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【新】2019高中数学第三章函数的应用.几类不同增长的函数模型学业分层测评必修

3.2.1 几类不同增长的函数模型
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.y1=2 ,y2=x ,y3=log2x,当 2<x<4 时,有( A.y1>y2>y3 C.y1>y3>y2 B.y2>y1>y3 D.y2>y3>y1
x
2

)

【解析】 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内, 从上到下图象依次对应的函数为 y2=x ,y1=2 ,y3=log2x,故 y2>y1>y3. 【答案】 B 2.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则沙漠增加数 y 公顷关于年数 x 的函数关系较为近似 的是( ) 1 2 B.y= (x +2x) 10 D.y=0.2+log16x
2

x

A.y=0.2x 2 C.y= 10
x

【解析】 用排除法,当 x=1 时,排除 B 项;当 x=2 时,排除 D 项;当 x=3 时,排 除 A 项. 【答案】 C 3.高为 H,满缸水量为 V0 的鱼缸的轴截面如图 3?2?4 所示,其底部碰了一个小洞,满 缸水从洞中流出,若鱼缸水深为 h 时水的体积为 V,则函数 V=f(h)的大致图象是( )

图 3?2?4

【解析】 当 h=H 时,体积是 V,故排除 A,C.h 由 0 到 H 变化的过程中,V 的变化开 始时增长速度越来越快,类似于指数型函数的图象,后来增长速度越来越慢,类似于对数型 函数的图象,综合分析可知选 B. 【答案】 B 4.函数 y=2 -x 的图象大致是(
x
2

)

1

【解析】 分别画出 y=2 ,y=x 的图象,如图所示,由图象可知,有 3 个交点,∴函 数 y=2 -x 的图象与 x 轴有 3 个交点,故排除 B,C;当 x<-1 时,y<0,故排除 D,故选 A.
x
2

x

2

【答案】 A 5.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年,则函数 y=f(x)的图象大致为( )

【解析】

设该林区的森林原有蓄积量为 a,由题意可得 ax=a(1+0.104) ,故 y=

y

log1.104x(x≥1),所以函数 y=f(x)的图象大致为 D 中图象,故选 D. 【答案】 D 二、填空题 6.函数 y=x 与函数 y=xln x 在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________ .
2

2

【解析】 当 x 变大时,x 比 ln x 增长要快, ∴x 要比 xln x 增长的要快. 【答案】 y=x
2 2

7. 在不考虑空气阻力的情况下, 火箭的最大速度 v 米/秒和燃料的质量 M 千克、 火箭(除 燃料外)的质量 m 千克的函数关系式是 v=2 000ln?1+ ?.当燃料质量是火箭质量的________ 倍时,火箭的最大速度可达 12 千米/秒. 【解析】 当 v=12 000 时,2 000×ln?1+ ?=12 000, ∴ln?1+ ?=6,∴ =e -1.
6

? ?

M? m?

? ?

M? m?

? ?

M? m?

M m

【答案】 e -1 8.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图 象如图 3?2?5 所示.现给出下列说法:

6

图 3?2?5 ①前 5min 温度增加的速度越来越快;②前 5min 温度增加的速度越来越慢;③5min 以 后温度保持匀速增加;④5min 以后温度保持不变. 其中正确的说法是________.(填序号) 【解析】 因为温度 y 关于时间 t 的图象是先凸后平,即 5min 前每当 t 增加一个单位 增量,则 y 相应的增量越来越小,而 5min 后是 y 关于 t 的增量保持为 0,则②④正确. 【答案】 ②④ 三、解答题 9. 某人对东北一种松树的生长进行了研究, 收集了其高度 h(米)与生长时间 t(年)的相 关数据, 选择 h=mt+b 与 h=loga(t+1)来刻画 h 与 t 的关系, 你认为哪个符合?并预测第 8 年的松树高度.

t(年) h(米)

1 0.6

2 1

3 1.3

4 1.5

5 1.6

6 1.7

【解】 据表中数据作出散点图如图:

