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www.96mscc.com:2017-2018高一数学上学期期末复习专题04初等函数(II)三角函数_图文

专题04初等函数(II)三角函数

一、基础知识整合
(一)三角函数的概念 1.任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______ 到另一个位置所成的图形.我们规定:按____________ 方向旋转形成的角叫做正角,按____________方向旋转 形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我 们称它形成了一个____________. (2)象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的_________重 合.角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.

①α 是第一象限角可表示为

,k∈Z(π); α |2kπ <α <2kπ +π ,k∈Z 2

②α 是第二象限角可表示为



③α 是第三象限角可表示为



④α 是第四象限角可表示为



(3)非象限角

如果角的终边在____________上,就认为这个角不属于

任何一个象限.

①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α |α = 2kπ ,k∈Z}; ②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作

_________________;

③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作 _________________; ④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作 __________________; ⑤终边在x轴上的角的集合可记作 __________________________; ⑥终边在y轴上的角的集合可记作_________; ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_____ . (4)终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集 合S=________________________.

2.弧度制 (1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧 度的角,用符号rad表示,读作弧度. =________,l是半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长. (2)弧度与角度的换算:360°=________rad,180°= ________rad,1°=_____rad≈0.01745rad,反过来 1rad=____≈57.30°=57°18′. (3)若圆心角α 用弧度制表示,则弧长公式l= __________;扇形面积公式S扇=______=_____.

3.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 设α 是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y)与原 点的距离为r(r>0),则sinα =_____,cosα =______, tanα =______ (x≠0).

三角函数 sinα cosα tanα

定义域 ① ② ③

(2)三角函数值在各象限的符号

4.三角函数线

如图,角α 的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂

线,垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与

α 的终边(当α 为第一、四象限角时)或其反向延长线

(当α 为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数

的定义,有OM=x=________,MP=y=________,AT



=________.像OM,MP,AT这种被看作带有

方向的线段,叫做有向线段,这三条与单位圆有关的

有向线段MP,OM,AT,分别叫做角α

的 、 、 ,统称为三角函数线.

5.特殊角的三角函数值

角α

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

角α 的弧度数

sinα

cosα

tanα

(二)三角函数的诱导公式 1.诱导公式的内容:

x

-α

π 2

±α

π ±α

3π ±α 2

2π ±α

sinx -sinα

函数 cosx cosα

tanx -tanα

不填

不填

2.诱导公式的规律:

三角函数的诱导公式可概括为:奇变偶不变,符号看象

限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指

? 2

的奇数

倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数

倍,则正、余弦互变,正、余切互变;若是偶数倍,则

函数名称________.“符号看象限”是把α 当成

________时,原三角函数式中的角

? 2

+α(π)

所在

________原三角函数值的符号.注意:把α 当成锐角是

指α 不一定是锐角,如sin(360°+120°)=sin120°,

sin(270°+120°)=-cos120°,此时把120°当成了

锐角来处理.“原三角函数”是指等号左边的函数.

3.sinα +cosα ,sinα cosα ,sinα -cosα 三者之 间的关系
(sinα +cosα )2=________________; (sinα -cosα )2=________________; (sinα +cosα )2+(sinα -cosα )2=_______________; (sinα +cosα )2-(sinα -cosα )2=_______________.

(三)三角函数图象和性质

1.“五点法”作图

(1)在确定正弦函数y=sinx在[0,2π ]上的图象形状时,

起关键作用的五个点是











(2)在确定余弦函数y=cosx在[0,2π ]上的图象形状时,

起关键作用的五个点是











2.周期函数的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定 义域内的每一个值时,都有________________,那么函 数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周 期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的 ________________.
3.三角函数的图象和性质

函数 y=sinx

性质

定义域

①________

y=cosx ②________

y=tanx ③_______

图象

值域 对称性

④________

⑤________

R

对称轴:⑥_____; 对称轴:⑧________;无对称轴;

对称中心:⑦__ 对称中心:⑨_____ 对称中心:⑩_______

最小正 周期

?__________

?__________

?_______

单调性

单调增区间; 单调减区间

单调增区间; 单调减区间

单调增区间

奇偶性 ______

______

______

(四)三角函数图象变换 1.用五点法画y=Asin(ω x+φ )在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ω x+φ )在一个周期内的简图时, 要找五个特征点,如下表所示.
x
ω x+φ
y=Asin(ω x+ 0 A 0 -A 0
φ)

2.图象变换(ω >0)
路径①:先向左(φ >0)或向右(φ <0)平移________个单位长度,得到函数 y=sin(x+φ )的 图象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin(ω x +φ )的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变),这时的曲 线就是 y=Asin(ω x+φ )的图象. 路径②:先将曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin ω x 的图象;然后把曲线向左(φ >0)或向右(φ <0)平移 个单位长度,得到函数 y= sin(ω x+φ )的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变),这 时的曲线就是 y=Asin(ω x+φ )的图象.

