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www.vvv44.com:济南大学高等数学中值定理及导数的应用疑难解答

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习题 4-1

第四章中值定理及导数的应用习题选解 中值定理
? ? 5? ? 上验证罗尔定理; , ?6 6 ? ?

1.验证下列各题,确定ξ 的值: (1)对函数 y ? sin x 在区间 ?

(3)对函数 f ( x) ? x 3 及 g ( x) ? x 2 ? 1 在区间 ?0,1? 上验证柯西中值定理. 解 (1) 显然 y ? sin x 在 ? 使得 y ?(? ) ? cos? ? 0 . 解 y ?(? ) ? cos x ? 0 得 x ? nx ? 显然 x ?

? ? 5? ? ? ? 5? ? , ? 上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理知至少有一点 ? ? ? , ? ?6 6 ? ?6 6 ?

?
2

(n ? 0,?1,?2, ?) ,取 n=0, x ?

?
2

,

?

? ? ? 5? ? ? ? 5? ? ? ? , ? ,故确有 ? ? ? ( ? , ?) 使 y ?(? ) ? cos? ? 0 . 2 ?6 6 ? 2 ?6 6 ?

(3)因为 f ( x) ? x 3 及 g ( x) ? x 2 ? 1 在 ?0,1? 上连续, ?0,1? 内可导,且 y ?( x) ? 2 x 在 ?0,1? 内不为 0.

2 f (1) ? f (0) f ?(? ) 3? 2 由柯西中值定理知,至少 ?? ? ?0,1? 使 ,即 1= . 故 ? ? ? ?0,1? 满足柯西 ? 3 g (1) ? g (0) g ?(? ) 2?
中值定理. 2.证明下列不等式: (3) arctan a ? arctan b ? a ? b ; (4)当 x ? 1 时, e ? ex .
x

证 (3)当 a ? b 时,显然成立. 当 a ? b 时,令 f ( x) ? arctanx, x ? ?a, b?(a ? b) 时同理可得,由 f ?x ? 在 ?a, b? 上连续, ( a, b) 内可导, 得

f (b) ? f (a) ? f ?(? )(b ? a) (a ? ? ? b) ,
即 arctanb ? arctana ?

1 (b ? a) (a ? ? ? b) ,所以 1? ? 2

arctan b ? arctan a ?

1 b?a ? b?a . 1? ? 2

(4)令 f ( x) ? e x ? ex ,由于函数 f ( x) 在 ?1, x? 上连续, ?1, x ? 内可导,所以

f ( x) ? f (1) ? f ?(? )(x ? 1),? ? (1, x), 即 e x ? ex ? (e? ? e)(x ? 1). 因 为 x ? 1, ? ? 1 , 故

e? ? e ? 0, x ? 1 ? 0 ,所以 e x ? ex ? 0 ,即 e x ? ex .
?? 5.不用求出函数 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) 的导数,试判别方程 f ( x) ? 0 的根的个数.
解 由于 f ( x) 在 ?0,1? 上连续, (0,1) 内可导,且 f (0) ? f (1) ,所以由罗尔定理可知: ??1 ? (0,1) ,

使 f ?(?1 ) ? 0 . 同理 ?? 2 ? (1,2) , 使 f ?(? 2 ) ? 0 , ?? 3 ? (2,3) 使 f ?(? 3 ) ? 0 . 显然 ?1 , ? 2 , ? 3 都是方程

f ?( x) ? 0 的根.
注意到方程 f ?( x) ? 0 为三次方程,它只能有三个根(包括实根、复根),故 ?1 , ? 2 , ? 3 也就是方程

f ?( x) ? 0 的三个实根 . 又 f ?( x) 在 ??1 , ? 2 ?, ?? 2 , ? 3 ?上满足罗尔定理的条件 , 故存在 ?1 ? (?1 , ? 2 ) , 使

f ??(?1 ) ? 0 ,存在 ? 2 ? (? 2 , ? 3 ) ,使 f ??(? 2 ) ? 0 .而 f ??( x) 是一个二次多项式,至少有两个实根.因此,
方程 f ??( x) ? 0 有且仅有两个实根. 6.若函数 f ( x) 在 (??,??) 内满足关系式 f ?( x) ? f ( x) 且 f (0) ? 1 ,证明: f ( x) ? e x . 证 作函数 g ( x ) ?

f ( x) , x ? (?? ,?? ) , ex

e x f ?( x) ? f ( x)e x f ?( x) ? f ( x) g ?( x) ? ? ? 0, x 2 (e ) ex
故 g ( x) ?

f ( x) f ( 0) f ( x) ? C (常数).又 g (0) ? 0 ? 1,得 C ? 1, 所以 x ? 1, 即 f ( x) ? ex . x e e e

习题 4-2

洛必达法则
2 ln(1 ? ) x ; (9) lim x??? arc cot x
1 2 x2

1. 用洛必达法则求下列各极限:

tan x (8) lim ; ? x ? tan5 x
2

ln(1 ? x 2 ) (10) lim ; x?0 sec x ? cos x
(12) lim?
x?1

(11) lim x e
x ?0

;
x

1 ? ? 2 ? ?; 2 ? x ?1 x ?1?

