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5月江苏省海门中学高三数学阶段测试 2012.04.22


江苏省海门中学高三数学阶段测试 数学Ⅰ

2012.04.22

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ......... 1.若 z1 ? a ? 2 i , z 2 ? 3 ? 4 i ,且
z1 z2
??? ? ? ???? ? ???? ?

为纯虚数,则实数 a ?

▲ .
? ? ?

2.在边长为 1 的正方形 A B C D 中,设 A B ? a , B C ? b , A C ? c ,则 | b ? a ? c |?

▲ .

2 3.已知命题 p : x ? x ? 6, q : x ? Z ,则使得当 x ? M 时, p 且 q ”与“ ? q ”同时为假命题 “

的 x 组成的集合 M ?

▲ .

4.函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像如右图所示, 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2010) ? ▲ . 5.某地区有 3 个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选择哪一 天是等可能的),假定各个工厂的选择互不影响,则这 3 个工厂选择同一天停电的概率为 ▲ . 6.某市高三数学抽样考试中,对 9 0 分及其以上的成绩情况进 行统计,其频率分布直方图如右下图所示,若 (130,140] 分 数段的人数为 9 0 人,则 (90,100] 分数段的人数为 ▲ . 7.右图给出了一个算法流程图.若给出实数 a , b , c 为
a ? 4, b ? x , c ? 2 x ? 3 x ? 2 ,输出的结果为 b 的值,
2 2

则实数 x 的取值范围是 ▲ . 8.已知 l 、 m 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,有下列 4 个命题: ① 若 l ? ? , 且 ? ? ? ,则 l ? ? ; ② 若 l ? ? , 且 ? / / ? ,则 l ? ? ; ③ 若 l ? ? , 且 ? ? ? ,则 l / / ? ; ④ 若 ? ? ? ? m , 且 l / / m , 则 l / /? . 其中真命题的序号是 ▲ .(填上你认为正确的所有命题的序号) 9.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 为双曲线
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0)
第 7题 图

高三数学 第 1 页 共 13 页

的一个焦点,经过两曲线交点的直线恰过点 F ,则该双曲线的离心率为 ▲ . 10.已知二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c 满足 f (1) ? 0, a ? b ? c ,则
2

c a

的取值范围是 ▲ .

11.设 A 和 B 是抛物线 L 上的两个动点,在 A 和 B 处的抛物线切线相互垂直,已知由 A、 B 及 抛物线的顶点 P 所成的三 角形重心的轨迹也是一抛物线,记为 L1 .对 L1 重复以上过程,又 得一抛物线 L 2 ,以此类推.设如此得到抛物线的序列为 L1 , L 2 , ? , L n ,若抛物线 L 的方程为
2 y ? 6 x ,经专家计算得, L1 : y

2

? 2 ( x ? 1) , L 2 : y ?
2

2 3

(x ?1?
Tn Sn

1 3

)?

2 3

(x ?

4 3

),

L3 : y ?
2

2 9

(x ?1?

1 3

?

1 9

)?

2 9

(x ?

13 9

) ,? , Ln : y 2 ?

2 Sn

(x ?

) .则 2 T n ? 3 S n =



.

12. 已知函数 f ( x ) ? ? x ln x ? ax 在 (0, e ) 上是增函数, 函数 g ( x ) ? | e x ? a | ? 函数 g ( x ) 的最大值 M 与最小值 m 的差为 13.在 ? A B C 中,已知内角 A ?
?
3

a

2

2

.当 x ? [0, ln 3] 时,

3 2

,则 a =___▲___.

,边 B C ? 2 3 ,则 ? A B C 的面积 S 的最大值为 ▲ .

14. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和 g ( x ) 满足 g ( x ) ? 0, f ?( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? g ?( x ) , f ( x ) ? a x ? g ( x ) ,
f (1) g (1) ? f ( ? 1) g ( ? 1) ? 5 2

.令 a n ?

f (n) g (n)

,则使数列 { a n } 的前 n 项和 S n 超过

15 16

的最小自然数 n 的值



▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或 .......
演算步骤.