3.函数y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的物理意义 简谐运动的图象所对应的函数解析式y=Asin(ω x+φ ), x∈[0,+∞),其中A>0,ω >0.在物理中,描述简谐运 动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中 的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐 运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的 周期是T= ,这是做简谐运动的物体往复运动一次 所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=T(1)= 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的 次数;ω x+φ 称为相位;x=________时的相位φ 称为 初相.

【答案】

(一)三角函数的概念

1.(1)旋转 逆时针 顺时针 零角

(2)非负半轴

α |2kπ +π <α <2kπ +π ,k∈Z



2



α

|2kπ

+π



<2kπ



3 2π

,k∈Z

④ α |2kπ +32π <α <2kπ +2π ,k∈Z

或{α

|2kπ

-π 2



<2kπ

,k∈Z}

(3)坐标轴

②{α |α =2kπ +π ,k∈Z}



α



=2kπ

+π 2

,k∈Z

④ α |α =2kπ +32π ,k∈Z ⑤{α |α =kπ ,k∈Z}

α |α =kπ +π ,k∈Z

α |α =kπ ,k∈Z



2



2

(4){β |β =α +2kπ ,k∈Z}或{β |β =α +k·360°,k ∈Z}

180

2.(1)半径长

l r

(2)2π

π

π 180

π°

(3)|α |r 1|α |r2 1lr

2

2

3.(1)y x y rrx

(2)①R

②R

α ③



≠kπ

+π 2

,k∈Z

4.cosα

sinα

y x

tanα

正弦线 余弦线 正切线

角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度 0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

3π 2



sinα 0

1 2

2

31

22

3 21 2 22

0

-1 0

cosα 1

3 21 2 22

0

-1 2

- 2 - 3 -1 22

0

1

tanα 0

31 3

3无

- 3 -1

- 30 3

无0

(二)三角函数同角关系与诱导公式

1.(1)①sin2α +cos2α =1

②sinα cosα

=tanα

2.(1)略

(2)不变 锐角 象限

(3)锐角

3.1+2sinα cosα 1-2sinα cosα 2 4sinα cosα

(三)三角函数图象和性质

π ,1

3π ,-1

1.(1)(0,0) 2

(π ,0) 2

(2π ,0)

(2)(0,1)

π ,0 2

(π ,-1)

3 2π

,0

(2π ,1)

2.f(x+T)=f(x) 最小正周期

3.①R

②R



x|x≠kπ

+π 2

,k∈Z

④[-1,1]

⑤[-1,1]

⑥x=kπ

+π 2

(k∈Z)

⑦(kπ ,0)(k∈Z)

⑧x=kπ (k∈Z)





+π 2

,0

(k∈Z)

二、热点题型展示 类型一 角的概念与扇形的弧长与面积问题
例 1. 已知扇形的周长为 6cm ,面积是 2cm2 ,则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4

?2R+? ? R ? 6

【解析】设扇形的圆心角为?

,半径为 Rcm

,则

? ?

1

?? 2

R2

??

?

2

解得? =1或?=4 ,故选 C.

例 2. 已知角 2? 的终边在 x 轴的上方(不与 x 轴重合),求? 的终边所在的象限.
【解析】依题意有 2k?<2?<2k?+? ?k ?Z ? ,
∴ k?<?<k?+? ?k ? Z ? .
2
当 k=0时,0<?<? ,此时? 是第一象限角;
2
当 k=1时,?<?<3? ,此时? 是第三象限角.
2
综上,对任意 k ? Z ,? 为第一或第三象限角.
故? 的终边在第一或第三象限.

