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2005二届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答


第 2 届中国东南地区数学奥林匹克
第1天
(2005 年 7 月 13 日 8:00~12:00 福州) 1 (1)设 a ? R ,求证抛物线 y ? x 2 ? ? a ? 2 ? x ? 2 a ? 1 都经过一个定点,且顶点都 落在一条抛物线上。 (2)若关于 x 的方程 x 2 ? ? a ? 2 ? x ? 2 a ? 1 ? 0 有两个不等实根,求其较大根 的取值范围。
l
P Q

2 如图,圆 O(圆心为 O)与直线 l 相离, 作 O P ? l ,P 为垂足。设点 Q 是 l 上任意 一点(不与点 P 重合) ,过点 Q 作圆 O 的 两条切线 QA 和 QB,A 和 B 为切点,AB 与 OP 相交于点 K。过点 P 作 P M ? Q B , P N ? Q A ,M 和 N 为垂足。求证:直线 MN 平分线段 KP。

M N A K o B

3 设 n 是正整数,集合 M ? {1, 2, 3, ? , 2 n} 。 求最小的正整数 k,使得对于 M 的任何一 个 k 元子集,其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 4n+1。 4 试求满足 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 0 0 5 ,且 a ? b ? c 的所有三元正整数组(a, b, c)。

第2天
(2005 年 7 月 14 日 8:00~12:00 福州) 5 已知直线 l 与单位圆 S 相切于点 P,点 A 与圆 S 在 l 的同侧,且 A 到 l 的距离 为 h (h>2),从点 A 作 S 的两条切线,分别与 l 交于 B, C 两点。求线段 PB 与 线段 PC 的长度之乘积。 6 将数集 A ? { a1 , a 2 ,..., a n } 中所有元素的算术平均值记为 P ( A ) , ( P ( A) ?
a 1 ? a 2 ? ... ? a n n

) 若 B 是 A 的非空子集,且 P ( B ) ? P ( A ) ,则称 B 。

是 A 的一个“均衡子集”。 试求数集 M ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 的所有“均衡子集” 的个数。 7 (1)讨论关于 x 的方程 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? | x ? 3 |? a 的根的个数。 (2)设 a1 , a 2 ,..., a n 为等差数列,且 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? a1 ? 1 ? a 2 ? 1 ? ? ? ? ?
a n ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 2 ? ? ? ? ? a n ? 2 ? 5 0 7

求项数 n 的最大值。
3 3 2

8 设0 ? ? , ? ,? ?

?
2

sin ,且 sin 3 ? ?

3

? sin ?

3

? ? 1

,求证:tan 2 ? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ?

答案
1. (1) 令 f a ( x ) ? x 2 ? ( a ? 2 ) x ? 2 a ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? a ( x ? 2 ) ,因此抛物线过定点 (2, 9) ,该抛物线的顶点座标为
x?? y?
2

a?2 2
2

4 (1 ? 2 a ) ? ( a ? 2 ) 4

?

? a ? 12a
2

4

消去 a 得 y ? ? x ? 4 x ? 5 。 (2) f a ( x ) ? 0 的大根为
x? ? ? (a ? 2) ? ( a ? 2 ) ? 4 (1 ? 2 a )
2

2 ? (a ? 2) ? 2 ? ? (a ? 2) ? (a ? 6) ? 36
2

a ? 12a
2

2

令 a+6=2k,则
x? ? (2k ? 4) ? 2 4k ?36
2

?

k ?9 ?k ?2
2

由判别式 ? ? 0 得 k >3 或 k <-3。 当 k <-3 时, x>5; 当 k >3 时, x ? 2 ?
9 k ?9 ?k
2

, 可得-1<x<2.

综上得,方程的大根 x 的取值范围为 ( ? 1, 2 ) ? (5, ? ? ) 。 2. 作 P I ? A B ,I 为垂足, 记 J 为直线 MN 与 线段 PK 的交点。易知 ? Q A O ? ? Q B O ? ? ? Q P O ? 9 0 ,故 O、B、Q、P、A 均在以 线段 OQ 为直径的圆周上。 由于 P N ? Q A , P M ? Q B , P I ? A B ,所以由 Simson 定理知: ? Q A B 的外接圆上一点 P 在其三边的垂足 N、M、I 三点共线,即 N、 M、J、I 四点共线。 因为 Q O ? A B , P I ? A B ,所以 QO//PI, 所 以 ? P O Q ? ? IP O , 又因为 P、A、I、M 四 点共圆,P、A、O、Q 也四点共圆,所以
l
P Q

M N A K o B

? P IJ ? ? P IM ? ? P A M ? ? P O Q

所以在直角三角形 PIK 中, ? P IJ ? ? JP I , 所以 J 为 PK 的中点 因此直线 MN

平分线段 KP。 3. 考虑 M 的 n+2 元子集 P={n-1, n, n+1, …, 2n}。P 中任何 4 个不同元素之和不 小于(n-1)+n+n+1+n+2=4n+2, 所以 k ? n ? 3 。 将 M 的元配为 n 对, B i ? ( i , 2 n ? 1 ? i ),1 ? i ? n 。 对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有三对 B i , B i , B i 同属于 A( i1 , i 2 , i3 两两不同)。
1 2 3

