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【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第4单元 4.5 简单的三角恒等变换随堂训练 理 新人教B版

4.5 一、选择题 简单的三角恒等变换 4 1.若 tan α=3,tan β= ,则 tan(α-β)等于( 3 A.-3 B.- 1 3 C.3 3- 4 3 ) 1 D. 3 5 3 1 解析:tan(α-β)= = = = . 4 5 3 1+tan αtan β 1+3× 3 tan α-tan β 答案:D 2.下列各式中,值为 A.2sin 15° cos 15° C.2sin215° -1 3 的是( 2 ) B.cos215° -sin215° D.sin215° +cos215° 解析:cos215° -sin215° =cos 30° . 答案:B 1 1 3.等式|sin αcos α|+ |sin2α-cos2α|= 成立的充要条件是( 2 2 A.α=kπ(k∈Z) kπ C.α= (k∈Z) 4 B.α= D.α= (k∈Z) (k∈Z) ) 1 1 1 解析:由题意知:原式= |sin 2α|+ |cos 2α|= 2 2 2 kπ ∴|sin 2α|+|cos 2α|=1,∴1+2|sin 2αcos 2α|=1,|sin 4α|=0,α= (k∈Z). 4 答案:C 4.sin 163° sin 223° +sin 253° sin 313° 等于( A.- 1 2 1 B. 2 C.- 3 2 D. ) 3 2 1 解析:原式=sin 163° · sin 223° +cos 163° cos 223° =cos(163° -223° )=cos(-60° )= . 2 答案:B 二、填空题 1 3 5.若 cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则 tan α·tan β=________. 5 5 用心 爱心 专心 1 解析:∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= ① 5 3 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= ② 5 sin αsin β 1 2 1 由①②解得 cos αcos β= ,sin αsin β= ,则 tan αtan β= = . 5 5 cos αcos β 2 答案: 1 2 π 3π 5π 7π 6.求值:cos4 +cos4 +cos4 +cos4 =________. 8 8 8 8 4π 43π? 4π? ? 4π 解析:原式=2? ?cos 8+cos 8 ?=2?cos 8+sin 8? 2π 2π? ? 1 2π? 3 =2? ?1-2sin 8 cos 8?=2?1-2sin 4?=2. 答案: 3 2 7.函数 y=|sin x|cos x-1 的最小正周期与最大值的和为________. ?2sin 2x-1, 解析:y=|sin x|cos x-1=? 1 ?-2sin 2x-1, 其图象如图所示: 1 2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z, (2k+1)π≤x≤(2k+2)π,k∈Z. 1 函数最小正周期 T=2π,最大值 ymax=- , 2 1 故最小正周期与最大值之和为 2π- . 2 答案:2π- 三、解答题 8.用 tan α 表示 sin 2α,cos 2α. 解答:sin 2α=2sin αcos α= cos 2α=cos2α-sin2α= 2sin αcos α 2tan α = , sin2α+cos2α tan2α+1 1 2 cos2α-sin2α 1-tan2α = . sin2α+cos2α 1+tan2α 2tan x 3 2?π ? 9.已知 2 = ,求 sin ?4+x?的值. 1+tan x 5 用心 爱心 专心 2sin x cos x π ? 1? 2tan x 3 ?π ?? 解答: = =sin 2x= ,sin2? ?4+x?=2?1-cos 2?4+x?? 5 1+tan2x cos2x+sin2x cos2x 1+sin 2x 4 π 1 +2x??= = ? 1-cos? = . 2 ? ? ? ? 2 2 5 π? 3 π π? 3π ? 10.已知 cos? ?α+4?=5,2≤α< 2 ,求 cos?2α+4?的值. π π π 2 2α+ ?=cos 2αcos -sin 2αsin = (cos 2α-sin 2α), 解答:cos? 4 ? ? 4 4 2 π? 3 π 3 3π π 7 ∵ ≤α< π,∴ ≤α+ < π.又 cos? ?α+4?=5>0, 2 2 4 4 4 π? 3 π 7 4 故可知 π<α+ < π,∴sin? ?α+4?=-5, 2 4 4 π π π 4 3 24 2α+ ?=2sin?α+ ?cos?α+ ?=2×?- ?× =- . 从而 cos 2α=sin? 2? ? ? 4? ? 4 ? ? 5? 5 25 π? π? 2? ?3?2 7 sin 2α=-cos? ?2α+ 2?=1-2cos ?α+4 ?=1-2×?5? =25. π? 2 2 ? 24 7 ? 31 2 ∴cos? ?2α+4?= 2 (cos 2α-sin 2α)= 2 ×?-25-25?=- 50 . π 3π? → → 1. 已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为 A(3,0)、 B(0,3)、 C(cos α, sin α), α∈? BC ?2, 2 ?.若AC· =-1,求 2sin2α+sin 2α 的值. 1+tan α → 解答:AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3), → → 由AC· BC=-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2sin2α+sin 2α 2sin2α+2sin αcos α 2 5 ∴sin α+cos α= ,2sin α· cos α=- ,又 = 3 9 sin α 1+tan α 1+ cos α 5 5 =2s

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