【名师点睛】
1.要注意锐角与第一象限角的区别,锐角的集合仅是第一象限 角的集合的一个真子集,即锐角是第一象限角,但第一象限角 不一定是锐角. 2.在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用.如α =2kπ +30°(k∈Z),β =k·360°+2(π)(k∈Z)的写法都是不 规范的. 3.扇形的弧长与面积问题.①直接用公式l=|α |R可求弧长, 利用S弓=S扇-S△可求弓形面积.②关于扇形的弧长公式和面积 公式有角度制与弧度制这两种形式,其中弧度制不仅形式易记, 而且好用,在使用时要注意把角度都换成弧度,使度量单位一 致.③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量,应切实掌 握好其公式并能熟练运用.

类型二 三角函数的定义与三角函数线
例 1.若角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 42m, 则 cos θ 的值为________.

【解析】 由题意知 r= 3+m2,

∴sin θ=

3+m m2=

2 4

m,

∵m≠0,∴m=± 5,∴r= 3+m2=2 2,

∴cos

- θ= 2

23=-4

6 .

【答案】

-6 4

例 2.已知角? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合. (1)若终边经过点 P(?1, 2) ,求 sin? cos? 的值;

(2)若角? 的终边在直线 y ? ?3x 上,求10sin ? ? 3 的值.
cos?
【解析】(1)由题知: x ? ?1, y ? 2 , r ? ??1?2 ? 22 ? 5

sin ? ? y ? 2 ? 2 5 , cos? ? x ? ?1 ? ? 5

r 55

r5 5

sin? cos? ? ? 2 .
5

(2)当角? 的终边在第二象限时,取终边上一点 ?-1,3? ,

则: x ? ?1, y ? 3 , r ? ??1?2 ? 32 ? 10

sin ? ? y ? 3 ? 3 10 , cos? ? x ? ?1 ? ? 10

r 10 10

r 10

10

所以10sin ? ? 3 ? 30 10 ? 30 10 ? 0

cos? 10

10

当角? 的终边在第四象限时,取终边上一点 ?1,- 3? ,

则: x ? 1, y ? -3 , r ? 12 ?(- 3)2 ? 10

sin? ? y ? - 3 ? - 3 10 , cos? ? x ? 1 ? 10

r 10 10

r 10 10

所以10sin? ? 3 ? - 30 10 ? 30 10 ? 0

cos? 10

10

综上10sin? ? 3 ? 0 10sin? ? 3 ? - 30 10 ? 30 10 ? 0 .

cos?

cos? 10

10

【名师点睛】
1.三角函数线是任意角的三角函数的几何表示,利用单位圆中的 三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小,并能从任 意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律.在求三角函数的 定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面,三角函数线具 有独特的简便性. 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴 上的情况. 2.牢记各象限三角函数值的符号,在计算或化简三角函数关系时, 要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论. 3.已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数 值,若含有参数,则要注意对可能情况进行分类讨论. 4.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线,常使问 题变的简单.

类型三 同角三角函数的基本关系及诱导公式

1.【2015福建高考】若 角,则 的值等于( )

,且

为第四象限

A.12 B.?12 C. 5D .?5

5

5 12 12

【答案】D
【解析s】in??? 5 ? y,因为?为第四象限的角,
13 r
x? 132 ?(?5)2 ?12,可得ta;n??? 5 .
12

例 1.若 1 ? 1 ? 3 ,则 sin? cos? ? ( ) sin? cos?

A. ? 1 3

B. 1 C. ? 1 或 1 D. 1 或-1

3

3

3

【解析】 1 ? 1 ? sin α ? cos α ? 3 , sin α ? cos α ? 3 sin α cos α ,两边平方得 sin α cos α sin α cos α

1? 2sin α cos α ? 3(sin α cos α)2 , (sin α cos α ?1)(3sin α cos α ?1) ? 0 ,

因为 sin α cos α ? 1 sin 2α ? 1 ,所以 sin α cos α ? ? 1 .故选 A.

2

2

3

例 2. 已知 tan? ? 3 ,计算:
(1) 4sin ? ? 2 cos? ; 5cos? ? 3sin ?
(2) sin? cos? ;
(3) (sin ? ? cos? )2
【解析】?tan? ? 3 , ?(1) 4sin? ? 2cos? ? 4 tan? ? 2 ? 4?3 ? 2 ? 5 ;
5cos? ? 3sin? 5 ? 3tan? 5 ? 3?3 7

(2) sin? cos?

?

sin? cos? sin2 ? ? cos2 ?

?

tan? ? 3 tan2 ? ?1 10



(3) (sin ?