15. (本小题满分 14 分) 已知锐角 ? A B C 中的三个内角分别为 A , B , C . (1)设 BC ? CA ? CA ? AB
??? ??? ? ? ??? ??? ? ?
? (2)设向量 s ? 2 sin C , ? 3

?

,求证 ? A B C 是等腰三角形; ? ? ? C 12 ? ? , t ? (cos 2 C , 2 cos 2 ? 1) ,且 s ∥ t ,若 sin A ? ,求 sin( ? )B
2 13 3

的值.

高三数学 第 2 页 共 13 页

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC=∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD, E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)求证:PC⊥ A E ; (2)求证:CE∥平面 PAB; (3)求三棱锥 P-ACE 的体积 V.

17. (本小题满分 14 分) 某民营企业从事 M 国某品牌运动鞋的加工业务,按照国际惯例以美元结算。依据以往的加工 生产数据统计分析, 若加工订单的金额为 x 万美元, 可获得的加工费的近似值为
1 2 ln(2 x ? 1)

万美元。2011 年以来,受美联储货币政策的影响,美元持续贬值。由于从生产订单签约到成 品交付要经历一段时间,收益将因美元贬值而损失 mx 美元(其中 m 是该时段的美元贬值指 数,且 0<m<1) ,从而实际所得的加工费为 f ( x) ? ln(2 x ? 1) ? mx 万美元.
2 1

(1)若某时段的美元贬值指数 m ?

1 200

,为了确保企业实际所得加工费随 x 的增加而增加,

该企业加工产品订单的金额 x 应该控制在什么范围内? (2)若该企业加工产品订单的金额为 x 万美元时共需要的生产成本为
1 20 x 万美元。已知该企

业的生产能力为 x ? [10,20] ,试问美元贬值指数 m 在何范围内时,该企业加工生产不会 出现亏损?(已知 (ln(2 x ? 1))? ?
2 2x ?1

) .

18. (本小题满分 16 分)
高三数学 第 3 页 共 13 页

已知 A ( 0 ,1) 、 B (0, 2) 、 C (4 t , 2 t 2 ? 1)( t ? R ) ,⊙M 是以 AC 为直径的圆,再以 M 为圆心、 BM 为半径作圆交 x 轴交于 D、E 两点. (1)若 ? C D E 的面积为 14,求此时⊙M 的方程; (2)试问:是否存在一条平行于 x 轴的定直线与⊙M 相切?若存在,求出此直线的方程; 若不存在,请说明理由; (3)求
BD BE ? BE BD

的最大值,并求此时 ? D BE 的大小.

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ?
1 x

, a 为常数.

(1)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直,求实数 a 的值; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3)当 x ? 1 时, f ( x ) ? 2 x ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分)
高三数学 第 4 页 共 13 页

已知数列 ? x n ? 和 ? y n ? 的通项公式分别为 x n ? a n 和 y n ? ? a ? 1 ? n ? b , n ? N ? . (1)当 a ? 3, b ? 5 时, ①试问: x 2 , x 4 分别是数列 ? y n ? 中的第几项? ②记 c n ? x n 2 , c k 是 ? y n ? 中的第 m 项 ( k , m ? N ? ) , 若 试问: k ? 1 是数列 ? y n ? 中的第几项? c 请说明理由; (2)对给定自然数 a ? 2 ,试问是否存在 b ? ?1, 2? ,使得数列 ? x n ? 和 ? y n ? 有公共项?若存 在,求出 b 的值及相应的公共项组成的数列 ? z n ? ,若不存在,请说明理由.

江苏省海门中学高三数学阶段测试 数学Ⅱ(附加题)

2012.04.22

请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........ 21.本题包括 A、B 两小题,考生都做. ..

A 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)
已知矩阵 A ? ?
?1 ??1
2? ?? ? 7 ? ? ,设向量 ? ? ? 4 ? ,试计算 4? ? ?

A 5 ? 的值.

??