由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.
3

将(2,1)代入到 h=loga(t+1)中,得 1=loga3,解得 a=3.即 h=log3(t+1). 当 t=8 时,h=log3(8+1)=2, 故可预测第 8 年松树的高度为 2 米. 10.有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲中心每小时 5 元;乙中心按月计算,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)90 元,超过 30 小时的部分每小 时 2 元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于 15 小时, 也不超过 40 小时. (1)设在甲中心健身活动 x(15≤x≤40)小时的收费为 f(x)元, 在乙中心健身活动 x 小时 的收费为 g(x)元,试求 f(x)和 g(x); (2)问:选择哪家比较合算?为什么? 【解】 (1)f(x)=5x,15≤x≤40,

g(x)=?

?90,15≤x≤30 ? ?30+2x,30<x≤40. ?

(2)当 5x=90 时,x=18, 即当 15≤x<18 时,f(x)<g(x); 当 x=18 时,f(x)=g(x), 当 18<x≤40 时,f(x)>g(x). 所以当 15≤x<18 时,选甲比较合算;当 x=18 时,两家一样合算;当 18<x≤40 时, 选乙比较合算. [能力提升] 1.四人赛跑,假设他们跑过的路程 fi(x)(其中 i∈{1,2,3,4})和时间 x(x>1)的函数关 系分别是 f1(x)=x ,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2 ,如果他们一直跑下去,最终跑 在最前面的人具有的函数关系是( A.f1(x)=x
2 2

x

)

B.f2(x)=4x C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2
x

【解析】 显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在最前面的人具有的函 数关系是 f4(x)=2 ,故选 D. 【答案】 D 1 2.下面对函数 f(x)=log x,g(x)= 2 减情况说法正确的是( )
x

与 h(x)=

在区间(0,+∞)上的衰

4

A.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越快,h(x)衰减速度越来越慢 B.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越慢,h(x)衰减速度越来越快 C.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢,h(x)衰减速度越来越慢 D.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越快,h(x)衰减速度越来越快 1 【解析】 观察函数 f(x)=log x,g(x)= 2

与 h(x)=

在区间(0,+∞)上的图象,由图可知:函数 f(x)的图象在区

间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上递减较慢,且越来越慢;同 样,函数 g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢;函数 h(x)的图象 在区间(0,1)上递减较快, 但递减速度变慢; 在区间(1, +∞)上, 递减较慢, 且越来越慢. 故 选 C. 【答案】 C 3. 已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y=a·(0.5) +b, 现已知该 厂今年 1 月、 2 月生产该产品分别为 1 万件、 1.5 万件. 则此厂 3 月份该产品的产量为________ 万件. 【解析】 ∵y = a·(0.5) + b ,且当 x = 1 时, y = 1 ,当 x = 2 时, y = 1.5 ,则有 解得?
x x x

? ?1=a×0.5+b, ? ?1.5=a×0.25+b, ?

? ?a=-2, ?b=2, ?

∴y=-2×(0.5) +2. 当 x=3 时,y=-2×0.125+2=1.75(万件). 【答案】 1.75 4.某学校为了实现 60 万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案: 在生源利润达到 5 万元时, 按生源利润进行奖励, 且资金 y(单位: 万元)随生源利润 x(单位: 万元)的增加而增加,但资金总数不超过 3 万元,同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励 模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02 ,其中哪个模型符合该校的要求? 【解】 借助工具作出函数 y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02 的图象(如图所示).观 察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02 的图象都有一部分在直线 y=3 的上方, 只有 y=log5x 的图象始终在 y=3 和 y=0.2x 的下方, 这说明只有按模型 y=log5x 进行奖励 才符合学校的要求.
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x x x

