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正弦函数余弦函数的图像与性质_图文

《正弦函数、余弦函数的图象 与性质》 说课

安丘市青云学府高一数学组曹晓丽

教材分析

学情分析
正弦函数、 余弦函数的 图象与性质

目标分析
教法分析 过程分析 评价反思

教材分析 学情分析

教材的地位和作用
三角函数是基本初等函数之一,它是中学数 学的重要内容,也是学习高等数学的基础。教材 中利用正弦线引出正弦曲线,由图像间的平移得 出余弦函数图像,并总结出五点作图法。利用正 余弦函数的图像来讲解函数的性质,也为后面正、 余弦形函数的图像变换做了铺垫。本节知识点需 要两个课时。

目标分析

原有知识 教法分析
过程分析
评价反思
承 三角函 上 数的定义 及三角函 数线

本节内容
正余弦函 数的图像 与性质

后续学习
启 下

三角函数 的图像之 间的变化

教材分析

学情分析

目标分析

教法分析

过程分析

评价反思

(二)《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的主要结构

正弦线
正弦函数的图象
平移变换

余弦函数的图象 余弦函数的性质

正弦函数的性质

“五点法”作 图 周期性 性质的应用

定义域

值域

奇偶性

单调性

教材分析

学情分析

目标分析

教法分析

过程分析

评价反思

(三)教学重点与难点
重点:正弦函数、余弦函数的图象形状及其性 质。 突出重点的方法: 难点:1.利用正弦线画出函数y=sinx x∈[0,2π] 1.让学生充分的参与 的图象 2.采用类比,突出两种曲线的相同与不同之处。 2.利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线 3.多层次练习,通过循环反复、螺旋递进的方式进行
如何突破难点: 练习,使学生在练习中体会正弦曲线、余弦曲线的形 1.充分复习正弦线、函数图象的变换等知识 状,从而完成对教学重点的突出。 2.认真梳理好讲解的顺序 3.利用多媒体、实物教具等手段

教材分析

◆认知基础
学情分析
学生已经学习了几何中的圆 的性质、相似形的有关知识,在数学 一中建立函数的概念,初步掌握了 图像间的平移变换,以及指数函数、 对数函数的研究方法,初步具备了抽 象思维能力及数形结合的方法。 在本章中,学生还学习了三 角函数的概念,以及三角函数线的相 关知识,为本节的学习打下了认知基 础。

目标分析
教法分析

过程分析
评价反思

教材分析 学情分析

(一)知识方面 1.了解如何利用正弦线画出正弦函 数的图象,并在此基础上由诱导 公式画出余弦函数的图象。 2.会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数的简图。
3.会用“五点法”画与正弦函数、余 弦函数有关的某些简单函数在长度为 一个周期的闭区间上的简图。 4.熟悉正弦函数、余弦函数的图象, 归结出函数的性质。

目标分析
教法分析 过程分析 评价反思

教材分析

学情分析 目标分析

(二)能力方面 1.培养学生应用分析、探索、化归、 类比、数形结合等数学思想方法 在解决问题中的应用能力

2.培养学生自主探索和合作学习的 能力。 教法分析 (三)情感方面

过程分析
评价反思

创设和谐融洽的教学氛围和阶梯 形问题,使学生在学习活动中获得 成功感,从而培养学生热爱数学、 积极学习数学、应用数学的热情。

教材分析

教法设计
◆开放式的课堂形式组织教学

◆由浅入深的活动 学情分析 ◆教师组织学生活动,引导学生思 考并真正参与到学生的讨论之中 目标分析

◆“教师为主导,学生为主体,探 教法分析 索为主线,思维为核心”的教学 思想 学法设计 过程分析 ◆观察、猜想、自主探索、合作交流
◆及时反思与总结 评价反思

教材分析

学情分析

目标分析

教法分析

过程分析

评价反思

过程分析
(一)情景设置——揭示课题 展示学习目标
1、复习弧度制与函数相关知识 2、实物演示: “装满细沙的漏斗在做单摆运动时,沙子落在与单摆运 动方向垂直运动的木板上的轨迹”
思考: 该曲线就是正弦函数的图象,我们把它叫 作正弦曲线,那么你有办法画出该曲线的 图象吗?

教材分析

学情分析

目标分析

教法分析

过程分析

评价反思

? ?

?

?

学习目标: 1、能正确的运用单位圆中的三角函数线 画出正弦函数的图像,会用五点法作正弦 形函数的图像; 2、利用正弦函数的图像理解函数的性质, 培养数形结合的能力; 3、能利用平移的方法得出余弦函数的图 像,并会用五点法画余弦函数的图像,研 究余弦函数的性质。

教材分析

学情分析

目标分析

教法分析

过程分析

评价反思

(二)探索研究——函数y=sinx x∈[0,2π]的图象。 1.代数描点法(让学生自己动手)
提问:作函数图象的步骤是什么? 答:列表、描点、连线 由于表中部分值只能取近似值,再加上描点时的误差,所 以画出的图象误差大。这种画法叫代数描点法。

2.几何描点法
复习正弦线、余弦线 的概念
O

y A

B

x

教材分析

学情分析

目标分析

教法分析

过程分析

评价反思

Y B A O -1 1 (B) π π 2 3π 2 2π X

教材分析

学情分析

目标分析

教法分析

过程分析

评价反思

五点法
几何描点法作图精确,但过程比较繁,引出五点法
请同学们观察下图。
B A O -1 Y 1 (B) π π 2 3π 2 2π X

问:我们在作正弦函数y=sinx x∈[0,2 π]的图象时,描出了12个点, 但其中起关键作用的点是哪些?分别说出它们的坐标。 “五点法”作图(教师板书,学生模仿) 投影展示几种错误的作法

y
1-

(五点作图法)

-1

o
-1 -

?
6

?
3

?
?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2
3? 2

5? 3

11? 6

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)

2

π

2π 图象的最低点 ( 3? ,?1)
2

2?