?

cos? )2

?

sin2 ?

? cos2

?

?

2 s in ?

cos?

?

sin 2

?

? cos2 ? ? 2sin ? sin2 ? ? cos2 ?

cos?

?

tan 2

? ? 2 tan? tan2 ? ?1

?1

?

16 10

?

8 5



sin(5? ? ? ) cos(? ? ? ) cos(3? ? ? )



3.已知

f

(? )

?

cos(?

?

?

)

tan(3?

2
? ? )sin(? ?

3?

)



2

2

(I)化简 f (? ) ;

(Ⅱ)若 ?

是第三象限角,且 cos(3?

??) ?

3
,求

f (? )

的值.

2

5

【解析】

(I)

f

(? )

?

sin(5? ?? ) cos(? ?? ) cos(3? ?? )
2
cos(? ? ? ) tan(3? ?? )sin(? ? 3? )

?

sin? (? cos? )sin? (?sin? )(? tan? ) cos?

?

? cos?

2

2

(Ⅱ) cos(3? ?? ) ? ?sin? ? 3 ,所以sin ? ? ? 3 ,

2

5

5

又由? 是第三象限角,所以 cos? ? ? 4 ,故 f (? ) ? ? cos? ? 4 .

5

5

【名师点睛】
1.诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名 称是否要改变以及正负号的选取. 2.已知一个角的某一个三角函数值,求这个角的其他三角函数 值,这类问题用同角三角函数的基本关系式求解,一般分为三 种情况: (1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在 的位置都是已知的,此类情况只有一组解. (2)一个角的某一个三角函数值是已知的,但这个角所在的象限 或终边所在的位置没有给出,解答这类问题,首先要根据已知 的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后 分不同的情况求解. (3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,此类情况须对 字母进行讨论,并注意适当选取分类标准,一般有两组解.

3.计算、化简三角函数式常用技巧
(1)减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,
如涉及sinα ,cosα 的齐次分式问题,常采用分子分母 同除以cosnα (n∈N*),这样可以将被求式化为关于 tanα 的式子. ※(2)巧用“1”进行变形,如1=sin2α +cos2α = tanα cotα =tan45°=sec2α -tan2α 等. (3)平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选取.
(4)熟悉sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα cosα 三 者之间的内在联系,利用(sinα ±cosα )2= 1±2sinα cosα 进行和积转换,可知一求二.

真题再现
类型四 三角函数的图象与性质
(12.)((20201155·全课国标1全)国Ⅰ)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象 如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( ) A.????kπ-14,kπ+34????,k∈Z B.????2kπ-14,2kπ+34????,k∈Z C.????k-14,k+34????,k∈Z D.????2k-41,2k+34????,k∈Z

(2)由图象知,周期 T=2×????54-14????=2, ∴2ωπ=2,∴ω=π. 由 π×14+φ=π2+2kπ,k∈Z,不妨取 φ=π4,
∴f(x)=cos????πx+π4????. 由 2kπ<πx+4π<2kπ+π,k∈Z,得 2k-14<x<2k+34,k∈Z,
∴f(x)的单调递减区间为????2k-41,2k+34????,k∈Z.故选 D.

例 1.已知函数 f (x) ? sin(?x+?)(? ? 0,? ? ? ), x ? ? ? 为 f (x) 的零点,

2

4

x

?

?
4



y

?

f

(x)

图像的对称轴,且

f

(x)



? ??

?
18

,5?
36

? ??

单调,则?

的最大值

为( )

(A)11

(B)9

(C)7

(D)5

【解析】因为 x ? ? ? 为 f (x) 的零点, x ? ? 为 f (x) 图像的对称轴,

4

4

所以 ? ? (? ? ) ? T ? kT ,即 ? ? 4k ?1T ? 4k ?1? 2? ,所以

4 44

24

4?

?

?

4k

?1(k

?

N*)

,又因为

f

(x)



? ??

?
18

,

5?
36

? ??

单调,所以

5? ? ? ? ? ? T ? 2? ,即? ?12 ,由此? 的最大值为 9. 36 18 12 2 2?
故选 B.