又将 M 的元配为 n-1 对, A,必有一对 C i 同属于 A
4

C i ? ( i , 2 n ? i ),1 ? i ? n - 1 。对

M 的任一 n+3 元子集

这一对 C i 必与刚才三对 B i , B i , B i 中至少一对无公共元,这 4 个元素互不相
4 1 2 3

同,且和为 2n+1+2n=4n+1。 因此,所求的最小 k=n+3。 4. 由于任何奇平方数被 4 除余 1,任何偶平方数是 4 的倍数,因 2005 被 4 除余 1,故 a , b , c 三数中,必是两个偶平方数,一个奇平方数。 设 a=2m,b=2n,c=2k-1,m, n, k 为正整数,原方程化为:
2 2 2

m ? n ? k ( k ? 1) ? 5 0 1
2 2

? (1)

又因任何平方数被 3 除的余数,或者是 0,或者是 1,今讨论 k: (i) 若 3 k ( k ? 1) ,则由(1), 3 m 2 ? n 2 ,于是 m, n 都是 3 的倍数。 设 m=3 m ,n=3 n ,并且
1 1

k ( k ? 1) 3
2

是整数,由(1)
? 167 ? (2)

3 m 1 ? 3 n1 ?
2

k ( k ? 1) 3

于是 设

k ( k ? 1)

3 k ( k ? 1) 3

? 167 ? 2 ? m od 3?

=3r+2,则
k ( k ? 1) ? 9 r ? 6 ? (3)

且由(1), k ( k ? 1) ? 5 0 1 ,所以 k ? 22 。 故由(3),k 可取 3,7,12,16,21,代入(2)分别得到如下情况:
? k ?3 ?k ?7 ?k ? 12 ? k ? 16 , ? 2 , ? 2 , ? 2 ? 2 2 2 2 2 ? m 1 ? n1 ? 5 5 ? m 1 ? n 1 ? 5 1 ? m 1 ? n1 ? 4 1 ? m 1 ? n 1 ? 2 9

,

?k ? 21 ? 2 2 ? m 1 ? n1 ? 9

由于 55、51 都是 4N +3 形状的数,不能表为两个平方的和,并且 9 也不 能表成两个正整数的平方和 因此只有 k=12 与 k=16 时有正整数解 m 1 , n1。 , 当 k=12,由 m 12 ? m 22 =41,得( m 1 , n1 )=(4, 5),则 a=6 m 1 =24,b=6 n1 =30, c=2k-1=23,于是(a, b, c)=(24, 30, 23)。 当 k=16,由 m 12 ? m 22 =29,得( m 1 , n1 )=(2, 5),则 a=6 m 1 =12,b=6 n1 =30,

c=2k-1=31,因此(a, b, c)=(12, 30, 31) (ii) 若 3 | k ( k ? 1) 时,由于任何三个连续数中必有一个是 3 的倍数,则 k+1 是 3 的倍数,故 k 被 3 除余 2,因此 k 只能取 2,5,8,11,14,17 或 20 利用(1)式分别讨论如下: 若 k=2,则 m 12 ? m 22 =499,而 499 ? 3(m od 4) ,此时无解 若 k=5,则 m 12 ? m 22 =481,利用关系式

??

2

? ?

2

?? x

2

? y

2

? ? ?? x ? ? y ?

2

? ?? y ? ? x ?

2

? ?? x ? ? y ? ? ?? y ? ? x ?
2

2

可知 4 8 1 ? 1 3 ? 3 7 ? ? 3 2 ? 2 2 ?? 6 2 ? 1 2 ? ? 2 0 2 ? 9 2 ? 1 5 2 ? 1 6 2 。 所以(m, n)=(20, 9)或(15, 16)。 于是得两组解(a, b, c)=(2m, 2n, 2k-1)=(40, 18, 9)或(30, 32, 9)。 若 k=8,则 m 12 ? m 22 =445,而 445 ? 5 ? 89 ? ? 2 2 ? 1 2 ??8 2 ? 5 2 ? ? 21 2 ? 2 2 。 所以(m, n)=(21, 2)或(18, 11),得两组解(a, b, c)=(2m, 2n, 2k-1)=(42,4,15) 或(36, 22 15)。 若 k=11,有 m 12 ? m 22 =391,而 391 ? 3(m od 4) ,此时无解; 若 k=14,有 m 12 ? m 22 =319,而 319 ? 3(m od 4) ,此时无解; 若 k=17,有 m 12 ? m 22 =229,而 2 2 9 ? 1 5 2 ? 2 2 ,得(m, n)=(15, 2),得一组解 (a, b, c)=(2m, 2n, 2k-1)=(30, 4, 33); 若 k=20,则 m 12 ? m 22 =121=1 1 2 ,而1 1 2 不能表示两个正整数的平方和,因 此本题共有 7 组解为:(23, 24, 30),(12, 30, 31),(9, 18, 40),(9, 30, 32), (4, 15, 42),(15, 22, 36),(4, 30, 33)。经检验,它们都满足方程。
? 18 ? 11
2 2

5. 设 PB、PC 的长度分别为 p、q,设 ? ABP ? ? , ?ACP ? ? ,设 AC 与 S 的切点 为 E,记圆心为 O,设 AE 的长度为 t,连接 AO、OE,则在直角三角形 AOE 中,我们有
?AOE ? 1 2 ( ? ? ? ),

因此 t ? tan ( ? ? ? ) ?
2

1

p?q pq ? 1


pq ( p ? q ) pq ? 1

这样我们可得 ? A B C 的面积 S ? A B C 为 S ? A B C ? ( p ? q ? t ) ? 1 ? 又因为 S ? A B C ? 整理得 p q ?
1 2
h h?2 .