图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点 (0,0) (? ,0) (2? ,0)
x

?

-

y

1

?
-1

?

3? 2 2?

3?

4?
正弦曲线

x

2
y

将函数y ? sinx ,x ? [0,2? )的图象向左,右平移
?

(每次2?个单位长度),就得到y ? sinx ,x ? Ry=sinx . 的图象 ? ? 3? 2? 5? 3? 7? x ? 2? 3? ? ? ? ?
2 2 2 2 2 2

正弦函数的性质
正弦曲线:y ? sin x
?
?? ?

x?R
?
? ?

y
1

?

?? ?

?? ? ? ?

?? ?

??? ? ?? ??? ?

??? ? ?? ?? ?

?

-1

?? ?? ?

??

?? ?? ?

?? x

对称性: 对称轴: x ? 奇偶性:

?
2

? k? , k ? Z

对称中心: (k? ,0) k ? Z

奇函数

周期性: 正弦函数是周期函数, k? (k ? Z , 且k ? 0) 都是它的周期, 2 最小正周期是 2? 。

正弦函数的奇偶性、单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
sinx

?

?
2



0 0



? 2



? 0



3? 2

-1

1

-1

y=sinx (x?R)
π ? ?? ? ? 增区间为 [[ +2k?, +2k?],k?Z , ] 2 2 2 2 3? ? ? 3? 减区间为 [[ +2k?, +2k?],k?Z , ] 2 2 2

其值从-1增至1 其值从 1减至-1

怎样作余弦函数y ? cos x,x ? R的图象?
想一想?

余弦曲线 y ? cos x ? sin( x ? ) y 2 ? 向左平移 ? 2 y ? sin x ??? ? y ? sin( x ? ) ? 25? ? ? 3? x
? 2? 3? ? ? ? ? 2 2

?

?

2?

2

2

3? 7? 2 2

1
O

?
2

?

-1

3? 2

2?

余弦函数的性质
y 余弦曲线: ? cos x
?
?? ??? ?? ? ? ?

x?R
??
?
? ?

y
1

???
?

?
? ?

??
?? ?? ?? ? ? ?? ?

?? ??? ?? ? ? ?

-1

?? ?? ?

??

x

对称性: 对称轴: x ? k? , k ? Z 奇偶性: 偶函数 对称中心:(

?
2

? k? , 0) k ? Z

周期性: 余弦函数是周期函数, k? (k ? Z , 且k ? 0) 都是它的周期, 2 最小正周期是 2? 。

余弦函数的奇偶性、单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
cosx

-? -1



?

?
2



0
1



? 2



?
-1

0

0

y=cosx (x?R) 增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z 减区间为 [2k?, 2k? + ?], k?Z , 其值从-1增至1 其值从 1减至-1

例题讲解
例1.求下列函数的周期。

(1)y ? 3cos x, x ? R; (2)y ? sin 2 x, x ? R; 1 ? (3)y ? 2sin( x ? ), x ? R. 2 6

y ? A sin(? x ? ? ) 的周期是 2? 函数 ? y ? A cos(? x ? ? ) 的周期是 2? 函数 ?
1 ? 例2.判断函数 f ( x) ? sin( x ? ) 的奇偶性。 2 2

随堂练习,及时巩固矫正
⑴题组一: 设计目的:为了及时巩固,根据学生认 课后P43练习第1、2、3题; 知规律,设计成两组有梯度的课堂 ⑵题组二: 练习题,并针对学生的解答, 课后P43练习第4题。
正确地进行评价,出现

问题及时矫正。

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课后拓展
设计目的:为了关注学生的个体差异,我设置 (1) y=1-sinx x∈[0,2π] 必做题和提高题,使每一个学生都有成功的体 (2) y=3cosx x∈[0,2π] 验,得到相应的提高与发展。 (3) y= sinx x∈[0,2π]
2.(选做题)求出下列函数取得最大值、最小值的 自变量的集合,并分别写出最大值、最小值是什 么? (1) y= - 5sinx (2) y=1- cosx x∈R x∈R
返回

1.(必做题)画出下列函数的简图。

板 书 设 计 多媒体 屏幕

评价反思
①学生的课堂作图作品不理想,有必要老师自己黑板画一 副,跟学生一起做图,巩固五点作图法;

设计目的:我通过反思在教学活动中的事
件,理性检查与总结,进一步提高教学效 自己做一下。
③为提高师生互动时,调节好少部分学生反映过于活跃。 果和教学水平,推动新课程改革。

② 用几何描点法画函数图象,应该以课前预习的方式学生先

④学生难于适应由生动、具体、形象向抽象概括的思维转变, 例如:由一个周期上的图像向整个定义域上作图。

祝: 最后我用美国著名教育家
布鲁纳的一句话结束我今天的 老师们工作顺利!
说课:“探索是数学教学的生 命线”.

身体健康!


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