【名师点睛】
1.求三角函数的定义域.①常常归结为解三角不等式(或 等式);②经常借助两个工具,即单位圆中的三角函数线 和三角函数的图象,有时也利用数轴;③对于较为复杂 的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式(组)分别 求解,然后利用数轴或三角函数线求交集. 2.求三角函数的值域(最值)时,代数中求值域(最值)的 方法均适用,注意三角函数的取值范围)、换元法(注意 换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等.对于形如 y=Asin(ω x+φ )+b(或y=Acos(ω x+φ )+b),可直 接求出ω x+φ 在区间的范围,然后根据单调性求解.

3. 求三角函数的周期.①通常应将函数式化为只有一个 函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形式,然后借 助于常见三角函数的周期来求解.②注意带绝对值的三 角函数的周期是否减半,可用图象法判定,y=|cosx| 的图象即是将y=cosx的图象在x轴下方部分翻折到x轴 的上方去. 4.判断三角函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关 于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于- f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该 函数必为非奇非偶函数.另外,对较复杂的解析式,可 选择先化简再判断,也可直接用-x取代x,再化简判断, 还可利用f(-x)±f(x)=0是否成立来判断其奇偶性.

5.三角函数的单调性. ①三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本 三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数形结合方 法求解. ②利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大 小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间 内,不属于的,可先化至同一单调区间内.若不是同名 三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如 与0比较,与1比较等)求解. ③若函数y=sin(ω x+φ )中ω <0,可用诱导公式将函 数变为y=-sin(-ω x-φ )的形式(目的是将x的系数变 为正),将“-ω x-φ ”视为一个整体,那么y=- sin(-ω x-φ )的增区间为y=sin(-ω x-φ )的减区间,

其减区间为y=sin(-ω x-φ )的增区间.对于函数 y=cos(ω x+φ ),y=tan(ω x+φ )(ω <0)等的单 调性的讨论同上.
6.三角函数的对称性.①解此类选择题最快捷的方式往 往是代入验证法;②对于函数f(x)=Asin(ω x+φ )+B, 如果求f(x)图象的对称轴,只需解方程sin(ω x+φ )= ±1,也就是令ω x+φ =2(π)+kπ (k∈Z)求x;如果求 f(x)图象的对称中心,只需解方程sin(ω x+φ )=0, 也就是令ω x+φ =kπ (k∈Z)求x;③对于较复杂的三 角函数表达式,有时可以通过恒等变换为②的情形.

类型五 三角函数图象的变换

例 1.函数 y=Asin(?x ??) 的部分图像如图所示,则( )

(A) y ? 2sin(2x ? ?)
6
(C) y ? 2sin(2x+ ?)
6

(B) y ? 2sin(2x ? ?)
3
(D) y ? 2sin(2x+ ?)
3

【解析】由图知, A ? 2 ,周期T ? 2[? ? (? ? )] ? ? ,
36

所以 ? ? 2? ? 2 ,所以 y ? 2sin(2x ??) ,因为图象过
?

点 (? , 2) ,所以 2 ? 2sin(2? ? ??) ,

3

3

所以 sin(2? ??) ? 1,所以 2? ?? ? 2k? ? ? (k ? Z) ,

3

3

2

令 k ? 0 得, ? ? ? ? ,所以 y ? 2sin(2x ? ? ) ,

6

6

故选 A.

例 2.某同 学用“五点 法”画函 数 f (x) ? Asin(?x ??) (? ? 0, |? |? π) 在某
2
一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ??

0

π 2

π



2



π



x

3

6

Asin(?x ? ?)

05

?5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填.写.在.答.题.卡.上.相.应.位.置., 并直接写出函数 f (x) 的解析式;
(Ⅱ)将 y ? f (x) 图象上所有点向左平行移动? (? ? 0) 个单位长 度,得到 y ? g(x) 的图象. 若 y ? g(x) 图象的一个对称中心为 (5π , 0) ,求? 的最小值.
12

【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? π . 6
数据补全如下表:

?x ??

0

π 2

π



2



x

π

π





13 π

12

3

12

6

12

Asin(?x ? ?)

0

5

0

?5

0

且函数表达式为 f (x) ? 5sin(2x ? π) . 6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x) ? 5sin(2x ? π) , 6
得 g(x) ? 5sin(2x ? 2? ? π) .因为 y ? sin x 的对称 6

中心为 (kπ, 0) , k ?Z .

令 2x ? 2? ? π ? kπ ,解得 x ? kπ ? π ?? , k ?Z .