? 3? lim? ?1 ? x ? ; x ? ? (13) ? ?

(14) lim ? ? ?
x?0

?1? ? x?

sin x

.



lim
x?

?

(8)

2

tan x sec 2 x cos2 5 x ? lim ? lim tan5 x x?? 5 sec 2 5 x x?? 5 cos2 x
2 2

? lim
x?

?

2

2 cos5 x ? (? sin 5 x) ? 5 sin 10x 10 cos10x ? lim ? lim ? 5; ? sin 2 x ? 2 cos 2 x 5 ? 2 cos x ? (? sin x) x? x?
2 2

x ? 2 ? 2 ??? ? ln(1 ? ) 2 ? 2x 2 4x x ? 2 ? x2 ? x ? lim 2 ? lim ? 2; (9) lim = lim x ? ?? x ? ?? x ? 2 x x ? ?? 2 x ? 2 x??? arc cot x 1 ? 1? x2

2x ln(1 ? x ) cos x ? ln(1 ? x ) ln(1 ? x ) 1? x2 lim ? lim ? lim ? lim x ?0 1 ? cos2 x x ?0 ? 2 cos x ( ? sin x ) 1 ? cos2 x (10) x ?0 sec x ? cos x x ?0 x x ? lim ? lim ? 1; x ?0 (1 ? x 2 ) cos x sin x x ?0 sin x
2 2 2
1

1

1 2
2

(11) lim x e x = lim
x ?0

e e ? (?2 x ?3 ) x2 = lim = lim e ? ?? ; ?3 x ? 0 x ?0 1 x ?0 ? 2x 2 x
x2
x2
1

(12) lim?
x ?1

1 1? x ?1 1 ? ? 2 ? lim ?? ; ? ? ? lim 2 2 x ? 1 x ? 1 2x 2 x ?1 ? x ?1 x ?1?
2

? 3? ? 3? (13)设 y ? ?1 ? ? ,则 ln y ? x ln?1 ? ? , ? x? ? x?

1 ? 3 ? ??? 2 ? ? 3? 3 x ? ln?1 ? ? 1? ? 3x x ? 3? ? x ? lim ? 3, lim lny ? lim x ln?1 ? ? ? lim ? ? lim x ?? x ? 3 x?? x?? x ?? 1 1 ? x ? x ?? ? 2 x x

? 3? 所以 lim?1 ? ? ? e 3 ; x ?? ? x? ?1? (16)设 y ? ? ? ? x?
lim ln y ? ?
sin x

x

,则 ln y ? sin x ln

1 ? ? sin x ln x , x ln x ? csc x

x ?0

? lim sin x ln x ? ?
x ?0

? lim ?
x ?0

1 x ? lim ? x?0? ? csc x cot x

x ?0

lim ?

sin 2 x ? x ? cos x

x ?0

lim ?

sin 2 x 2 sin x cos x ?1? ? lim ? 0 ,所以 lim ? ? ? ? x ? 0 x ? 0 x 1 ? x?

sin x

? e0 ? 1

2. 验证极限 lim



x ? sin x 存在,但不能用洛必达法则求出. x ? ? x ? sin x 1 1 ? sin x x ? sin x 1 ? cos x x ? sin x x ? lim . lim ? lim ? 1, 但 lim x ? ? x ? ? x ?? x ? sin x x ?? 1 x ? sin x 1 ? cos x 1 ? sin x x

用洛必达法则计算所得到的式子极限不存在(不包括∞),故洛必达法则失效.

习题 4-3

导数的应用
(8) y ? x ? sin 2x

1. 确定下列函数的单调区间: (2) f ( x) ? x ? sin x ;

解 (2 ) f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 , 对任意 M ? 0, f ?( x)在?- M, M? 内至少有有限个零点 , 故 f ?( x ) 在

?- M, M?内单调增加,又由 M 的任意性知, f ( x) 在(-∞,+∞)内单调增加.
(8)当 2n? ? 2 x ? ?2n ? 1?? ,即 n? ? x ? n? ?

?
2

时 (n ? 0,?1,?2?) ,

y ? x ? sin 2 x , y? ? 1 ? 2 cos2 x ,
因为所给函数是定义域为 ?0,

? ?? , 以周期向 ?? ?,??? 延拓且导函数也是周期为的函数,所以可从 ? 2? ?

函数 ?0,

? ?? 内的单调性推知函数在全定义区间的单调性. ? 2? ?

在 ?0,

? ? ?? 内 x 0 ? 为驻点,由 cos2x 为减函数,得 ? 3 ? 2?
0

? ?? ? 0, ? ? 3?
+ ↗

? 3

?? ? ? ? , ? ?3 2?


? 2

所以当 n? ? x ? n? ? 当 n? ?

