当前位置:首页 >> 数学 >>

球面正弦,余弦定理证明


§4 球面余弦定理和正弦定理

平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性, 到了平面三角学, 把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。 其中最基本的就是三角形的 余弦定理: 设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、b 、c , 它们的对角分别是 、 、 ,则

其中,

分别表示

的余弦。

三角形的正弦定理:设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、 b 、 c ,它们的对角 分别是 、 、 ,则

。 类似地, 球面三角形也有有效能算的边角函数关系,其中最主要的结果就是球面 三角的正弦定理和余弦定理。 为证明球面三角余弦定理,我们介绍有关向量的另一种乘积—外积。 两向量 a 与 b 的外积是一个矢量, 记做 a×b, 它的模是|a×b|=|a||b| 它的方向与 a,b 都垂直,并且按 a,b,a×b 这个顺序构成右手标架。 对于向量的外积,有拉格朗日恒等式成立。 a×b)·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)-(a·b’)·(b·a’) (a,b),

定理 4.1(球面三角余弦定理)在单位球面上,对于任给球面三角形 三边 和三角 恒满足下述函数关系

,其

(证法一)证明:如图 4-1 所示,

图 4-1 是单位球面上的三点,以 a,b,c 分别表示单位长向量 三角形 ,则球面

的三角角度和三边边长分别可以用空间向量 a,b,c 表达如下:

是 b,c 之间夹角的弧度,所以 cos =b·c,同理有 cos =a·c, cos =a·b。 是“a,b 所张的平面”和“a,c 所张的平面”之间的夹角,所以 a×b 和 a×c 之间的夹角,即 (a×b)·(a×c)=| a×b|·|a×c|cosA= 同理亦有(b×c)·(b×a)= (c×a)·(c×b)= 由(a×b)·(a×c)= 所以 同理可证 =cos - 也等于

当单位球面上的球面三角形三边都小于 三角余弦定理。证明如下: 取球面三角形

时, 可以用平面三角余弦定理证明球面

,将各顶点与球心 O 连接,过顶点 A 作 b,c 边的切线,分别 和两个平

交 OC,OB 的延长线于 N,M,由此得到两个平面直角三角形 面三角形 。在

中,根据平面三角形的余弦定理,有 。

同理在 因此 即



即 即得 同理可证

(证法 2)证明:设球心为 O,连接 OA、OB、OC,则 。

图 4-2

过点 A 做

的切线交直线 OB 于 D,过点 A 做

的切线,交直线 OC 于 E,连

接 DE(如图 4-2 所示)。 显然,AD AO,AE AO,在直角三角形 OAD 中, AO=1,

AD=



OD= 在直角三角形 OAE 中, AE=





OE=



注意

。在三角形 ODE 中,利用平面三角形的余弦定理(定理 3.1),

??(1)

在三角形 ADE 中,

??(2)

因为(1)式与(2)式左端相等,所以右端也相等,经化简整理,即得 。 类似地可以得到另外两式。

当三角形有一个内角为直角时,比如

,则由球面三角余弦定理有

。这恰好是平面几何中的勾股定理在球面几何中的对应物,但

形式上有了很大差别。我们称之为球面勾股定理。 定理 4.2(球面三角正弦定理)在单位球面上,对于任给球面三角形 三边 和三角 恒满足下述函数关系 ,其

证明:因为上述三个比值都是正的,所以我们只要证明

恒成立。 由球面三角余弦定理,得

同理可证

,所以

。 , 其三边

一般地, 易证在半径为 r 的球面上, 对于任给球面三角形 和三角 恒满足下述函数关系



当 形

时,上述关系式会变成什么形式呢?如图,当 的三边 可以看作直线段,所以

时,球面三角

,

,

所以

,

,

, 代入上述关系式,当

,

时对式子取极限,整理得:

这恰好是平面三角余弦定理和正弦定理。 在实际使用时, 考虑到所给条件的不同及计算的方便,我们常常需要不同形式的 球面三角公式, 这些公式本质上都能以球面正弦定理和余弦定理加以变换而得到。 前面通过研究极对偶三角形的关系我们证明了球面几何中特有的全等条件 AAA, 在球面三角中有反映这一特有全等条件的三角公式。 定理 4.3(角的余弦公式)在单位球面上,对于任给球面三角形 和三角 恒满足下述函数关系 ,其三边

