当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修21_图文

第二章 圆锥曲线与方程
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程

学习目标:1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点)2.掌握用定义法 和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程,并 能运用标准方程解决相关问题.(难点)

1.椭圆的定义

[自 主 预 习·探 新 知]

把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫 做椭圆,这 两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距.

思考:(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数,其他条 件不变,点的轨迹是什么?

(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数,其他条件不 变,动点的轨迹是什么?
[提示] (1)点的轨迹是线段 F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.

2.椭圆的标准方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程 焦点

ax22+by22=1(a>b>0) (-c,0)与(c,0)

ay22+bx22=1(a>b>0) (0,-c)与 (0,c)

a,b,c的关系

c2= a2-b2

[基础自测]

1.思考辨析

(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( )

(2)到两定点 F1(-2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 3 的点 M 的轨迹为椭

圆.( )

(3)椭圆2x52 +4y92 =1 的焦点在 x 轴上.(

)

[答案] (1)× (2)× (3)×

2.已知椭圆xm2+1y62 =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,到另一 焦点距离为 7,则 m 等于( )
A.10 B.5 C.15 D.25
D [由题意知 2a=3+7=10,∴a=5,∴m=a2=25.]

3.椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两

个焦点的距离之和为 20,则此椭圆的标准方程为( )

【导学号:46342060】

A.1x020+3y62 =1 C.1y020+3x62 =1

B.4y020+3x326=1 D.2y02 +1x22 =1

C [由题意知 c=8,2a=20,∴a=10,

∴b2=a2-c2=36,故椭圆的方程为1y020+3x62 =1.]

[合 作 探 究·攻 重 难]
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (3)经过点 A( 3,-2)和点 B(-2 3,1).

[解] (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上, ∴设它的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0). ∴a=5,c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 +y92=1.

(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上, ∴设它的标准方程为ay22+bx22=1(a>b>0). ∴a=2,b=1. 故所求椭圆的标准方程为y42+x2=1.

(3)法一:①当焦点在 x 轴上时, 设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0).

依题意有?????????-a322a?22+3??2-+b22b1?22==11,,

解得?????ab22= =155. ,

故所求椭圆的标准方程为1x52 +y52=1.

②当焦点在 y 轴上时, 设椭圆的标准方程为ay22+bx22=1(a>b>0).

依题意有????????a1-2a+22 ??2-+2b?2b332??22==11,,

解得?????ab22==51,5,

因为 a>b>0,所以无解. 所以所求椭圆的标准方程为1x52 +y52=1.

法二:设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),依题意有

??3m+4n=1, ???12m+n=1,

解得?????mn==1511.5,

所以所求椭圆的标准方程为1x52 +y52=1.

[规律方法] 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求 a,b,c 的等量关系;(4)求 a, b 的值,代入所设方程. 2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n >0).因为它包括焦点在 x 轴上(m<n)或焦点在 y 轴上(m>n)两类情况,所以 可以避免分类讨论,从而简化了运算.

[跟踪训练] 1.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点 A(0,2)和 B????12, 3????,求椭圆的标准方程.

[解] 设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),将 A,B 两点坐 ??4n=1,
标代入方程得???14m+3n=1, ??m=1,
解得???n=14, ∴所求椭圆方程为 x2+y42=1.

椭圆中的焦点三角形问题
(1)椭圆x92+y22=1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4, 则∠F1PF2 的大小为________.
(2)已知椭圆x42+y32=1 中,点 P 是椭圆上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,且 ∠PF1F2=120°,则△PF1F2 的面积为________.
【导学号:46342061】

[思路探究] (1) 求|PF2| → 求cos∠F1PF2 → 求∠F1PF2的大小

(2)

椭圆定义和 余弦定理



建立关于|PF1|, |PF2|的方程



联立求解 |PF1|



求三角形 的面积

[解析] (1)由x92+y22=1,知 a=3,b= 2,

∴c= 7. ∴|PF2|=2a-|PF1|=2, ∴cos∠F1PF2=|PF1|22+|P|PFF1|·2||P2-F2||F1F2|2=-21, ∴∠F1PF2=120°.

(2)由

x2 4



y2 3

=1,可知a=2,b=

3 ,所以c=

a2-b2 =1,从而|F1F2|=

2c=2.

在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-

2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|

①.

由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=4

②.

由①②联立可得|PF1|=65.

所以S△PF1F2=12|PF1||F1F2|sin∠PF1F2=12×65×2× 23=353.

[答案]

33 (1)120° (2) 5

[规律方法] 1.椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a> |F1F2|),则点 M 的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之 和必为 2a.
2.椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 构成的△ PF1F2,称为焦点三角 形.在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|MF1|+|MF2|=2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等) 来求解.