6

2 12

由于函数 y ? g(x) 的图象关于点(5π , 0) 成中心对称, 12

令 kπ ? π ?? ? 5π ,解得? ? kπ ? π , k ?Z . 由? ? 0 可知,

2 12

12

23

当 k ?1 时, ? 取得最小值 π . 6

【名师点睛】
1.根据y=Asin(ω x+φ ),x∈R的图象求解析式的步骤: (1)首先确定振幅和周期,从而得到A与ω . (Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的 差的一半. (Ⅱ)ω 由周期得到:①函数图象在其对称轴处取得最大 值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的 半个周期;②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻 两个对称中心间的距离也是函数的半个周期;③一条对 称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的4(1)个 周期(借助图象很好理解记忆).

3.五点法作函数图象,当明确了函数图象基本特征后, “描点法”是作函数图象的快捷方式.“五点法”作图 的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换,不 易出错,且图形简洁.要注意根据ω x+φ 应满足的五 个值,解出 x 的值.

【名师点睛】
求形如y=Asin(ω x+φ )或y=Acos(ω x+φ )(其中 A≠0,ω >0)的函数的单调区间,可以通过解不等式 的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ω x+ φ (ω >0)”视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列 不等式的方向与y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R) 的单调区间对应的不等式方向相同(反).

四、强化训练提高

1.若将函数 y ? 2sin 2x 的图像向左平移 ? 个单位长度,
12
则平移后图象的对称轴为( )

(A) x ? k? ? ? (k ? Z)
26

(B) x ? k? ? ? (k ? Z)
26

(C) x ? k? ? ? (k ? Z)
2 12

(D) x ? k? ? ? (k ? Z)
2 12

【解析】由题意,将函数 y ? 2sin 2x 的图像向左

平移 ? 个单位得 y ? 2sin 2(x ? ? ) ? 2sin(2x ? ? ) ,则平

12

12

6

移后函数的对称轴为 2x ? ? ? ? ? k? , k ? Z ,
62

即 x ? ? ? k? , k ? Z ,故选 B.
62

2.将函数 y ? sin(2x ? ? ) 图象上的点 P(? ,t) 向左平移s ( s ? 0 )

3

4

个单位长度得到点 P' ,若 P' 位于函数 y ? sin 2x 的图象上,

则( )

A.t ? 1 , s 的最小值为 ? B.t ? 3 s 的最小值为?

2

6

2

6

C.t ? 1 s 的最小值为错误!未定义书签。 D.t ? 3 s 的最小值为 ?

2

2

3

【解析】由题意得,t ? sin(2? ? ? ? ) ? 1 ,故此时P' 所对应
43 2

的点为( ? , 1) ,此时向左平移? - ? ? ? 个单位,故选 A.

12 2

4 12 6

3.先将函数 y ? 2sin x 的图像纵坐标不变,横坐标压缩

为原来一半,再将得到的图像向左平移 ? 个单位,
12
4.则所得图像的对称轴可以为( )

A. x ? ? ?
12

B. x ? 11?
12

C. x ? ? ?
6

D. x ? ?
6

【解析】将函数 y ? 2sin x 的图像纵坐标不变,横坐标压缩为原

来一半得 y ? 2sin 2x ,再向左平移 ? 个单位得
12

y ? 2 sin 2(x ? ? ) ? 2 sin(2x ? ?) ,令 2x ? ? ? k? ? ? ,即 x ? k? ? ? (k ? Z ) ,

12

6

6

2

26

当 k ? 0 时, x ? ? ,故选 D.
6

4.已知函数 f (x) ? sin(?x ??)(? ? 0, ?? ? ? ? 0) 的最小正周期是

? ,将函数 f (x) 图象向左平移 ? 个单位长度后所得的函数
3
图象过点 P(0,1) ,则函数 f (x) ? sin(?x ??) ( )

(A)在区间[? ? , ? ] 上单调递减
63

(B)在区间[?

? 6

,

? 3

]

上单调递增

(C)在区间[?

? 3

,

? 6

]

上单调

递减

(D)在区间[?

? 3

,

? 6

]

上单调递增

【解析】依题 ? ? 2 , f (x) ? sin(2x ??) ,平移后得到的

函数是

y

?

sin(2x

?

?

?

2?
3

)

,其

图象过

(0,1),∴sin(?

?

2?
3

)=1



因为 ?? ? ? ? 0 ,∴

?

?

??
6



f

(x)

?

sin(2x

??)
6

,故选

B.

