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山东省东营市一中2016届高三上学期期中考试数学(理)试卷


保密★启用前 类型:A

试卷

2015—2016 学年第一学期期中考试 高三理科数学试题
注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题,考试时间为 120 分钟, 满分 150 分. 2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上. 3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答,否则不予评分.

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、已知全集 U ? R , A ? ?y | y ? 2 x ? 1?, B ? ?x | ln x ? 0? ,则 A ? B ? ( A. ? 2、若 a 为实数,且 A. 一 4 B. { x | )

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a=( 1? i
B. 一 3 )

1 ? x ? 1} 2

C. {x | x ? 1} )

D. {x | 0 ? x ? 1}

C. 3

D. 4

3、下列命题中正确的个数是(

①若 ?p 是 q 的必要而不充分条件,则

p 是 ?q 的充分而不必要条件;

②命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为“存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0 ” ; ③若 p∧q 为假命题,则 p 与 q 均为假命题; ④命题“若 x —4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3,则 x -4x+3≠0” A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2 2

4、把函数 y ? sin( x ? 象向右平移 A. x ?

?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

?
3

1 倍(纵坐标不变) ,再将图 2
) D. x ? ?

个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( B. x ? ?

?

?
4

8

C. x ?

?
4

?
2
1

5、已知函数 f ( x) ? ( x ? 2) n ? ( x ? 2) n ,其中 n ? 3 系数为( A. 120 ) B. ? 120 C. 60

? ? cos xdx ,则 f ( x) 的展开式中 x
2 ? 2

?

4



D . 0

?x ? y ? 1 ? y 6、已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 的最大值为( ?2 x ? y ? 4 x ?
(A)



3 2

(B)

7、若 ? ? , 3 cos 2? ? sin( ( ,?) A.

?

2 3

(C)

?
4

5 2

(D)

2 5


2 17 ? 18

? ? ) ,则 sin 2? 的值为(
C.

B.

17 18

?

1 18

D.

1 18

8 、 在 锐 角 △ ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c , 若 sin A ?

2 2 ,a?2, 3

S△ ABC ? 2 ,
则 b 的值为( A. 3 B. )

3 2 2

C. 2 2

D. 2 3

→ → 9、 如图, 设 E, F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点, 已知 AB=3, AC=6, 则AE· AF =( )

A.8 B.10

C.11 D.12

10、已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) ? f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时,其导数

f ' ( x) 错误!未找到引用源。满足 xf ' ( x) ? 2 f ' ( x) ,若 2 ? a ? 4 ,则(



A. f (2 a ) ? f (3) ? f (log 2 a)
源。 f (3) ? f (log 2 a ) ? f (2 )
a

错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用

C. f (log 2 a) ? f (3) ? f (2 a )

D. f (log 2 a) ? f (2 a ) ? f (3)
2

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

? 1 x ?( ) , x ? 3 11、已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (1 ? log 1 3) = 2 ? ? f ( x ? 1), x ? 3
12、若存在 x ? ? 2,3? ,使不等式
1 ? ax ? 1 成立,则实数 a 的最小值为 x ? 2x

.



13、已知 a 与 b 的夹角为 120? ,若 (a ? b) ? (a ? 2b) ,且 | a |? 2 ,则 b 在 a 方向上的正射 影的数量为 . 14、已知向量 a = ( x ? 1,2), b = (4, y ) ,若 a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为 15 、已知函数 f ( x) ? 为 . .

?

?

? ?

?

?

?

?

?

1 3 ax ? ax 2 ? 3ax ? 1 的图像经过四个象限,则实数 a 的取值范围 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤. 16、 (本题满分 12 分)已知 m ? (2 ? sin(2 x ?

??

?
6

? sin 2 x) , ), ? 2) , n ? (1,

?? ? ? ( x ? [0, ] ) f ( x) ? m ? n , 2
(1)求函数 f ( x) 的值域;

(2)设 ?ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,若 f ( ) ? 1 ,b ? 1 , c ? 求 a 的值.

