a + a 2 + 4a ; 2

a ± a 2 ? 4a a + a 2 + 4 a 当 a > 4 时,函数有三个零点 和 . 2 2

----14 ----14 分

命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质 点关于直线对称等知识 椭圆的标准方程与简单几何性质、 等知识, 2 0. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识,考查 数形结合、方程等数学思想方法 以及运算求解能力. 数学思想方法, 数形结合、方程等数学思想方法,以及运算求解能力.

第7页

解:(1)由点 F ( ? ae, 0) ,点 A(0, b) 及 b = 1 ? e a 得直线 FA 的方程为 (1)由
2
2 2 即 1 ? e x ? ey + ae 1 ? e = 0 ,…………………2 分

x y + =1, ? ae 1 ? e2 a

2 1 ? e2 b=a ∵原点 O 到直线 FA 的距离为 , 2 2

1 ? e2 2 ,e = . ………………………………………5 分 =a ∴ 2 2 2 2 1? e + e 2 故椭圆 C 的离心率 e = . …………………………………7 分 2 2 a, 0) 关于直线 l : 2 x + y = 0 的对称点为 P ( x0 , y0 ) , 解法一: (2) 解法一:设椭圆 C 的左焦点 F (? 2
则有

ae 1 ? e 2

y0 1 ? = , ? 2 ? x0 + 2 a ? 2 …………………………………………10 分 ? 2 ? ? x0 ? 2 a y0 + = 0. ?2 ? ? 2 2 3 2 4 2 解之, a, y0 = a. 解之,得 x0 = 10 10 Q P 在圆 x 2 + y 2 = 4 上
3 2 2 4 2 2 a) + ( a) = 4 , 10 10 2 2 2 2 ……………………………………13 ∴ a = 8, b = (1 ? e ) a = 4. ……………………………………13 分
∴( 故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 + = 1, 8 4

点 P 的坐标为 ( , ). ………………………………………14 分 解法二: 解法二:因为 F (?

6 8 5 5

2 a, 0) 关于直线 l 的对称点 P 在圆 O 上,又直线 l : 2 x + y = 0 经过 2 2 a, 0) 也在圆 O 上, ………9 分 也在圆 ………9 2

2 2 圆 O : x + y = 4 的圆心 O (0, 0) ,所以 F (?

从而 ( ?

2 2 a ) + 0 2 = 4 , a 2 = 8, b 2 = (1 ? e 2 )a 2 = 4. ………………………10 分 ………………………10 2

x2 y 2 + = 1 . ………………………………………11 分 ………………………………………11 故椭圆 C 的方程为 8 4

Q F (?2, 0) 与 P ( x0 , y0 ) 关于直线 l 的对称, 的对称,

第8页

1 ? y0 ?x +2 = 2, ? ∴? 0 …………………………………………12 分 …………………………………………12 x0 ? 2 y0 ?2 ? + = 0. ? ? 2 2 6 8 解之, .…………………………………………13 解之,得 x0 = , y0 = .…………………………………………13 分 5 5 6 8 ………………………………………14 故点 P 的坐标为 ( , ). ………………………………………14 分 5 5

:(1 21. 解:(1)由题意得 ?

?log 3 (2a + b) = 1 ?a = 2 ,解得 ? , ?b = ?1 ?log 3 (5a + b) = 2

…………2 …………2 分 …………4 …………4 分

∴ f ( x) = log 3 (2 x ? 1)
(2)由(1)得 bn =

a n = 3log3 ( 2 n ?1) = 2n ? 1, n ∈ N *

2n ? 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 , ∴ Tn = 1 + 2 + 3 + L + n ?1 + ① n 2 2 2 2 2 2n 1 1 3 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 1 + 3 + L + n?1 + + n+1 ② Tn = ① -② 得 2 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn = 1 + 2 + 3 + L + n ?1 + n ? n +1 = 1 + ( 1 + 2 + L + n? 2 + n ?1 ) ? n+1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2n ? 1 1 2n ? 1 2n + 3 = ? n ?1 ? n+1 . ∴Tn = 3 ? n? 2 ? n = 3 ? …………7 , …………7 分 2 2 2 2 2 2n 2n + 5 n +1 2n + 3 f (n + 1) 2n + 5 1 1 1 1 , n ∈ N * ,则由 = 2 = = + ≤ + <1 设 f ( n) = n 2n + 3 2(2n + 3) 2 2n + 3 2 5 f ( n) 2 2n 2n + 3 , n ∈ N * 随 n 的增大而减小, Tn 随 n 的增大而增大。∴当n → +∞ 时, Tn → 3 的增大而减小, 的增大而增大。 得 f ( n) = n 2
恒成立, 又 Tn < m( m ∈ Z ) 恒成立,∴mmin = 3 …………10 …………10 分

(3)由题意得 p ≤

1 1 1 1 (1 + )(1 + )L (1 + )对n ∈ N * 恒成立 a1 a2 an 2n + 1 (1 + 1 1 1 )(1 + )L (1 + ) ,则 a1 a2 an 2(n + 1) 4(n + 1) 2 ? 1

记 F ( n) =

1 2n + 1

F (n + 1) = F ( n)

1 1 1 1 1 (1 + )(1 + ) L (1 + )(1 + ) a1 a2 an a n+1 2n + 2 2n + 3 = = 1 1 1 1 (2n + 1)(2n + 3) (1 + )(1 + ) L (1 + ) a1 a2 an 2n + 1

>

2(n + 1) =1 2(n + 1)

………12 ………12 分Q F ( n) > 0,∴ F ( n + 1) > F ( n),即F (n) 是随 n 的增大而增大

F (n) 的最小值为 F (1) =

2 2 2 3 ,∴ p ≤ 3 ,即 p max = 3. 3 3 3
第9页

…………14 …………14 分


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