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2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)


2.1.1 指数与指数幂的运算
学习目标
1、理解n次方根和根式的概念(重点); 2、理解分数指数幂的概念; 2、掌握分数指数幂和根式之间的互化(难点)

复习回顾
1.平方根 若x2=a, 则 x 叫做 a 的平方根(a≥0 ) 2.立方根 若x3=a, 则 x 叫做 a 的立方根
平方根 立方根

-9 -4 0 4 9




0 ±2 ±3

0 ? 0
2

(?2) ? 4
2

( ? 3) ? 9
2

-8 -1 0 8 27

-2

(?2) ? ?8
3

-1 0 2 3

( ? 1) ? ? 1
3

0 ? 0
3

2 ?8
3

3 ? 27
3

思考: ①已知(-2)5= -32,如何描述-2与-32的关系?
②已知(±2)4=16,如何描述±2与16的关系?

新课讲解
1、n次方根、根式的概念
若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N* 思考 :类比平方根、立方根,猜想:当n为奇数时,

一个数的n次方根有多少个?当n为偶数时呢? n ①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 a 表示 ②当n为偶数时, 若a>0,则a的n次方根有2个, 用 ? n a ( a ? 0 ) 表 示
若a=0,则0的n次方根有1个,是0 若a<0,则a的n次方根不存在

新课讲解
1、n次方根、根式的概念
若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*
x?
n

a;

(当n是奇数)

x 即: ? a
n

x ? ?

n

a . (当n是偶数,且a>0)

式子 n a 叫做根式, n 叫做根指数, a 叫做被开方数
根指数

n

a

根式

被开 方数

例题分析
例1: 计算下列各式的值
①?

? ② ? 9? ? ③ ? 16 ? ? ④ ? ?1 ? ? ⑤ ? ?8 ? ?
2

4

?

4 9 16 -1 -8

; ;



2

2

?
2

2
?

;

2

② ③
④ ⑤
3

(?2)
3 3

-2

; ;
; ;

4

4

;
;

3 ?
3

3
-3 -1

3

3

( ? 3) ?
( ? 1)
4

3

3

;

4

?

思考:



?

n

a

?

n

? a 一定成立吗?

② n a n ? a 一定成立吗?

例题分析 新知识点:
公式1:
①? ②?
4

( a) ? a
2

n

n

?

?
2

4 9 16 -1 -8

; ;



2

2

?
2

2
?

;

? ③ ? 16 ? ④ ? ?1 ? ⑤ ? ?8 ?
16
4 3 3

? ? ? ?

② ③
④ ⑤
3

(?2)
3 3

-2

; ;
; ;

4

;
;

3 ?
3

3
-3 -1

3

( ? 3) ?
( ? 1)
4

3

;

4

?

当n为奇数时, n a n ? a 公式2: 当n为偶数时, n a n ? | a | ? ? a , a ? 0 ? ?? a , a ? 0

例题分析
例2 求下列各式的值
(1) (3)
3

(? 8)

3

(2)
4

(? 10)

2

4

(3 ? ? )
3

(4)
(2)

(a ? b )
(? 10)
2

2

解:(1 )
(3) (4)

(? 8) ? ? 8
3

? | ? 1 0 |? 1 0

4

(3 ? ? ) (a ? b )

4

? | 3 ? ? |? ? ? 3 ? | a ? b |? a ? b (a ? b )

2

5?2

6 ? ?

尝试练习
1、 a ? 2 a ? 1 ? a ? 1, 求 a的 取 值 范 围
2

a ? 2a ? 1 ?
2

( a ? 1)

2

? | a ? 1 |? a ? 1

? a ? 1 ? 0即 a ? 1
2、 计 算 ( a ? 1) ?
2

(1 ? a ) ?
2

3

(1 ? a )

3

? ( a ? 1) ? | 1 ? a | ? (1 ? a ) ? ( a ? 1) ? (1 ? a ) ? (1 ? a )

? a ?1

新课讲解
2、分数指数幂
思考:根式的被开方数不能被根指数整除时,根式
是否也可以写成分数指数幂的形式?
10 5 8
5

a

10

?

5

(a ) ? a (a )
4 2

2

5

2

? a ? a ? a

a ?
8
4

? a ? a

4

2 12

a

12

?

4

(a )

3

4

3

4

新课讲解
2、分数指数幂
规定正数的分数指数幂的意义为:
m

a

n

?

n

a (a ? 0, m , n ? N )
m *

(1)正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意 m 1 义相同.即: ? n *
a ?
m

(a ? 0, m , n ? N )

a

n

(2)规定:0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义. (3)运算性质仍然适用

例题分析
例3 根式与分数指数幂的互化
1
3

a
3

2

?
?
a

a
4 3
6

a
a

4

?

?

2 3

1

4

a
5 6

3

a
a

?
?

3

a
3 2

2

a

4

5

? a

3

a

a

3

a ??

课堂小 结1、两个定义: n次方根,根式
2、两个公式: ① ( n a )n ? a ② 当n为奇数时,
n

a

n

?a

当n为偶数时, n a n ? | a | ? ? a , a ? 0 ? ?? a , a ? 0

3、根式和分数指数幂的互化
m

a

n

?

n

a (a ? 0, m , n ? N )
m *


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