B 2

3,

17、 (本题满分12分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, 且 PA=PD=DA=2, ∠BAD=60° (I)求证:PB⊥AD; (II)若 PB= 6 ,求二面角 A—PD—C 的余弦值。

18、 (本题满分 12 分)某旅游景点预计 2014 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单 1 * 位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N ,且 x≤12).已知第 x 个 2

3

35-2x(x∈N ,且1≤x≤6), ? ? 月的人均消费额 q(x)(单位: 元)与 x 的近似关系是 q(x)=?160 * (x∈N ,且7≤x≤12). ? ? x (1)写出 2014 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位:人)与 x 的函数关系式; (2)试问 2014 年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?

*

19、 (本题满分 12 分)等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 2 ? 8 , S 4 ? 40 .数列 {bn } 的 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0, n ? N * . (1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (2)设 c n ? ?

?a n , n为奇数 ?bn , n为偶数

,求数列 {c n } 的前 n 项和 Pn .

20、 (本题满分 13 分)已知椭圆

x2 y 2 ,其长轴、焦距和短轴 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,1) a 2 b2

的长的平方依次成等差数列.直线 l与x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q、 P, 与椭圆分别交于点 M、 N,各点均不重合且满足 PM ? ?1 MQ, PN ? ?2 NQ . (I)求椭圆的标准方程; (II)若 ?1 ? ?2 = ? 3 ,试证明:直线 l 过定点并求此定点.

???? ?

???? ? ????

????

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x (a ? R ) 。
2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ? x ? 在点 (1, ?2) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 在其定义域内的单调性; (3)若函数 y ? g ? x ? 的图象上存在一点 P ( x0 , g ( x0 )) ,使得以 P 为切点的切线 l 将其图 象分割为 c1 , c2 两部分,且 c1 , c2 分别位于切线 l 的两侧(点 P 除外) ,则称 x0 为函数

y ? g ? x ? 的“转点” ,问函数 y ? f ? x ? (a ? 0) 是否存在这样的一个“转点” ,若存在,
求出这个“转点” ,若不存在,说明理由。

4

2015—2016 学年第一学期期中考试答案
DDCDA 11、 BAADBC 13、 ?

7 1 12、 2 12

33 ? 1 8

14、6

15、 ( - ?, - ) ? ( ,??)

1 9

3 5

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 12 分) 已知 m ? (2 ? sin(2 x ?

??

?

? ?? ? ? ( x ? [0, ] ) ), ? 2) , n ? (1, sin 2 x) , f ( x) ? m ? n , 6 2

(1)求函数 f ( x) 的值域; (2)设 ?ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,若 f ( ) ? 1 ,b ? 1 , c ? 求 a 的值. 解

B 2

3,


f( x ? )

? ?

?m

?

? n2

? s i nx ? ( 2 2 ?? 2 ? )( x s x 2 i sn ?i 2 n xc o s? ? c o x s 6 6 6
??????????? 2

?

?

?

2

s i n

?


1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 2 2 3

? ? ? 4? ? 1 3 ? x ? [0, ] ,? 2 x ? ? [ , ] ,??1 ? cos(2 x ? ) ? ,从而有 0 ? f ( x) ? , 2 3 3 3 3 2 2 3 所以函数 f ( x) 的值域为 [0, ] . ???????????4 分 2 B ? ? ? 4? (2)由 f ( ) ? 1 得 cos( B ? ) ? 0 ,又因为 0 ? B ? ? ,所以 ? B ? ? , 2 3 3 3 3
从而 B ?

?

3

=

?

2

,即 B ?

?

6



???????????6 分

因为 b ? 1,c ?

3 ,所以由正弦定理

c sin B 3 b c 得 sin C ? , ? ? b 2 sin B sin C

5

故C ? 当C ?

? ?
3



2? 3

2 2 ,从而 a ? b ? c ? 2 3 2 2? ? ? 当C ? 时, A ? ,又 B ? ,从而 a ? b ? 1 3 6 6 综上 a 的值为 1 或 2. ???????????10 分

时, A ?

?