( p ? q ) ? h , 所以可得

1 2

h?

pq pq ? 1



6. 由于 P(M)=5,令 M’={x-5 | x ? M}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}, 则 P(M’)=0, 依照此 平移关系,M 和 M’的均衡子集可一一对应。 用 f (k)表示 M’的 k 元均衡子集 的个数,显然有 f (9)=1, f (1)=1 (M’的 9 元均衡子集只有 M’,一元均衡子集 只有{0})。 M’的二元均衡子集共四个,为 B i ? { ? i , i} , i ? 1, 2, 3, 4 , 因此 f(2)=4。 M’的三元均衡子集有两种情况: (1)含有元素 0 的为 B i ? {0} ? { ? 2, 0, i}, i ? 1, 2, 3, 4 , 共四个; (2)不含元素 0 的,由于等式 3=1+2,4=1+3 可表示为-3+1+2=0,3-1-2=0 以及-4+1+3=0,4-1-3=0 得到 4 个均衡子集{-3, 1, 2},{3, -1, -2},{-4, 1, 3},{4, -1, -3},因此 f (3)=4+4=8。 M’的四元均衡子集有三种情况: (1)每两个二元均衡子集之并: B i ? B j ,1 ? i ? j ? 4 , 共 6 个集; (2)不含元素 0 的三元均衡子集与{0}的并集,共 4 个集; (3)以上两种情况之外者,由于等式 1+4=2+3 可表为-1-4+2+3=0 以及 1+4-2-3=0 得 2 个均衡子集{-1, -4, 2, 3}与{1, 4, -2, -3},因此 f (4)=6+4 +2=12。 又注意到,除 M’本身外,若 B’是 M’的均衡子集,当且仅当其补集 C M ' B ' 也 是 M’的均衡子集,二者一一对应。 因此 f (9-k)=f (k),k=1, 2, 3, 4。 从而 M’的均衡子集个数为 ? f ( k ) ? f (9 ) ? 2 ? f ( k ) ? 1 ? 2 (1 ? 4 ? 8 ? 1 2 ) ? 5 1
k ?1 k ?1 9 4

即 M 的均衡子集有 51 个。 7. 根据函数 y=|x+1|+|x+2|+|x+3|=a 的图像可知: 当 a<2 时,方程无解; 当 a=2 时,方程有一个根; 当 a>2 时,方程有两个根。 (1) 因为方程|x|=|x+1|=|x-2|无解,故 n ? 2 且公差不为 0。 不妨设数列的各项 为 a-kd(1≤k≤n,d>0)。作函数 f (x)= ? x ? kd ,
k ?1 n

本题条件等价于 f (x)=507 至少有三个不同的根 a,a+1,a-2,此条件又等 价于函数 y= f (x)的图像与水准直线 y=507 至少有三个不同的公共点。 由于 y=f (x)的图像是关于直线 y ?
( n ? 1) d 2

左右对称的 n+1 段的下凸折线,

它与水准直线 L 有三个公共点当且仅当折线有一水准段在 L 上,当且仅 当 n=2m 且 a, a+1, a-2? [md,(m+1)d], f (md)=507。即 d≥3 且 m2d=507。 由此得 m 2 ?
507 3

, m ? 13 。

显然,m=13 时,取 d=3,a=4 满足本题条件。 因此,n 的最大值为 26。 8. 令 a=sin ? ,b=sin ? ,c=sin ? ,则 a, b, c? (0, 1)且 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 1 ,

a?a ?
3

1 2

2 a (1 ? a ) ?
2 2 2

1 2

(

2a ? 1 ? a ? 1 ? a
2 2

2

) ?
3

2 3 3

,

3

同理 b - b 3 ? 因此
a
2 2

2 3 3
2 2

,c ? c ?
3

2 3 3

,
a
3 3

?

b

?

c

2 2

?

?

b

3 3

?

c

3 3

?

3 3 2

(a ? b ? c ) ?
3 3 3

3 3 2



1- a

1-b

1-c

a-a

b -b
2

c-c

注意到
tan ? ?
2

sin ? 1 ? sin ?
2

? ? ?

a

2 2

1? a b
2

tan ? ?
2

sin ?
2

1 ? sin ?
2

1? b c
2

2

tan ? ?
2

sin ?
2

1 ? sin ?
2

1? c

2

所以 tan 2 ? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ?

3 3 2

.

注 易知上述不等式等号不能成立。


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