5.如果 cos? ? 0 ,且 tan? ? 0 ,则? 是(



A.第一象限的角

B.第二象限的角

C.第三象限的角

D.第四象限的角

【解析】由 cos? ? 0 ,且 tan? ? 0 可知 sin? ? 0 , 所以? 是第三象限的角.

6.如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足

函数 y ? 3sin(? x ??) ? k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:
6

m)的最大值为( )

A.5

B.6 C.8

D.10

【解析】由图象知: ymin ? 2 ,因为 ymin ? ?3 ? k , 所以 ?3? k ? 2,解得:k ? 5 ,所以这段时间水深 的最大值是 ymax ? 3 ? k ? 3 ? 5 ? 8 ,故选 C.

7.已知 sin? ? cos? ? 1,? ??0,? ? ,则 tan? ? ( )
5

A.? 4
3

B. ? 3
4

C. 4
3

D. 3
4

【解析】由题设(sin? ? cos? )2 ? 1 ,则2sin? cos? ? ? 24 ,故

25

25

(sin? ? cos? )2 ? 1? 24 ? 49 ,所以sin? ? cos? ? 7 ,

25 25

5

与 sin? ? cos? ? 1 联立解之可得sin? ? 4 ,cos? ? ? 3 ,

5

5

5

故 tan? ? ? 4 ,应选 A.
3

8.已知 sin(? ? ? ) ? 3 ,? 是第四象限的角,
5

则 cos(? ? 2? ) =(



A. 4

B.

5

C.? 4
5

D. 3
5

【解析】由题意,得

,即

又因为? 是第四象限的角,所以



;故选 A.

, ,

sin ? cos ?

9.角

?

的终

边在第一象限

,则

sin

2 ?

?

2 cos ?



2

2

取值集合为( )

A. ??2, 2?

B.?0, 2?

C.?2?

D. ?0, ?2, 2?

【解析】因为角? 的终边在第一象限,所以角? 的终边
2

sin ?

cos ?

在第一象限或第三象限,所以
|

sin

2 ?

|



|

2 cos ?

|

?

?2

,故选

A.

2

2

10.已知函数 f ?x? ? sin??x ????? ? 0? 的图象关于直线 x ? ? 对称
32



f

? ??

?

? 32

? ??

?

0

,如果存在实数

x0

,使得对任意的

x

都有

f

? x0 ?

?

f

?x? ?

f

? ??

x0

?? 8

? ??

,则 ?

的最小值是(



A.4

B.6

C.8

D.12

【解析】由题设可知 ? ? ? ? ? ? ? 2k? , 3? ? ? ? ? ? 2m? , k, m ? Z ,或

2

2

8

4

? ? ? ? ? 3? ? 2k? , 3? ? ? ? 3? ? 2m? , k, m ? Z ,由此可得? ? ? ? 或

2

2

8

4

84

? ? ? 3? ,
84

解之得? ? 2 或? ? 6 ,故应选 B.

11.已知函数 f ?x? ? 2 sin??x ????? ? 0? 的图像关于直线 x ? ? 对称
2



f

? ??

3? 8

? ??

? 1,

f

?

x?

在区间

????

3? 8

,?

? 4

? ??

上单 调,则 ?

可取数值的个数

为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】由题设可知 ? ? ? ? ? ? ? 2k? , 3? ? ? ? ? ? 2m? , k, m ? Z ,或

2

2

8

4

? ? ? ? ? 3? ? 2k? , 3? ? ? ? 3? ? 2m? , k, m ? Z ,由此可得? ? ? ? 或

2

2

8

4

84

? ? ? 3? ,
84

解之得? ? 2 或? ? 6 ,故应选 B.

12.为了得到函数 y ? 4sin(2x ? ? ) , x ? R 的图象,只需
5
把函数 y ? 4sin(x ? ? ) , x ? R 的图象上所有点的( )
5
A.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变
B.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变
C.横坐标缩短到原来的 1 倍,纵坐标不变
2
D.纵坐标缩短到原来的 1 倍,横坐标不变
2

【解析】函数 y ? 4sin(x ? ? ) , x ? R 的图象横坐标缩短到
5

原来的 1 倍,纵坐标不变得到函数 y ? 4sin(2x ? ? ) ,

2

5

x? R的图象,选 C.