(用余弦定理类似给分) 。 17 、 ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 菱 形 , 且

PA=PD=DA=2,∠BAD=60° (I)求证:PB⊥AD; (II)若 PB= 6 ,求二面角 A—PD—C 的余弦值。
(Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E,连接 PE,BE,BD. ∵PA=PD=DA,四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD=60° ,∴△PAD 和△ABD 为两个全等的 等边三角形, 则 PE⊥AD, BE⊥AD,∴AD⊥平面 PBE, 又 PB?平面 PBE,∴PB⊥AD; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

(Ⅱ)解:在△PBE 中,由已知得,PE=BE= 3,PB= 6,则 PB2=PE2+BE2, ∴∠PEB=90° ,即 PE⊥BE,又 PE⊥AD,∴PE⊥平面 ABCD; 以点 E 为坐标原点,分别以 EA,EB,EP 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图 所示空间直角坐标系,则 E(0,0,0), C(-2, 3,0),D(-1,0,0),P(0,0, 3), 则=(1,0, 3),=(-1, 3,0), 由题意可设平面 APD 的一个法向量为 m=(0,1,0); . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x,y,z),
?x+ 3z=0, ? 由 得:? 令 y=1,则 x= 3,z=-1,∴n=( 3,1,-1); ?-x+ 3y=0, ? 1 m·n 则 m · n = 1 , ∴ cos<m, n > = = = | m|| n | 5

P

z

A x

E.

D B y

C

5 , 5

. . . . . . . . . . . . .11 分

由题意知二面角 A-PD-C 的平面角为钝角,所以,二面角 A-PD-C 的余 弦值为- 5 . . . . . . . .12 分 5

18、 (本题满分 12 分)某旅游景点预计 2014 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单 1 位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且 x≤12).已知第 x 个月 2

6

35-2x(x∈N ,且1≤x≤6), ? ? 的人均消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 q(x)=?160 * ? ? x (x∈N ,且7≤x≤12). (1)写出 2014 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位:人)与 x 的函数关系式; (2)试问 2014 年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元? (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37, 当 2≤x≤12,且 x∈N 时,
*

*

f(x)=p(x)-p(x-1)= x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)=-3x2+40x,
验证 x=1 也满足此式, 2 * 所以 f(x)=-3x +40x(x∈N ,且 1≤x≤12). (2)第 x 个月旅游消费总额为 2 * ?(-3x +40x)(35-2x)(x∈N ,且1≤x≤6),

1 2

1 2

g(x)=?

?

2 * (-3x +40x)· (x∈N ,且7≤x≤12), ? x ? 3 2 *

160

? ?6x -185x +1 400x(x∈N ,且1≤x≤6), 即 g(x)=? * ?-480x+6 400(x∈N ,且7≤x≤12). ?

①当 1≤x≤6,且 x∈N 时, g′(x)=18x2-370x+1 400,令 g′(x)=0, 140 解得 x=5 或 x= (舍去). 9 当 1≤x<5 时,g′(x)>0, 当 5<x≤6 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(万元). * ②当 7≤x≤12,且 x∈N 时,g(x)=-480x+6 400 是减函数, ∴当 x=7 时,g(x)max=g(7)=3 040(万元). 综上,2014 年 5 月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为 3 125 万元.

*

19、 (本题满分 12 分)等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 2 ? 8 , S 4 ? 40 .数列 {bn } 的 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0, n ? N * . (1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (2)设 c n ? ?

?a n , n为奇数 ?bn , n为偶数

,求数列 {c n } 的前 n 项和 Pn .

【解析】 (1)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? , a n ? 4n .????3 分 ?d ? 4 ?4a1 ? 6d ? 40

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,当 n ? 1 时, b1 ? 3 ,当 n ? 2 时, Tn ?1 ? 2bn ?1 ? 3 ? 0 ,

7

得 bn

? 2bn (n ? 2) ,所以 {bn } 的通项公式为 bn ? 3 ? 2 n ?1 .??????7 分

(2) c n ? ?

? 4n, n为奇数 , n ?1 3 ? 2 , n 为偶数 ?

当 n 为偶数时, Pn

? (a1 ? a3 ? ? ? a n ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn )

?

( 4 ? 4n) ? 2

n n 2 6 ( 1 ? 4 ) 2? ? 2 n ?1 ? n 2 ? 2 ;??????10 分 1? 4

当 n 为奇数时, (法一) n ? 1 为偶数, Pn

? Pn ?1 ? c n ? 2 ( n ?1) ?1 ? (n ? 1) 2 ? 2 ? 4n

? 2 n ? n 2 ? 2n ? 1
(法二) Pn

? (a1 ? a3 ? ? ? a n ? 2 ? a n ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn ?1 ) ? 2 n ? n 2 ? 2n ? 1
? 2 n ?1 ? n 2 ? 2, n为偶数 ??????14 分 n 2 ?2 ? n ? 2n ? 1, n为奇数

所以, Pn ? ?

