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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十五


2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十五
一.选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 若 M={(x, y)| |tan?y|+sin2?x=0}, N={(x, y)|x2+y2≤2}, 则 M∩N 的元素个数是 ( (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2.已知 f(x)=asinx+b x+4(a,b 为实数),且 f(lglog310)=5,则 f(lglg3)的值是( (A)?5 (B)?3 (C)3 (D)随 a,b 取不同值而取不同值
3





3.集合 A,B 的并集 A∪B={a1,a2,a3},当 A?B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则 这样的(A,B)对的个数是( (A)8 (B)9 ) (C)26 (D)27

π 4. 若直线 x=4被曲线 C:(x?arcsina)(x?arccosa)+(y?arcsina)(y+arccosa)=0 所截的弦长为 d, 当 a 变化时 d 的最小值是( π (A) 4 π (B) 3 ) π (C) 2 (D)?

5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 c?a 等于 AC 边上的高 h,则 C-A C+ A sin 2 +cos 2 的值是( (A)1 1 ( B) 2 ) 1 (C) 3 (D)?1

6. 设 m, n 为非零实数, i 为虚数单位, z?C, 则方程|z+ni|+|z?mi|=n 与|z+ni|?|z?mi|=?m 在同一复平面内的图形(F1,F2 为焦点)是( )

y
F2 F1

y o
F2 F1

y x
F2 F1

y

o
F2

x

o

x

F1

O (A)

x (B) (C) (D)

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.二次方程(1?i)x2+(?+i)x+(1+i?)=0(i 为虚数单位,??R)有两个虚根的充分必要条件是? 的取值范围为________. 2.实数 x,y 满足 4x2?5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则S 1
max

+S

1
min

=_______.

5π π 3.若 z?C,arg(z2?4)= 6 ,arg(z2+4)= 3,则 z 的值是________.

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1093 4.整数?1031+3?的末两位数是_______.

?

?

5.设任意实数 x0>x1>x2>x3>0,要使 logx01993+logx11993+logx21993≥k· logx01993 恒成立,
x1 x2 x3 x3

则 k 的最大值是_______. 6.三位数(100,101,?,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印 一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如 198 倒过来看是 861;有的卡片则 不然,如 531 倒过来看是 ,因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打印_____ 张卡片. 三、 (本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点,作与 SC 平行的直线 DP.证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 D?,则 D?为三棱锥 S-ABC 的外接球球心.

四、 (本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y2=x 有四个不同 的交点,当这四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹.

五、 (本题满分 20 分) 设正数列 a0,a1,a2,…,an,…满足 anan-2 - an-1an-2 =2an-1,(n≥2) 且 a0=a1=1,求{an}的通项公式.

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2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十五
参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 若 M={(x, y)| |tan?y|+sin2?x=0}, N={(x, y)|x2+y2≤2}, 则 M∩N 的元素个数是 ( ) (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2 解: tan?y=0, y=k(k∈Z), sin ?x=0, x=m(m∈Z), 即圆 x2+y2=2 及圆内的整点数. 共 9 个. 选 D. 2.已知 f(x)=asinx+b x+4(a,b 为实数),且 f(lglog310)=5,则 f(lglg3)的值是( (A)?5 (B)?3 (C)3 (D)随 a,b 取不同值而取不同值
3 3 3



解:设 lglog310=m,则 lglg3=-lglog310=-m,则 f(m)=asinm+b m+4=5,即 asinm+b m =1. ∴ f(-m)=-(asinm+b m)+4=-1+4=3.选 C. 3.集合 A,B 的并集 A∪B={a1,a2,a3},当 A?B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则 这样的(A,B)对的个数是( ) (A)8 (B)9 (C)26 (D)27 解:a1∈A 或?A,有 2 种可能,同样 a1∈B 或?B,有 2 种可能,但 a1?A 与 a1?B 不能 同时成立,故有 22-1 种安排方式,同样 a2、a3 也各有 22-1 种安排方式,故共有(22-1)3 种安排方式.选 D. π 4. 若直线 x=4被曲线 C:(x?arcsina)(x?arccosa)+(y?arcsina)(y+arccosa)=0 所截的弦长为 d, 当 a 变化时 d 的最小值是( π (A) 4 π (B) 3 ) π (C) 2 (D)?
(?, ?)
3