B 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)
椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为
2x ?

1 2

,点 P ( x , y ) 是椭圆上的一个动点,若

3 y 的最大值为 1 0 ,求椭圆的标准方程.

22. (本小题满分 10 分)
高三数学 第 5 页 共 13 页

一投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记 2 分,投入蓝袋记 1 分,未投入袋记 0 分.经过多 次试验,某人投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋,25 个入蓝袋,其余不能入袋. (1)求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率; (2)求该人两次投掷后得分 ? 的数学期望 E ? .

23. (本小题满分 10 分) 已知多项式 f ( n ) ?
1 5 n ?
5

1 2

n ?
4

1 3

n ?
3

1 30

n.

(1)求 f (1) 及 f ( ? 1) 的值; (2)试探求对一切整数 n, f ( n ) 是否一定是整数?并证明你的结论.

江苏省海门中学高三数学阶段测试 2012.04.22

参考答案
1.
8 3

;2.2;3. {? 1, 0,1, 2} ;4. 2 ?
2 ;10. ( ? 2, ?
1 2

2 ;5.

1 49 5

;6. 8 1 0 ;7. x ? 2 或 ? 2 ? x ? 1 ;

8.②;9. 1 ?

) ;11.-1;12.
? ?? ? ? ?? ?

15 . 解 析 : (1) 因 为 B C ? C A ? C A? A B 以 ,所

? ? ?? ? ?? ?

;13. 3 3 ;14. 5 . 2 ??? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? CA BC ?( ? A B? 0 , 又 A B ? B C ? C A ? 0 , )
2

所以 CA ? ? ( AB ? BC ), 所以 ? ( AB ? BC ) ? ( BC ? AB ) ? 0 , 所以 AB

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 | A B | 2 ? | B C | 2 ,即 | A B |? | B C | ,故△ABC 为等腰三角形.

? BC

2

?0,

(4 分) (6 分)

? ? 2 C ? 1) ? ? 3 cos 2 C ,∴ sin 2 C ? ? 3 cos 2 C ,即 (2)∵ s ∥ t , ∴ 2 sin C ( 2 cos 2
tan 2 C ? ? 3 , ? C 为锐角,∴ 2 C ? ? 0, ?
2? 3

? ,∴ 2 C

?

2? 3

,∴ C ?

?
3



(8 分)

∴A?

?B

,∴ sin ?

??

? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? sin ? ? ? B ? ? ? ? sin ? A ? ? 3? ? 3 ? ? 3? ? ?? 3



(10 分)

高三数学 第 6 页 共 13 页

又 sin A ?
?? ?3

12 13

,且 A 为锐角,∴ cos A ?

5 13



(12 分)

∴ sin ?

13 ? 5 3 ? ? ? ? ? ? ? B ? ? sin ? A ? ? ? sin A cos ? cos A sin ? 3? 3 3 26 ? ?


P

(14 分)

16.解析: (1)在 Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60° , ∴BC= 3 ,AC=2.取 P C 中点 F ,连 AF , PF ,则 ∵PA=AC=2,∴PC⊥ A F . (1 分) ∵PA⊥平面 ABCD, C D ? 平面 ABCD, ∴PA⊥ C D ,又∠ACD=90° ,即 C D ? A C , ∴ CD ? 平 面 PAC ,∴ C D ? P C , ∴ EF ? PC . ∴ PC ? 平 面 AEF . ∴PC⊥ A E . (3 分) (4 分)
B

F A

E

D

C

(5 分)

(2)证法一:取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA.∵EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. (7 分) 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60° ,AC=AM=2, ∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB. ∵MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB. (9 分) ∵EM∩MC=M,∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC ? 平面 EMC,∴EC∥平面 PAB. B 证法二:延长 DC、AB,设它们交于点 N,连 PN. ∵∠NAC=∠DAC=60° ,AC⊥CD,∴C 为 ND 的中点. ∵E 为 PD 中点,∴EC∥PN. ∵EC ? 平面 PAB,PN ? 平面 PAB,∴EC∥平面 PAB.
高三数学 第 7 页 共 13 页

P

F A

E

M

(10 分)
C

D

(7 分) (9 分) (10 分)

(3)由(1)知 AC=2, E F ?