20、 (本题满分 13 分)已知椭圆

x2 y 2 ,其长轴、焦距和短轴 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,1) a 2 b2

的长的平方依次成等差数列.直线 l与x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q、P,与椭圆分别交于点 M、N,各点均不重合且满足 PM ? ?1 MQ, PN ? ?2 NQ . (I)求椭圆的标准方程; (II)若 ?1 ? ?2 = ? 3 ,试证明:直线 l 过定点并求此定点.

???? ?

???? ? ????

????

8

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x (a ? R ) 。
2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ? x ? 在点 (1, ?2) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 在其定义域内的单调性; (3)若函数 y ? g ? x ? 的图象上存在一点 P ( x0 , g ( x0 )) ,使得以 P 为切点的切线 l 将其图 象分割为 c1 , c2 两部分,且 c1 , c2 分别位于切线 l 的两侧(点 P 除外) ,则称 x0 为函数

y ? g ? x ? 的“转点” ,问函数 y ? f ? x ? (a ? 0) 是否存在这样的一个“转点” ,若存在,
求出这个“转点” ,若不存在,说明理由。

【解析】 (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x ,则 f ?( x) ?
2

1 ? 2 x ? 1 ,………………1 分 x

由此得点 (1, ?2) 处切线的斜率 k ? f ?(1) ? ?2 ,……………………………………………2 分 所以曲线 f ( x) 在点 (1, ?2) 处的切线方程为 y ? 2 ? ?2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 0 .…………3 分 (2)对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? ①当 a ? 0 时, f ?( x) ?

1 ?2ax 2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1 ? ( x ? 0), ……………………4 分 x x
……5 分

1? x ,? f ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减; x

②当 a ? 0 时,设 u ? ?2ax 2 ? x ? 1 , 因为 ? ? 1 ? 8a ,则 i)当 a ? ? 时, ? ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;……6 分

1 8

9

ii)当 ?

1 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,方程 ?2ax 2 ? x ? 1 ? 0 的两根为 8

x1 ?

?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a , , x2 ? 4a 4a
?2a ( x ? x1 )( x ? x2 ) ( x ? 0) , x

易知 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ,则 f ?( x) ?

所以 f ( x) 在 (0, x1 ), ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减;………………7 分 综上所述:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减; 当 a ? ? 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; 当?

1 8

?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a 1 ) ,( , ??) 上单调递增, ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0, 4a 4a 8 ?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a , ) 上单调递减 4a 4a
1 ? 2ax ? 1 ,设 A( x0 , f ( x0 )) , ( x0 ? 0) x
………………8 分

在( 8. f ?( x) ?

则在 A 点处的切线 l ? 方程为 y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) .………9 分 令 G ( x) ? f ( x) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ,则 G ( x0 ) ? 0 .

G '( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? ?( x ? x0 ) ?

1 ? 2ax0 x ( x ? 0) .…………………………………10 分 x0 x

①当 a ? 0 时, 0 ? x ? x0 ,有 G '( x) ? 0 ; x ? x0 ,有 G '( x) ? 0 . 所以 G ( x) 在 ? 0, x0 ? 上单调递增,在 ? x0 , ?? ? 上单调递减,于是 G ( x) ? G ( x0 ) ? 0 , 故 f ( x) 都在切线 l ? 的同侧,此时不存在“转点”.……………………………………11 分 ②当 a ? 0 时,取 x0 ?

?

1 1 ,即 2a ? ? 2 . 2a x0

G '( x) ? ?( x ? x0 ) ?

1 ? 2ax0 x ( x ? x0 ) 2 ? ? 0, 2 x0 x x0 x

所以 G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.…………………………………………………………12 分 又 G ( x0 ) ? 0 ,所以当 x ? (0, x0 ) 时, G ( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, G ( x) ? 0 .

10

于是 f ( x) 的图象在切线 l ? 的两侧,所以 x0 ?

?

1 为函数 f ( x) 的一个“转点”.…13 分 2a

综上所述:当 a ? 0 时,存在 x0 ?

?

1 是函数 f ( x) 的一个“转点” ; 2a
. ???????14 分

当 a ? 0 时, y ? f ( x) 不存在“转点”

11


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