证明:由

的极对偶三角形

的余弦定理

利用上节定理 3.1 将

中相应的元素代入上式即有

乘以-1,化简得 同理可证其他两式。


相关文章:
球面正弦,余弦定理证明.doc
球面正弦,余弦定理证明 - §4 球面余弦定理和正弦定理 平面几何中的三角形全等
正弦定理与余弦定理的证明.doc
正弦定理余弦定理证明 - 一、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 (1) 当 ? ABC 是锐角三角形时, 设边 AB 上的高是 CD, 根据锐角...
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明.doc
(经典)正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明 - 正弦定理余弦定理知识点总结及证明方法 王彦文 青铜峡一中 角、钝角或直角. (3)正、 余弦定理的一个...
正弦定理与余弦定理的证明.doc
正弦定理余弦定理证明 - 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R 为三角形外接圆的半径) 正弦定理(...
余弦定理及推导.doc
1.1.2 余弦定理 余弦定理定义及公式 余弦定理, 是描述三角形中三边长度与一...向量证明 正弦定理余弦定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (1)已知...
球面三角基本公式.pdf
这条定理很容易证明,请读者自证。 定理 2:极三角形的边和原三角形的对应角...球面三角形任意边的余弦等于其他两边余弦的乘积加上这两边的正弦及其 夹角余弦的...
球面三角定理.doc
正弦定理 1.正弦定理 2.余弦定理 2.余弦定理 *边...三、球面三角的基本公式 下面我们要推导出六个基本...
正余弦定理的证明及其作用.doc
余弦定理证明及其作用 - 一、余弦定理正弦定理证明:Proofs without words。 (1)余弦定理证明 (2)正弦定理证明 二、正弦定理余弦定理的应用 (1)...
《球面上的正弦定理和余弦定理》课件-优质公开课-人教A....ppt
球面上的正弦定理余弦定理》课件-优质公开课-人教A版选修3-3精品 - 一、任意球面三角形 1.余弦公式(cosine formula) ⑴ 边的余弦公式 c b a 记忆口诀...
正弦余弦定理证明教案.doc
正弦余弦定理证明教案_数学_高中教育_教育专区。正弦余弦定理证明教案【基础知识精讲】 1.正弦定理、三角形面积公式 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的...
正弦定理证明.doc
正弦定理证明_高一数学_数学_高中教育_教育专区。正余弦定理的几种证明方法 一、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 (1) ? ABC 是锐角三角...
正余弦定理推导过程.doc
余弦定理推导过程 - 先利用单位圆(向量)推到两角和与差的余弦公式,再利用诱导公式推导正弦公式,最 后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。 如:sin(a+b...
1.1.3_正弦、余弦定理深化[1].doc
教学方法 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理余弦定理的适用题 型与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值...
正,余弦定理的向量证明_图文.doc
,余弦定理的向量证明 - 选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。... 2 2. 注:求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: ⑵解法一:∵cos...
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理.ppt
第三章 第七节 正弦定理余弦定理_数学_高中教育_教育专区。第七节 正弦定理余弦定理(1) 返回 考纲点击掌握正弦定理余弦定理,并能解决一些简单的三角形 ...
正弦定理、余弦定理的证明方法探究_图文.pdf
正弦定理余弦定理证明方法探究_物理_自然科学_专业资料。本文介绍几种正弦定理余弦定理证明方法 221月 01年1 西 北成 人教 育 学报 JuomMfl rws utdc...
【精品推荐】球面几何 选修3-3 第七讲 球面三角形的边....ppt
球面上的正弦定理余弦定理. ? 余弦定理证明. ? 余弦定理的应用. 一、球面上的正弦定理余弦定理为简便起见,考虑单位球面上的情况 A c G H E b D B...
...正弦定理和余弦定理+1.1.2(一)+Word版含答案.doc
2018-2019学年高中数学第一章+§1.1 正弦定理余弦定理+1.1.2(一)+Word版含答案 - 1.1.2 余弦定理(一) 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明...
3.正弦定理、余弦定理和射影定理.pdf
3.正弦定理余弦定理和射影定理_物理_自然科学_专业资料。正弦定理余弦定理和射影定理山东师范大学附属中学 一.三个定理的独立证明 1.正弦定理:在三角形 ABC ...
高三数学正弦定理和余弦定理.doc
讲义一 正弦定理余弦定理以及其应用 一、知识与技能: 掌握正弦定理余弦定理,并能加以灵活运用。 二、知识引入与讲解: Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用:...
更多相关标签: