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全国名校高三试题精品解析分类汇编4月第二期J单元


J 单元

计数原理

目录
J 单元 计数原理 ............................................................................................................................ 1 J1 基本计数原理 ........................................................................................................................... 1 J2 排列、组合 ............................................................................................................................... 1 J3 二项式定理 ............................................................................................................................... 4 J4 单元综合 ..................................................................................................................................... 6

J1

基本计数原理

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届河南省郑州市高三第二次质量预测( 201503) WORD 版】4.某校开设 A 类选修课 2 门,B 类选修课 3 门,一位同学从中选 3 门.若要求 两类课程 中各至少选一门,则不同的选法共有 A. 3 种 B. 6 种 C. 9 种 D.18 种 【知识点】计数原理的应用.J1 【答案】 【解析】C 解析:可分以下 2 种情况:①A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门, 1 2 2 1 有 C2 C3 种不同的选法;②A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C2 C3 种不同的选 法.∴根据分类计数原理知不同的选法共有 C2 C3 +C2 C3 =6+3=9 种.故要求两类课程中各 至少选一门,则不同的选法共有 9 种.故选:C 【思路点拨】两类课程中各至少选一门,包含两种情况:A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门;A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,写出组合数,根据分类计数原理得到结果.
1 2 2 1

J2

排列、组合

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三下学期三调(一模)考试 (201504)word 版】7、已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一

人, 现将这五人排成一行, 要求穿相同颜色衣服的人不能相邻, 则不同的排法共有 ( A.48 种 B.72 种 C.78 种 D.84 种



【知识点】排列、组合及简单计数问题.J2 【答案】 【解析】A 解析:由题意知先使五个人的全排列,共有 A5 种结果. 去掉相同颜色衣服的人相邻的情况,穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况 5 2 2 3 2 2 2 ∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是 A5 ﹣A2 A2 A3 ﹣2A2 A2 A3 =48, 故选 A. 【思路点拨】由题意知先使五个人的全排列,共有 A5 种结果,去掉相同颜色衣服的人相邻 的情况,穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况,得到结果
5 5

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届江西省八所重点中学高三联考(201504)Word 版】19. (本题 12 分)已知集合 任意 , . 设 ,函数 是 的定义域、值域都是 ,且对于

的任意一个排列,定义数表

,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是

两张不同的数表. (1)求满足条件的不同的数表的张数; (2)若 ai ? i ( i ? 1,2,3,4 ),从所有数表中任意抽取一张,记 ? 为表中 ai ? f (i ) 的个数, 求 ? 的分布列及期望. 【知识点】排列、组合 ;离散型随机变量及其分布列 J2 K6 【答案】 【解析】(1)216(2)见解析 解析: (1)9 A4 = (2) p( ? =1) =
4

……5 分

1 , 9 7 p( ? =2) = 9 1 p( ? =3) = ……9 分 9

因此, ? 的分布列如下:

?

1

2

3

P

1 9
? E ? =2 ……12 分

7 9

1 9

【思路点拨】(1)由排列数易求结果. (2)由分布列的定义易求结果.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届广东省广雅中学高三 3 月月考(201503) 】12.将 序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张.如果分给同一人的 2 张 参观券连号,那么不同的分法种数是_____________ 【知识点】排列、组合及简单计数问题.J2 【答案】 【解析】 96 解析:5 张参观券全部分给 4 人,分给同一人的 2 张参观券连号,方法 数为:1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5,四种连号,其它号码各为一组,分给 4 人,共有 4× =96 种.故答案为:96. 【思路点拨】求出 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券 连号的组数,然后分给 4 人排列即可.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试 (201504)WORD 版】14.设数列 {an } 共有 n 项 (n ? 3, n ? N ) ,且 a1 ? an ? 1 ,对于每
*

个 i (1 ? i ? n ? 1, n ? N ) 均有
*

ai ?1 1 ? { ,1,3} . ai 3

(1)当 n ? 3 时,满足条件的所有数列 {an } 的个数为__________; (2)当 n ? 10 时,满足条件的所有数列 {an } 的个数为_________. 【知识点】数列的性质;排列组合 D1 J2 【答案】 【解析】 (1) 3 (2) 3139 解析: (1) 当 n ? 3 时, 因为

a2 ? 1 ? a ?1 ? ? ? ,1,3? , 3 ? ? ,1,3? , a1 ? 3 ? a2 ? 3 ?

所以 a2 ? ? ,1,3? ,

?1 ?3

? ?

1 ?1 1 ? ? ? ,1,3? ,所以 a2 ? 或 a 2 ? 1 或 a2 ? 3 a2 ? 3 3 ?

所以满足条件的所有数列 ?a n ? 的个数为 3 个;

(2)令 bi ?

ai ?1 (1 ? i ? 9) ,则对每个符合条件的数列 ?a n ? 满足条件 ai

b1b2 ??? b9 ?

a2 a3 a10 a10 ?1 ? ? ??? ? ? 1 ,且 bi ? ? ,1,3? a1 a2 a9 a1 ?3 ?