[跟踪训练] 2.(1)已知 P 是椭圆y52+x42=1 上的一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且 ∠F1PF2=30°,则△F1PF2 的面积是______________________________.
8-4 3 [由椭圆的标准方程,知a= 5,b=2, ∴c= a2-b2=1,∴|F1F2|=2. 又由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=2 5. 在△F1PF2中, 由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,

即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos 30°, 即4=20-(2+ 3)|PF1|·|PF2|, ∴|PF1|·|PF2|=16(2- 3). ∴S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=12×16(2- 3)×12=8-4 3.]

(2)设 P 是椭圆x42+y32=1 上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,若∠PF1F2=90°, 则△F1PF2 的面积是________.

3 2

[由椭圆方程x42+y32=1,知 a=2,c=1,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|

=2a=4,且|F1F2|=2,在△PF1F2 中,∠PF1F2=90°. ∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2. 从而(4-|PF1|)2=|PF1|2+4,则|PF1|=32,

因此 S△PF1F2=21·|F1F2|·|PF1|=23.

故所求△PF1F2 的面积为32.]

与椭圆有关的轨迹问题
[探究问题] 1.如图 2-2-1,P 为圆 B:(x+2)2+y2=36 上一动点,点 A 的坐标为(2,0), 线段 AP 的垂直平分线交直线 BP 于点 Q,求点 Q 的轨迹方程.
图 2-2-1

提示:用定义法求椭圆的方程,首先要利用平面几何知识将题目条件转 化为到两定点的距离之和为定值,然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴
是否为坐标轴,最后由定义确定椭圆的基本量 a,b,C.
所求点 Q 的轨迹方程为x92+y52=1.

2.如图 2-2-2,在圆 x2+y2=4 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是什么?为 什么?
图 2-2-2

提示:当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时,一般利用代入法 (相关点法)求解.用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为:
(1)设点:设所求轨迹上动点坐标为 M(x,y),已知曲线上动点坐标为 P(x1, y1).
(2) 求 关 系 式 : 用 点 M 的 坐 标 表 示 出 点 P 的 坐 标 , 即 得 关 系 式 ??x1=g?x,y?, ???y1=h?x,y?.

(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程,并 把所得方程化简即可.
所求点 M 的轨迹方程为x42+y2=1.

(1)已知 P 是椭圆x42+y82=1 上一动点;O 为坐标原点,则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为______________.
(2)一个动圆与圆 Q1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 Q2:(x-3)2+y2=81 内 切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
【导学号:46342062】
[思路探究] (1)点 Q 为 OP 的中点?点 Q 与点 P 的坐标关系?代入法求 解.
(2)由圆的相切,及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹.

[解析] (1)设 Q(x,y),P(x0,y0),由点 Q 是线段 OP 的中点知 x0=2x, y0=2y,又x420+y802=1.
所以?24x?2+?28y?2=1,即 x2+y22=1. [答案] x2+y22=1. (2)由已知,得两定圆的圆心和半径分别为 Q1(-3,0),R1=1;Q2(3,0), R2=9. 设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,如图.

由题设有 |MQ1|=1+R, |MQ2|=9-R, 所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6. 由椭圆的定义,知点 M 在以 Q1,Q2 为焦点的椭圆上, 且 a=5,c=3. 所以 b2=a2-c2=25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为2x52 +1y62 =1.

[规律方法] 1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有:直接法、定义 法和代入法,本例(1)所用方法为代入法.例(2)所用方法为定义法.
2.对定义法求轨迹方程的认识 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种 已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义 法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的解题方 法.

3.代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点 P(x,y)与另一个已知曲线 C:F(x,y)=0 上的动点 Q(x1,y1)存在着某种联系,可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来,然后 代入已知曲线 C 的方程 F(x,y)=0,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方 程的方法叫做代入法(又称相关点法).

[跟踪训练] 3.(1)已知 x 轴上一定点 A(1,0),Q 为椭圆x42+y2=1 上任一点,求线段 AQ 中点 M 的轨迹方程.

[解] 设中点 M 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x0,y0). 利用中点坐标公式,

得???x=x0+2 1, ??y=y20,

∴?????xy00==22xy-. 1,

∵Q(x0,y0)在椭圆x42+y2=1上, ∴x420+y20=1. 将x0=2x-1,y0=2y代入上式,得?2x-4 1?2+(2y)2=1. 故所求AQ的中点M的轨迹方程是???x-12???2+4y2=1.

(2)在 Rt△ABC 中,∠CAB=90°,|AB|=2,|AC|=32,曲线 E 过 C 点,动 点 P 在曲线 E 上运动,且|PA|+|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系,求 曲线 E 的方程.
[解] 以 AB 的中点 O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.

由题意可知,曲线 E 是以 A,B 为焦点,且过点 C 的椭圆,设其方程为ax22 +by22=1(a>b>0).则 2a=|AC|+|BC|=32+52=4,2c=|AB|=2,所以 a=2,c=1, 所以 b2=a2-c2=3.
所以曲线 E 的方程为x42+y32=1.

[当 堂 达 标·固 双 基]

1.已知 A(-5,0),B(5,0).动点 C 满足|AC|+|BC|=10,则点 C 的轨迹是

()

A.椭圆 B.直线

C.线段

D.点

C [由|AC|+|BC|=10=|AB|知点 C 的轨迹是线段 AB.]

2.已知椭圆 4x2+ky2=4 的一个焦点坐标是(0,1),则实数 k 的值是( ) 【导学号:46342063】
A.1 B.2 C.3 D.4

B

[椭圆方程可化为 x2+y4k2=1,由题意知?????44kk>-11=1

,解得 k=2.]

3.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点 P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程

为( )

A.x42+y32=1

B.x42+y2=1

C.y42+x32=1

D.y42+x2=1

A [由题意知 c=1,

a=2,

∴b2=a2-c2=3.

∴椭圆的方程为x42+y32=1.]

4.已知椭圆4x92 +2y42 =1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1,F2 的连线夹角为直角, 则|PF1|·|PF2|=________.
48 [由题意知?????||PPFF11||+2+|P|PFF2|2=|2=14100① ② ①2-②得 2|PF1||PF2|=96. 所以|PF1||PF2|=48.]

5.已知椭圆的中心在原点,两焦点 F1,F2 在 x 轴上,且过点 A(-4,3).若 F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.
【导学号:46342064】 [解] 设所求椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0).设焦点 F1(-c,0), F2(c,0)(c>0). ∵F1A⊥F2A, ∴F→1A·F→2A=0,

而F→1A=(-4+c,3), F→2A=(-4-c,3), ∴(-4+c)·(-4-c)+32=0, ∴c2=25,即 c=5. ∴F1(-5,0),F2(5,0).

∴2a=|AF1|+|AF2| = ?-4+5?2+32+ ?-4-5?2+32 = 10+ 90=4 10. ∴a=2 10, ∴b2=a2-c2=(2 10)2-52=15. ∴所求椭圆的标准方程为4x02 +1y52 =1.

谢谢观看


相关文章:
...椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_图....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_数学_高中教育_教育专区。高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆...
...椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_图....ppt
2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_数学_高中教育_教育专区。第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2...
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修21_数学_高中教育_教育专区。新课标导学 数学 选修2-1 人教A版 第二章 圆锥...
2017高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及....ppt
2017高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修21_初三语文_语文_初中教育_教育专区。2017 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准...
...方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_图....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1 ?2.2 椭圆 ?2.2.1 椭圆及其标准方程 自主学习 新知突破 ? 1.了解椭圆的实际...
...椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_图....ppt
2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_高考_高中教育_教育专区。新课标导学 数学 选修2-1 人教A...
...椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_图....ppt
2019-2020高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其...
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程(1....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程(1)课件新人教A版选修2_1_数学_高中教育_教育专区。第二章 §2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程(一)...
...2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修21.ppt
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修21_数学_高中教育_教育专区。第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆...
...与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教a选修2_1_图....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教a选修2_1_数学_高中教育_教育专区。2.2.1 椭圆及其标准方程 1.了解椭圆的实际背景,体验从具体...
...秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程....doc
2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程学案新人教A版选修2_1_数学_高中教育_教育专区。309 教育网 www.309edu.com 2.2.1 ...
...方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_图....ppt
2016_2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_教学案例/设计_教学研究_教育专区。2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准...
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆第1课时椭圆及其....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆第1课时椭圆及其标准方程课件新人教a版选修2_1_数学_高中教育_教育专区。第 1 课时 椭圆及其标准方程 [核心必知] 1.预习...
...椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_图....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_数学_高中教育_教育专区。2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 考纲定位 重...
...椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_图....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1_数学_高中教育_教育专区。新课标导学数学选修2-1 人教A版 第二章圆锥...
四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及....ppt
四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程(2)课件新人教A版选修2_1_教学案例/设计_教学研究_教育专区。2.2.1 椭圆及其标准方程(2) ...
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修21_数学_高中教育_教育专区。新课标导学数学选修2-1 人教A版 第二章圆锥曲线...
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修21_数学_高中教育_教育专区。2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 考纲定位 重...
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标....ppt
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修21_数学_高中教育_教育专区。第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆...
...2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修21.ppt
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修21_数学_高中教育_教育专区。2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 自主学习 新知...