y
?
2

解:曲线 C 表示以(arcsina,arcsina),(arccosa,-arccosa)为直径端点的 π π π π π 圆.即以(α,α)及(2-α,-2+α)(α∈[-2,2])为直径端点的圆.而 x=4与圆 交于圆的直径.故 d= π π π (2α-2)2+(2)2≥2.

O

?

x
?
2

(

-?,-

?
2

+?)

故选 C. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 c?a 等于 AC 边上的高 h,则 C-A C+ A sin 2 +cos 2 的值是( (A)1 1 ( B) 2 ) 1 (C) 3 (D)?1

第3页

解:2R(sinC-sinA)=csinA=2RsinCsinA,?sinC-sinA=sinCsinA, C-A C+A C-A 1 1 C+ A ?2cos 2 sin 2 =-2[cos(C+A)-cos(C-A)]= 2[1-2sin2 2 -2cos2 2 +1]. C-A C-A C+ A C+ A ?(sin 2 +cos 2 )2=1,但 sin 2 +cos 2 >0,故选 A. 6. 设 m, n 为非零实数, i 为虚数单位, z?C, 则方程|z+ni|+|z?mi|=n 与|z+ni|?|z?mi| ? ?m 在同一复平面内的图形(F1,F2 为焦点)是( )

y
F2 F1

y o
F2 F1

y x
F2 F1

y

o
F2

x

o

x

F1

O (A)

x (B) (C) (D)

解:方程①为椭圆,②为双曲线的一支.二者的焦点均为(-ni,mi),由①n>0,故否定 A, 由于 n 为椭圆的长轴, 而 C 中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、 |m|)均小于椭圆长轴, 故否定 C. 由 B 与 D 知, 椭圆的两个个焦点都在 y 轴负半轴上, 由 n 为长轴, 知|OF1|=n, 于是 m<0, |OF2|=-m.曲线上一点到-ni 距离大,否定 D,故选 B. 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.二次方程(1?i)x2+(?+i)x+(1+i?)=0(i 为虚数单位,??R)有两个虚根的充分必要条件是? 的取值范围为________. 解:即此方程没有实根的条件.当 λ∈R 时,此方程有两个复数根,若其有实根,则 x2+λx+1=0,且 x2-x-λ=0.相减得(λ+1)(x+1)=0. 当 λ=-1 时,此二方程相同,且有两个虚根.故 λ=-1 在取值范围内. 当 λ≠-1 时,x=-1,代入得 λ=2.即 λ=2 时,原方程有实根 x=-1.故所求范围是 λ ≠2. 2.实数 x,y 满足 4x2?5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则S 1
max

+S

1
min

=_______.

5 解:令 x=rcosθ,y=rsinθ,则 S=r2 得 r2(4-5sinθcosθ)=5.S= 5 . 4-2sin2θ 1 1 5 5 4+2 4-2 8 = 5 + 5 =5.
z
2

y

∴S

+ max Smin

-4

O

4

x

第4页

5π π 3.若 z?C,arg(z2?4)= 6 ,arg(z2+4)= 3,则 z 的值是________. 解:如图,可知 z2 表示复数 4(cos120°+isin120°). ∴ z=±2(cos60°+isin60°)=±(1+ 3i). 1093 ? ? 4.整数 1031+3 的末两位数是_______. ? ? x3 x3+27-27 2 27 27 解:令 x=10 ,则得x+3= x+3 =x -3x+9-x+3.由于 0<x+3<1,故所求末两位数字
31