1 2

CD ,且 EF ? 平 面 PAC .

在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60° ,∴CD=2 3 ,得 E F ? 则 V= V E ? PAC ?
1 3 ? 1 2 ?2?2? 3 ? 2 3 3

3.

(12 分) (14 分)



由 f ?( x) ? 0 ? 199 ? 2 x ? 0 ,解得 0<x<99.5 即加工产品订单金额 x ? (0,99.5) (单位:万美元) ,该企业的加工费随 x 的增加而增加。 (2)依题意设,企业加工生产不出现亏损,则当 x ? [10,20] 时, 都有
1 2 ln(2 x ? 1) ? mx ? 1 20 x。

法一:即 10 ln(2 x ? 1) ? (20m ? 1) x ? 0 在 x∈[10,20]时恒成立.…………………7 分

所以,g(x)min=g(20)=10ln41-20(20m+1)≥0,∴m≤ 所以,m∈(0,
ln 41 ? 2 40

ln 41 ? 2 40

,又 m>0, ………………14 分
? 1 20

]时,该企业加工生产不会亏损 .
? 1 20
高三数学 第 8 页 共 13 页

法二:变量分离 m ?

ln(2 x ? 1) 2x

,令 2 x ? t ? m ?

ln(t ? 1) t

.

18.解: (1) M (2 t , t 2 ) ,以 M 为圆心、BM 为半径的圆方程为 ( x ? 2 t ) 2 ? ( y ? t 2 ) ? t 4 ? 4 ,

其交 x 轴的弦 D E ? 2 t 4 ? 4 ? t 4 ? 4 , S ? C D E ?

1 2

D E ? (2 t ? 1) ? 14 ,? t ? ? 2 ,
2

⊙M 的方程为 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 25 ;????????????????(5 分) (2)∵ M A ? (2 t ) 2 ? ( t 2 ? 1) 2 ? t 2 ? 1 , y M ? t 2 , ∴存在一条平行于 x 轴的定直线 y ? ? 1 与⊙M 相切;??????????(10 分) (3)在 ? BDE 中,设 ? D B E ? ? , S ? B D E ? ∴ BD ? BE ?
8 sin ? 1 2 8 sin ? B D ? B E ? sin ? ? 1 2 ? cos ? , ?4?2? 4,

; B D 2 ? B E 2 ? 16 ? 2 ?
cos ? ? 16 ,
2

∴ BD 2 ? BE 2 ? ∴
?
4 BD BE ? BE BD BD BE ? BE BD

16 sin ?
2

=

BD ? BE BD ? BE

? 2 sin ? ? 2 cos ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

), ? ? (0,

??

, 2? ?

故当 ? ?

时,

的最大值为 2 2 .???????????????(16 分)
ax ? 1 x
2

19.解: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 { x | x ? 0} , f ? ( x ) ?



又曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直, 所以 f ?(1) ? a ? 1 ? 2 ,即 a ? 1 . ?????????4 分 (2)由 f ? ( x ) ?
ax ? 1
2



x 当 a ≥ 0 时, f ?( x ) ? 0 恒成立,所以, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ?? ) .

当 a ? 0 时, 由 f ?( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? ? 由 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ?
1 a
1 a

,所以 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ?
1 a

1 a

);

,所以 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?

, ?? ) .

???????10 分

高三数学 第 9 页 共 13 页

20. 解: (1)由条件可得 x n ? 3 , y n ? 4 n ? 5 .
n

(ⅰ)令 x 2 ? 9 ? y m ? 4 m ? 5 ,得 m ? 1 ,故 x 2 是数列 { y n } 中的第 1 项. 令 x 4 ? 81 ? y k ? 4 k ? 5 ,得 k ? 1 9 ,故 x 4 是数列 { y n } 中的第 19 项. ?????2 分 (ⅱ)由题意知, c n ? 3 那么 c k ? 1 ? 3
2 ( k ? 1) 2n

, 由 c k 为数列 { y n } 中的第 m 项,则有 3

2k

? 4m ? 5 ,

? 9?3

2k

? 9 ? (4 m ? 5) ? 36 m ? 45 ? 4(9 m ? 10) ? 5 ,

? 因 9 m ? 10 ? N ,所以 c k ? 1 是数列 { y n } 中的第 9 m ? 1 0 项.

