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2014-2015年高考总复习一轮:第3讲 逻辑联结词与四种命题 充要条件


名师作业· 练全能 第三讲 逻辑联结词与四种命题 充要条件

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.(2010· 天津)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数”. 答案:B 2.(2011· 大庆模拟)若命题 p:x∈M∪N,则綈 p 是( A.x?M?N C.x?M 且 x?N B.x?M 或 x?N D.x∈M∩N ) )

解析:x∈M∪N,即 x∈M 或 x∈N, ∴綈 p:x?M 且 x?N. 答案:C 3.(2011· 北京东城区模拟)已知命题 p,q,若 p 且 q 为真命题,则必有( A.p 真 q 真 C.p 真 q 假 答案:A a b 4.(2011· 东城区)设命题 p:x>2 是 x2>4 的充要条件,命题 q:若 2> 2,则 a>b.则( c c A.“p 或 q”为真 C.p 真 q 假 B.“p 且 q”为真 D.p,q 均为假命题 ) B.p 假 q 假 D.p 假 q 真 )

a b 解析:依题意,由 x>2?x2>4,而 x2>4D?/x>2,所以命题 p 是假命题,又由 2> 2,两 c c 边同时乘以 c2 得 a>b,所以命题 q 正确,所以选择 A. 答案:A 5.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的否命题; ②“若 a>b,则 a2>b2”的逆否命题;

③“若 x≤-3,则 x2-x-6>0”的否命题; ④“对顶角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:①“若 x+y≠0,则 x、y 不是相反数”是真命题;②“若 a2≤b2,则 a≤b”, 取 a=0,b=-1,则 a2≤b2,但 a>b,故是假命题;③“若 x>-3,则 x2-x-6≤0”, 解不等式 x2-x-6≤0 可得-2≤x≤3, x=4>-3, 而 不是不等式的解, 故是假命题; ④“相 等的角是对顶角”是假命题. 答案:B 点评: 本题的解法中运用了举反例的方法, 举出一个反例说明一个命题不正确是该类问 题中经常用到的方法. 6.(2011· 惠州模拟)如果命题“綈(p 或 q)”是真命题,则正确的是( A.p、q 均为真命题 B.p、q 中至少有一个为真命题 C.p、q 均为假命题 D.p、q 中至多有一个为真命题 解析:∵“綈(p 或 q)”是真命题,∴“p 或 q”为假命题,则 p 和 q 都是假命题. 答案:C 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 1 7.(2011· 宜昌一中月考)已知:A={x∈R| <2x<8},B={x|-1<x<m+1},若 x∈B 成立 2 的一个充分不必要条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________. 解析:A={x|-1<x<3},由题意 x∈A?x∈B 但 x∈BD/?x∈A, ∴(-1,3)?(-1,m+1),∴m>2. 答案:m>2 8.已知 P(x):ax2+3x+2>0,若对任意 x∈R,P(x)是真命题,则实数 a 的取值范围是 __________. 解析:对任意 x∈R,P(x)是真命题,就是不等式 ax2+3x+2>0 对一切 x∈R 恒成立. (1)若 a=0,不等式仅为 3x+2>0 不能恒成立.
?a>0 ? 9 (2)若? 解得 a> . 8 ? ?Δ=9-8a<0

)

(3)若 a<0,不等式显然不能恒成立. 9 综上所述,实数 a> . 8

9 答案:a> 8 2x 9.(2011· 厦门市适应性练习)已知 p: <1,q:(x+1)(x-m)(x-3)>0.若 p 是 q 的充分 x-1 不必要条件,则实数 m 的取值范围是__________. 解析:p:-1<x<1,当 m>3 时,q:-1<x<3 或 x>m.符合题意;当 m=3 时,q:x>-1 且 x≠3.符合题意;当-1<m<3 时,q:-1<x<m 或 x>3,若 p?q,则 m≥1,当 m≤-1 时, 不符合题意.综上分析 m 的取值范围是 m≥1. 答案:m≥1 10.设 P:关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x<0},Q:函数 y=lg(ax2-x+a)的定义 域为 R,如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,则 a 的取值范围为________.
?a>0 ? 解析:若 P 真则 0<a<1,若 P 假则 a≥1 或 a≤0,若 Q 真,由? 得 a> 2 ? ?Δ=1-4a <0

1 1 .若 Q 假则 a≤ . 2 2 1 又 P 和 Q 有且仅有一个正确,当 P 真 Q 假时,0<a≤ ;当 P 假 Q 真时,a≥1. 2 1 综上,得 a∈?0,2?∪[1,+∞). ? ? 1 答案:?0,2?∪[1,+∞) ? ?

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) x-1? 11.已知:p:?1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若綈 p 是綈 q 的充分而不 3 ? ? 必要条件,求实数 m 的取值范围. x-1? 解析:解法一:由?1- ≤2,得-2≤x≤10. 3 ? ? ∴綈 p:x<-2 或 x>10, 由 x2-2x+1-m2≤0, 得 1-m≤x≤1+m(m>0). ∴綈 q:x>1+m 或 x<1-m,(m>0), ∵綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,

?m>0 ? ∴A?B 结合数轴有?1+m≤10 ?1-m≥-2 ?

解得 0<m≤3.

解法二:綈 p 是綈 q 的充分不必要条件即为:q 是 p 的充分不必要条件.由解法一得 q:1-m≤x≤1+m,p:-2<x<10.

?m>0 ? 由条件可得:?1+m≤10 ?1-m≥-2 ?

∴0<m≤3.

点评:一般来说,条件、结论为否定式的命题,都运用等价法判断. 12.求证方程 x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于 3 的必要条件是|a|> 3,这个 条件是其充分条件吗?为什么? 解析:∵方程 x2+ax+1=0(a∈R)有两实根,则 Δ=a2-4≥0 ∴a≤-2 或 a≥2 设方程 x2+ax+1=0 的两实根分别为 x1、x2
? ?x1+x2=-a 则? ?x1x2=1 ?

x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2>3 ∴|a|> 5> 3 ∴方程 x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于 3 的必要条件是|a|> 3;但 a=2 时 x12+x22=2≤3 因此这个条件不是其充分条件. 3 3 13.已知集合 A={y|y=x2- x+1,x∈[ ,2]},B={x|x+m2≥1};命题 p:x∈A,命 2 4 题 q:x∈B,并且命题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 3 解析:化简集合 A,由 y=x2- x+1, 2 3 7 配方得 y=?x-4?2+ . ? ? 16 3 7 ∵x∈[ ,2],∴ymin= ,ymax=2. 4 16 7 7 ∴y∈[ ,2].∴A={y| ≤y≤2}. 16 16 化简集合 B,由 x+m2≥1,∴x≥1-m2, B={x|x≥1-m2}. ∵命题 p 是命题 q 的充分条件,∴A?B. 7 3 3 ∴1-m2≤ ,解之,得 m≥ 或 m≤- . 16 4 4 3 3 ∴实数 m 的取值范围是(-∞,- ]或[ ,+∞). 4 4


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