为 09-1=08. 5.设任意实数 x0>x1>x2>x3>0,要使 logx01993+logx11993+logx21993≥k· logx01993 恒成立,
x1 x2 x3 x3

则 k 的最大值是_______. x0 1 1 1 k 解:显然x >1,从而 logx01993>0.即 + + ≥ . lg x - lg x lg x - lg x lg x - lg x lg x - lgx3 3 0 1 1 2 2 3 0 x3 就是[(lgx0-lgx1)+(lgx1-lgx2)+(lgx2-lgx3)]( 1 1 1 + + )≥k. lgx0-lgx1 lgx1-lgx2 lgx2-lgx3

其中 lgx0-lgx1>0,lgx1-lgx2>0,lgx2-lgx3>0,由 Cauchy 不等式,知 k≤9.即 k 的最大 值为 9. 6.三位数(100,101,?,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印 一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如 198 倒过来看是 861;有的卡片则 不然,如 531 倒过来看是 ,因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打印_____ 张卡片. 解:首位与末位各可选择 1,6,8,9,有 4 种选择,十位还可选 0,有 5 种选择,共 有 4×5×4=80 种选择. 但两端为 1,8,中间为 0,1,8 时,或两端为 9、6,中间为 0,1,8 时,倒后不变; 共有 2×3+2×3=12 个,故共有(80-12)÷2=34 个. 三、 (本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点,作与 SC 平行的直线 DP.证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 D? , 则 D? 为三棱锥 S—ABC 的外接球球心. ⑴ 证明:∵ DP∥SC,故 DP、CS 共面. S ∴ DC?面 DPC, Q ∵ M∈DC,?M∈面 DPC,SM?面 DPC. ∵ 在面 DPC 内 SM 与 SC 相交,故直线 SM 与 DP 相交. A M C ⑵ ∵ SA、SB、SC 两两互相垂直,∴ SC⊥面 SAB,SC⊥SD. D B ∵ DP∥SC,∴ DP⊥SD.△DD?M∽△CSM, D‘ P ∵ M 为△ABC 的重心,∴ DM∶MC=1∶2.∴ DD?∶SC=1∶2. 取 SC 中点 Q,连 D?Q.则 SQ=DD?,?平面四边形 DD?QS 是矩形. ∴ D?Q⊥SC,由三线合一定理,知 D?C=PS. 同理, D?A= D?B= D?B= D?S. 即以 D?为球心 D?S 为半径作球 D?. 则 A、 B、 C 均在此球上. 即 D?为三棱锥 S—ABC 的外接球球心.

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四、 (本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y2=x 有四个不同 的交点,当这四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹. 解:设 l:y=k1(x-a),m:y=k2(x-b).于是 l、m 可写为(k1x-y-k1a)(k2x-y-k2b)=0.
?y2=x, ∴ 交点满足? ?(k1x-y-k1a)(k2x-y-k2b)=0.

若四个交点共圆,则此圆可写为(k1x-y-k1a)(k2x-y-k2b)+?(y2-x)=0. 此方程中 xy 项必为 0,故得 k1=-k2,设 k1=-k2=k≠0. 于是 l、m 方程分别为 y=k(x-a)与 y=-k(x-b). 消去 k,得 2x-(a+b)=0,(y≠0)即为所求轨迹方程. 五、 (本题满分 20 分) 设正数列 a0、a1、a2、…、an、…满足 anan-2 - an-1an-2 =2an-1,(n≥2) 且 a0=a1=1,求{an}的通项公式. 解:变形,同除以 an-1an-2 得: 令 an +1=bn,则得 bn=2bn-1. an-1 1 1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列. an =2 an-1 an-1 +1, an-2

即{bn}是以 b1=

∴ bn=2n. an ∴ =(2n-1)2.故 an-1 ∴ ?
?

a0=1,
n 2 n-1

? an=(2 -1) (2

-1)2…(21-1)2.(n≥1)

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