???????8 分

(2)设在 {1, 2} 上存在实数 b 使得数列 { x n } 和 { y n } 有公共项, 即存在正整数 s,t 使 a ? ( a ? 1) t ? b ,∴ t ?
s

a ?b
s

a ?1



因自然数 a ≥ 2 ,s,t 为正整数,∴ a ? b 能被 a ? 1 整除.
s

①当 s ? 1 时, t ?

a ?b
s

a ?1

?

a a ?1

?N .

?

? ②当 s ? 2 n (n ? N ) 时,

高三数学 第 10 页 共 13 页

当 b ? 1 时,

a ?b
s

a ?1
2

?
4

a

2n

?1

a ?1

??

1? a
?

2n

1 ? (? a)

? ? [1 ? ( ? a ) ? ( ? a ) ? ? ? ( ? a )
2

2 n ?1

]

? ( a ? 1)[1 ? a ? a ? ? a

2n?2

] ? N ,即 a ? b 能被 a ? 1 整除.
s
2n

此时数列 { x n } 和 { y n } 有公共项组成的数列 { z n } ,通项公式为 z n ? 2 显然,当 b ? 2 时,
a ?b
s

(n ? N ) .

?

a ?1 b 2n a (a ? ) s a ?b ? a , ③当 s ? 2 n ? 1 (n ? N ) 时, t ? ? a ?1 a ?1
b a b a
?

a ?1

?

a

2n

?2

a ?1

?

a

2n

?1

a ?1

?

1

? ? N ,即 a ? b 不能被 a ? 1 整除.

s

a (a
? N ,又 a 与 a ? 1 互质,故此时 t ? ? N ,则要 b ? 2 ,此时 a
a (a
2n

2n

?

b

2n 若 a ? 2 ,则 a ?

a ?1
2n

) a ? N?.

2n 若 a ? 2 ,要 a ?

?

2n

?

b a

? a

?1,

由②知, a

2n

? 1 能被 a ? 1 整除, 故 t ?

?

b

a ?1

) a ? N ? ,即 a s

? b 能被 a ? 1 整除.
2 n ?1

当且仅当 b ? a ? 2 时, a S ? b 能被 a ? 1 整除. 此时数列 { x n } 和 { y n } 有公共项组成的数列 { z n } ,通项公式为 z n ? 2
(n ? N ) .
?

综上所述,存在 b ? {1, 2} ,使得数列 { x n } 和 { y n } 有公共项组成的数列 { z n } ,
2n 2 n ?1 ? ? (n ? N ) .???16 分 且当 b ? 1 时,数列 z n ? a (n ? N ) ;当 b ? a ? 2 时,数列 z n ? 2

21.A 解析:矩阵 A 的特征多项式为 f ( ? ) ? 解得 ?1 ? 2 , ? 2 ? 3 .

? ?1
1

?2

??4
?1? ?1?

? ? ? 5? ? 6 ? 0 ,
2

(4 分)
?2? ?1 ?

当 ? 1 ? 2 时,得 ? 1 ? ? ? ;当 ? 2 ? 3 时,得 ? 2 ? ? ? , 由 ? ? m ? 1 ? n ? 2 ,得 ?
5 5

(6 分) (8 分)

?2m ? n ? 7 ?m ? n ? 4
5

,得 m ? 3, n ? 1 ,
5

∴ A ? ? A ( 3? 1 ? ? 2 ) ? 3 ( A ? 1 ) ? A ? 2
2 1 ? 435 ? 5 ? ? 5 ? ? 5 5 ? 3( ?1 ? 1 ) ? ? 2? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ?. ?1 ? ?1? ? 339 ?