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是餐 理 管 动 走 场 现 直坚 一 人 本 , 之 中 重 的 理 管 常 日 厅 进行 则 原 八 二 照 按 格 严 间 期 班 当 持 配 分 间 时 管理 在 的 十 八 之 (百 在做 间 时 的 十 二 之 分 百 , 场 现 域 区 结 总 理 管 和 集 收 息 信 参与 接 直 并 ), 时的 及 予 给 题 问 的 出 对 , 务 服 场 现 详细 行 进 题 问 型 典 对 , 示 提 和 正 纠 问 性 共 , 录 记 定相 制 源 根 析 分 题 加强 洞 漏 题 问 塞 堵 , 划 计 训 培 的 应 ;领 登 的 表 查 检 核 考 、 录 记 作 工 己辖 自 分 划 任 责 值 据 根 管 主 班 督导 中 、 备 准 前 班 对 针 要 主 , 域 区 准备 前 餐 , 录 记 面 书 作 评 检 后 班 、 的指 应 相 作 求 需 个 人 客 与 性 分 充 状况 好 完 的 施 备 设 , 务 服 醒 提 和 点 的 态 状 神 精 工 员 , 。 整 调 3、 提升部 分主题 宴会服 务的质 量,从 菜单的 设计打 印到配 套餐具 与调料 的准备 ,特别 是上菜 的语言 服务设 计将是 整个服 务的点 缀和装 饰,开 盘菜的 欢迎词 导入, 餐中重 头菜肴 的介绍 宣传, 主食供 应时的 再次祝 福,将 时刻突 出主人 对主宾 的尊敬 热情, 也通过 此举服 务让客 人在 心里更加 加强对 朋友盛 情的美 好回忆 ,真正 达到客 人宴请 的物质 精神双 重享受 。 4、 建立完 善信息 收集制 度,降 低投诉 与提高 存酒的 信赖度 根据 上半年 收集的 案例汇 总看基 本集中 在客人 对存酒 的凝虑 ,由于 当时信 息记录 单一不 全面导 致客人 对自己 的酒水 存放不 放心, 后经部 门开会 加强细 化存酒 服务流 程,特 别注重 值台员 、吧台 的双向 记录要 求及自 带酒水 的饮用 与存放 的书面 记录, 以此避 免了客 人心中 的顾虑 , 查询时可 以第一 时间告 知客人 排除凝 虑。吧 台人员 在货架 的分类 上创新 编号排 放便于 快 速查 找,起 到了良 好的效 果。 5、 班会组 织趣味 活动, 展示餐 厅各项 技能 为营 造快乐 班会快 乐工作 的氛围 ,餐厅 经常以 活动的 形式来 组织趣 味游戏 ,虽然 时间短 暂但是 收获多 多,拓 展 P K 小游 戏配备 奖励式 处罚, 融洽气 氛、消 除工作 中的隔 阂,提 高相互 之间的 信赖度 有着推 波助澜 的作用 ,包括 每月的 消防突 击演练 以真正 检验全 员的真 实性效 果,提 高处变不 惊的能 力和处 理突发 事件的 反应, 当然托 盘摆台 技能的 比拼才 是我们 真正的 专业, 从时间 与质量 考验选 手的日 常基本 功,提 高服务 效率。 6、 开展各 类员工 培训, 提升员 工综合 素质 本年 度共开 展了班 会全员 培训相 对多一 点达到 46 场 次,业 务式技 能培训 11 场 ,新人 入职培 训 5 场 ,领班 主管的 自主专 题培训 海底捞 进行 4 场,通 过培训 来达到 思想意 识的提 高,拓 展管理 思路, 开阔行 业视野 。 7、 全员齐 努力, 销售新 突破 根据 年初部 门设定 的果汁 饮料销 售新目 标,全 员不懈 努力, 在客源 市场不 是很景 气的条 件下发 挥你追 我赶宁 创销售 新高不 伤相互 感情的 比拼精 神,使 我们的 果汁数 量屡创 新高, 到目前 已销售 1190 0 多扎 数,每 月销售 之星奖 励的喜 悦众人 分享, 从二连 冠三连 冠到现 在的年 终四 连冠都是 自身努 力和实 力的象 征,餐 厅也因 此涌现 出了一 批销售 之星。 但是也 有在销 售中因 没有注 意语言 技巧的 把握而 导致客 人感觉 有强买 强的嫌 疑。

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