反之符合上述条件的 9 项数列 ?bn ? ,可唯一确定一个符合条件的 10 项数列 ?a n ? 记符合条件的数列 ?bn ? 的个数为 N , 显然 bi (1 ? i ? 9) 中有 k 个 3, k 个

1 , 9 ? 2k 个 1 3

k k 当 k 给定时, ?bn ? 的取法有 C9 C9? k 种,易得 k 的可能值为 0,1, 2,3, 4, 1 1 3 3 故 N ? 1 ? C9 C8 ? C92C72 ? C9 C6 ? C94C54 ? 3139.

所以满足条件的所有数列 ?a n ? 的个数为 3139 个. 【思路点拨】 (1)当 n ? 3 时,因为

a2 ? 1 ? a ?1 ? ? ? ,1,3? , 3 ? ? ,1,3? ,求出 a2 再做出判断; a1 ? 3 ? a2 ? 3 ?

(2)令 bi ?

ai ?1 (1 ? i ? 9) ,则对每个符合条件的数列 ?a n ? 满足条件 ai

b1b2 ??? b9 ?

a2 a3 a10 a10 ?1 ? ? ??? ? ? 1 ,且 bi ? ? ,1,3? ,结合排列组合的知识即可。 a1 a2 a9 a1 ?3 ?

J3

二项式定理

【 【名校精品解析系列】 数学 (理) 卷·2015 届福建省普通高中毕业班质量检查 (201504) 】

1? ? 3. ? x 2 ? ? 展开式的二项式系数和为 64,则其常数项为 x? ?
A.-20 B.-15 C.15 D.20 【知识点】二项式定理. J3 【答案】C【解析】解析:由已知得: 2n ? 64 ? n ? 6 ,所以

?

Tr ?1 ? C6r x
4

2? 6 ? r ?

r 12 ?3 r ? 1? r ,由 12 ? 3r ? 0 ? r ? 4 ,所以其常数项为 ? ? ? ? C6 ? ?1? x ? x?

r

C64 ? ?1? ? 15 ,故选 C.
【思路点拨】由二项式系数性质得 n 值,再由通项得展开式的常数项.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第五次模拟考试 (201503) 】13.若 的展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,

则 . 【知识点】二项式定理的性质.

J3

【答案】6【解析】解析:根据题意得:

4n = 2n = 64 = 26 ? n n 2

6.

【思路点拨】根据二项式定理的性质,列出关于 n 的方程求解.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届江西省八所重点中学高三联考(201504)Word 版 】 8. 若 (1 ? x ) (1 ? 2 x) 7 ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a8 x 8 , 则 a1 ? a 2 ? ? ? a 7 的 值 是 ( ) A.-2 B.-3 【知识点】二项式定理 J3

C.125
7

D.-131
2 8

【答案】 【解析】C 解析:∵(1+x) (1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+a8x , ∴a8= ?(﹣2) =﹣128.
7 7

令 x=0 得: (1+0) (1﹣0) =a0,即 a0=1; 7 令 x=1 得: (1+1) (1﹣2) =a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣2, ∴a1+a2+…+a8=﹣1﹣a0﹣a8=﹣2﹣1+128=125. 故选 C. 【思路点拨】利用二项式定理可知,对已知关系式中的 x 赋值 0 与 1 即可求得 a1+a2+…+a8 的值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届天津市南开区高三一模考试(201504) 】 (10)已 知 a>0,(x–

a 6 a ) 的二项展开式中,常数项等于 60,则(x– 2 )6 的展开式中各项系数和 2 x x

为(用数字作答) .

【知识点】二项式定理的应用.J3 【答案】 【解析】1 解析:∵a>0,(x– ∴通项 Tr+1=C6 (﹣a) x
r r 6﹣3r

a 6 ) 的二项展开式中,常数项等于 60, x2
r r

,当 6﹣3r=0 时,r=2,常数项是 C6 (﹣a) =60

∴a=2,令 x=1,得到二项式展开式中各项的系数之和是 1,故答案为:1. 【思路点拨】写出二项式的通项,令 x 的指数等于 0,求出 r 的值,给 x 赋值,做出二项式 展开式的各项系数之和.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试 (201504)WORD 版】11.已知二项式 ( x 2 ? ) n 的展开式的二项式系数之和为 32 ,则展开式 中含 x 项的系数是_ _. 【知识点】二项式定理 J3
r 【答案】 【解析】 10 解析:由 2n ? 32 得 n ? 5 , Tr ?1 ? C5 ( x 2 )5? r ?

1 x

?1? r 10 ?3 r ,令 ? ? C5 x ?x?

r

10 ? 3r ? 1 得 r ? 3 ,故含 x 项的系数为 C53 ? 10 .
【思路点拨】先由二项式 ( x 2 ? ) n 的展开式的二项式系数之和求出 n,再利用二项式展开式 的性质即可.

1 x

J4 单元综合


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