(10 分)

B 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)
高三数学 第 11 页 共 13 页

【解】 离心率为

1 2

, 设椭圆标准方程是

x

2 2

?

4c

? x ? 2 cos ? 它的参数方程为 ? ?1, (? 是 3c ? y ? 3 sin ?

y

2

2

参数 ) 2 x ?

3 y ? 4 c cos ? ? 3 c sin ? ? 5 c sin(? ? ? ) 最大值是 5c ,

椭圆的标准方程是

x

2

?

y

2

?1

16

12
25 100 ? 1 4

22.解(1) “飞碟投入红袋”“飞碟投入蓝袋”“飞碟不入袋”分别记为事件 A,B,C. , , 则 P ( A) ?
50 100 ? 1 2 , P ( B ) ? P (C ) ?

因每次投掷飞碟为相互独立事件,故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为
1 1 3 1 3 P4 ( 3 ) ? C 4 ( ) (1 ? ) ? --------------------------------------------------------4 分 2 2 4

(2)两次投掷得分 ? 的得分可取值为 0,1,2,3,4 则: P (? ? 0 ) ? P ( C ) P ( C ) ?
P (? ? 1 ) ? C 2 P ( B ) P ( C ) ? 2 ?
1

1 16

1 4

?

1 4

?

1 8

P (? ? 2 ) ? C 2 P ( A ) P ( C ) ? P ( B ) P ( B ) ?
1

5 16

P (? ? 3 ) ? C 2 P ( A ) P ( C ) ?
1

1 4
5

; P (? ? 4 ) ? P ( A ) P ( A ) ?
? 3? 1 4 ? 4? 1 4 ? 5 2

1 4

? E? ? 0 ?

1 16

? 1?

1 8

? 2?

--------------------------------------------10 分

16

23. (1) f (1) ? 1 ; f ( ? 1) ? 0 . (2)对一切整数 n, f ( n ) 是否一定是整数.证明如下: ( 1 0 )先用数学归 纳法证明:对一切正整数 n, f ( n ) 是整数. ①当 n=1 时, f (1) ? 1 ,结论成立. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,结论成立,即 f ( k ) ? n=k+1 时, f ( k ? 1) ?
0 5 1 4 2 3

*

1 5 1
2

k ?
5

1 2

k ?
4

1 3

k ?
3

1 30

k 是整数,则当

1 5

( k ? 1) ?
5
3 2 4

1 2

( k ? 1) ?
4
5 0

1 3

( k ? 1) ?
3
1 3

( k ? 1)
2 1 4

30
2

? ?

C5 k ? C5k ? C5 k ? C5 k ? C5 k ? C5 5 C3 k ? C3k ? C3 k ? C3
0 3 1 2 2 3

?

C4 k ? C4k ? C4 k ? C4k ? C4
4

?

1 30

3

( k ? 1) = f ( k ) ? k ? 4 k ? 6 k ? 4 k ? 1
4 3 2

根据假设 f ( k ) 是整数,而 k 4 ? 4 k 3 ? 6 k 2 ? 4 k ? 1 显然是整数. ∴ f ( k ? 1) 是整数,从而当当 n=k+1 时,结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数 n, f ( n ) 是整数. ?????????????????7 分 ( 2 0 )当 n=0 时, f (0) ? 0 是整数.???????????????????????8 分
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( 3 0 )当 n 为负整数时,令 n= -m,则 m 是正整数,由(1) f ( m ) 是整数, 所以 f ( n ) ? f ( ? m ) ?
?? 1 m ?
5

1 5

(? m ) ?
5

1 2

(? m ) ?
4

1 3
4

(? m ) ?
3

1 30

(? m )

m = ? f ( m ) ? m 是整数. 30 综上,对一切整数 n, f ( n ) 一定是整数. ????????????????????10 分
4 3

1

m ?

1

m ?

1

5

2

3

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