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2004年IMO中国国家集训队选拔考试试题

2004年 IMO中国国家集训队选拔考试试题
( 2004 - 03 - 31   8 :00 - 12 :30)
   1. 设 ∠XOY = 90° , P 为 ∠XOY 内的一点 , 且 OP
= 1 , ∠XOP = 30° ,过点 P 任意作一条直线分别交射

(2004 - 04 - 01   8 :00 - 12 :30)
   4. 点 D 、 E、 F 分别在锐角 △ABC 的边 BC 、 CA 、
AB 上 ( 均异于端点 ) , 满足 EF ∥BC , D1 是边 BC 上

线 OX 、 OY 于点 M 、 N . 求 OM + ON - MN 的最大值 .
( 王建伟   命题) 2. 设 u 为任一给定的正整数 . 证明 : 方程 n ! =
u - u 至多有有限多组正整数解 ( n , a , b) .
a b

一点 ( 异于 B 、 D、 C) , 过 D1 作 D1 E1 ∥DE , D1 F1 ∥
DF ,分别交边 AC 、 AB 于点 E1 、 F1 , 连结 E1 F1 , 再在 BC 上 方 ( 与 A 同 侧 ) 作 △PBC , 使 得 △PBC ∽

△DEF ,连结 PD1 . 求证 : EF 、 E1 F1 、 PD1 三线共点 .
(熊   斌  命题) 5. 已知 p1 , p2 , …, p25 为给定的不超过 2 004 的 25 个互不相同的素数 ,求最大的正整数 T ,使得任何

( 余红兵   命题) 3. 设 n1 , n2 , …, nk 是 k ( k ≥ 2) 个正整数 ,且 1 < n1 < n2 < …< nk ,

正整数 a 、 b 满足
11
n1

不大于 T 的正整数 , 总可以表成 ( p1 p2 …p25 ) 2 004 的
1
nk

1-

1
n2

互不相同的正约数之和 ( 如 1 , p1 ,1 + p2 1 + p1 p2 + p3 等均是 ( p1 p2 …p25 ) 2 004 的互不相同的正约数之和) .
1
nk - 1

… 111
n2
k



1 a < 1n1 b

… 1-1

( 陈永高   命题) .

π的三角形的三条 6. 设 a 、 b、 c 是周长不超过 2 边长 . 证明 :sin a 、 sin b 、 sin c 可构成三角形的三条边 长.
( 李伟固   命题)

证明 : n1 n2 …nk ≤(4 a) 2

. ( 余红兵   命题)

偶数 ,结论还成立吗 ? 证明: 如 图
5. 由切线长定理

同理可得 , ci 都是有理数 . 再由 bi = ai - ci 知 ,
bi 都是有理数 .

如果 n 是偶数 ,结论就不一定成立了 . 下面仅举一个 n = 4 的例子加以说明 . 设有一个菱形 , 它的顶角为 2α, 且内切圆半径 为 1. 易算出它的边长为 s = tan α + cot α, 且切点把
图 5     

知 ci = bi + 1 , 所 以 , c i = ai + 1 ci + 1 . 从而 , c1 = a2 - c2

边长分成两条线段的长恰好是 tan α和 cot α. 设 s 为 大于 2 的有理数 ,则可求得
tan α=
s+ s - 4
2

= a2 - ( a3 - c3 ) = a2 - a3 + c3 = a2 - a3 + ( a4 - c4 ) = a2 - a3 + a4 - c4 = …= a2 - a3 + a4 - a5 + …+ a1 - c1 .

2

,  cot α=

s-

s - 4

2

2

.



s - 4 是无理数 ,则 tan α和 cot α都是无理

2

故 c1 =

1 ( a - a3 + a4 - a5 + …+ a n - 1 - a n + a1 ) , 2 2

) 数 . ( 如 s = 3 ,4 ,5 ,6 ,7 , … ( 田正平   杭州师范学院数学系 ,310036)

即 c1 为有理数 .


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