13.已知函数 y ? cos(?x ??)(? ? 0,|? |? ? ) 的部分图象如图所示,则 ()

A.? ? 1,? ? 2?
3

B. ? ? 1,? ? ? 2?
3

C.? ? 2,? ? 2?
3

D.? ? 2,? ? ? 2?
3

【解析】由图象得 T ? 7? ? ? ? ? ,T ? ? ? 2? ,? ? 2 ,所以由

4 12 3 4

?

cos(2? ? ??) ?1, 得? ? ? 2? ,故选 D.

3

3

14.若

cos

? ??

?
2

?

?

? ??

?

?

1 3

,则

cos ??

?

2?

?

?





A.? 4 2
9

B.? 7
9

C. 7
9

D. 4 2
9

【解析】由

cos

? ??

?
2

??

? ??

?

?

1 3

得 sin ?

?

?

1 3

,则

cos?? ? 2? ? ? ? cos2? ? 2sin2 ? ?1 ? ? 7 ,故选 B.
9

15.已知函数

f

?

x?

?

2 sin

??x

? ? ?????

?

0, ?

? 2

?

?

?

? 2

? ??

的部分图象如图

所示,则把函数 f ?x? 的图像向左平移 ? 后得到的函数图象
6
的解析式是( )

A. y ? 2sin 2x

C.

y

?

2

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

B.

y

?

2

sin

? ??

2

x

?

? 3

? ??

D.

y

?

2

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

【解析】由图可知, 3 T ? 5? ? ? ? 3? ,T ? ? ,? ? 2 ,
4 12 3 4

所以

f

?x?

? 2sin?2x ???



f

? ??

5?
12

? ??

?

2

sin

? ??

5?
6

?

?

? ??

?

2,?

?

??
3



所以 f ? x? ? 2sin(2x ? ? ) ,向左移 ? 后得到 f ?x? ? 2sin 2x .

3

6

16.将函数 f (x) ? sin(?x ??) (? ? 0 , ? ? ? ? ? ? )图象上所

2

2

有点的横坐标缩短为原来的一半,再向右平移 ? 个
6
单位长度得到函数 y ? sin x 的图象,则? ,? 的值 分别为( )

A. 1 , ?
26

B. 2,?
3

C.2, ?
6

D. 1 ,??
26

【解析】将函数 y ? sin x 的图象向左平移平移? 个单位长度
6

得到函数

y

?

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

的图象,再将

y

?

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

的图象图象





有点的横坐标扩大为原来的二倍得到

y

?

sin

? ??

1 2

x

?

? 6

? ??

的图象亦

即是函数 f (x) ? sin(?x ??) ( ? ? 0 ,? ? ? ? ? ? )的图象,所以

2

2

? ,? 的值分别为 1 , ? ,故选 A.
26

17.函数 f (x) ? 2sin(?x ??) (? ? 0 ,| ? |? ? )的图象如图所示,
2
则? ? ____,? ? ____.

【解析】由题意得,T ? ? ? 2? ? ? ? 2 ,又∵
?

f (0) ? 2sin? ? 1 ? sin? ? 1 ,
2

∴? ? ? ,故填: 2 , ? .

6

6

18.定义 在区 间 [0,3? ] 上的 函数 y ? sin 2x 的图 象与 y ? cos x 的图 象



交点个数是

.

【解析】由 sin 2x ? cos x ? cos x ? 0或sin x ? 1 ,因为 x?[0,3? ] ,
2
所以 x ? ? , 3? , 5? ,? , 5? ,13? ,17? , 共 7 个
22 266 6 6

19.函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 在 R 上的部分图象 如图所示,则 f (2014) 的值为___________.

【解析】由函数的图象可得 A ? 5 ,周期 T ? 2? ? 11- (?1) ? 12 ,所
?

以? ? ? .再由五点法作图可得 ? (?1) ? ? ? 0 ,所以? ? ? ,故函

6

6

6

数 f (x) ? 5sin(? x ? ? ) .故
66

f (2014) ? 5sin( 2014? ? ? ) ? 5sin 2015? ? 5sin(? ? ) ? 5 .

66

6

62

20.已知

A

是角

?

终边上一点,且

A

点的坐标为

? ??

3 5

,

4 5

? ??





1





2sin ? cos? ? cos2 ?

【解析】由题意cos? ? 3 ,sin? ? 4 ,因此

5

5

1

?

1

? 25 .

2sin? cos? ? cos2 ? 2? 4 ? 3 ? (3)2 33

55 5


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