?

?
3

? x ? n? ?

?

3 2

时,函数单调性增加;

(n ? 0,?1,?2,?) 时,函数单调减少;

当 (2n ? 1)? ? 2 x ? (2n ? 2)? ,即 n? ? 与前面类似的讨论可知

?
2

? x ? (n ? 1)? (n ? 0,?1,?2?) 时, y ? x ? sin 2 x .

(2n ? 1)? (2n ? 1)? ? ?x? ? 时,函数单调增加; 2 2 3 (2n ? 1)? ? ? ? x ? (n ? 1)? 时,函数单调减少. 当 2 3
当 综合两种情形可得函数在 ?

? k? k? ? ? ? k? ? k? ? ? 上单调减少 , ? ? 上单调增加,在 ? ? , ? ? 2 2 3? ? 2 3 2 2? ?

(n ? 0,?1,?2?) .
2. 证明下列不等式: (3)当 0 ? x ? (4)当 0 ? x ?

?
2

时, sin x ? tan x ? 2 x; 时, sin x ? x ?

?
2

x3 ; 6

x 3 (5) x ? 4 时, 3 ? x .

证(3)设 f ( x) ? sin x ? tan x ? 2 x, 得 f (0) ? 0. f ?( x) ? cos x ? sec2 x ? 2, f ?(0) ? 0

? ?? ? ?? f ??( x) ? ? sin x ? 2 sec x ? sec x tan x ? sin x(2 sec3 x ? 1) ? 0, x ? ? 0, ?, 所以 f ?( x) 在 ? 0, ? ? 2? ? 2?
上是增函数,当 x ? 0 时, f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因为 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? 0,

? ?? ? 上是增函数,因 ? 2?

而当 0 ? x ?

?
2

时, f ( x) ? f (0) ? 0, 即 sin x ? tan x ? 2 x, x ? ? 0,

? ?? ?. ? 2?

(4) 设 f ( x) ? n s i

? x2 x3 ? ? ? f ( x ) ? c o s x ? 1 ? , f ??( x) ? ? n s i x ? x, f ???( x) ? 1 ? c o s x, x ?? x ? , ? ? 2 6 ? ?
? ?? ? 2?

当0 ? x ?

?
2

时, f ???( x) ? 0 , 所以 f ??( x)在?0, ? 上单调增加,得 f ??( x) ? f ??(0) ? 0, 所以 f ?( x )

在 ?0, ? 上单调增加,从而 f ?( x) ? f ?(0) ? 0, 所以 f ( x ) 在 ?0, ? 上单调增加,得

? ?? ? 2?

? ?? ? 2?

f ( x) ? f (0) ? 0. 得证.
(5)原不等式即为 x ln 3 ? 3 ln x. 设

3 f ( x) ? x ln 3 ? 3 ln x, f ?( x ) ? ln 3 ? . x
x 3

因为 x ? 4 ? 3 ? e, 所以 f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) ? f (3) ? 0 ,这时 x ln 3 ? 3 ln x, 即 3 ? x . (注:此题推广至一般为:若 x ? a ? e, 则a x ? x a , 请读者给出其证明 .)

3. 讨论下列方程的根的情况: (2) ln x ?

1 x 3 1 1 1 x, x ? ?0,?? ?, f ?( x) ? ? , 驻点为 x ? 3. 3 x 3

解 设 f ( x) ? ln x ? 0

?0,3?
+ ↗

3

?3,???


f ?( x)
f ( x)

显然 x ? 3 为 f ( x ) 的最大值点.因为

1 1 f ( x) ? ?? , f ( ) ? ?1 ? ? 0, f (3) ? ln 3 ? 1 ? 0, lim x ?0 ? e 3e
故 f ( x ) 在 ?0,3? 上有且仅有一实根,在 ?3,??? 上有且仅有一实根,即 f ( x ) 有两个实根. 4. 求下列函数的极值:
1 2

(7) y ? e x sin x; (8) y ? x x ; (10) y ? 2 ? ( x ? 1) 3 . 解 (7) y? ? e x sin x ? e x cos x ? e x (sin x ? cos x), 令 y? ? 0 得驻点: xn ? n? ?

?
4

(n ? 0,?1,?2 ?).

y?? ? e x (cosx ? sin x) ? e x (sin x ? cos x) ? 2e x cos x
当 x1 ? 2k? ?

?
4

(n ? 0,?1,?2?) 时, y ?? ? 0, x1 为极小值点,极小值为
?

? 1 2 k? ? 4 y(2k? ? ) ? ? e . 4 2
当 x2 ? ?2k ? 1?? ?

?
4

(n ? 0,?1,?2?) 时, y?? ? 0, x2 为极大值点,极大值为
?

2 ?2 k ?1?? ? 4 ?? ? e (n ? 0,?1,?2?). y ??2k ? 1?? ? ? ? 2 4? ?
(8)由对数求导法得 y ? ? x x ?
1

1 ? ln x , 解得驻点为 x ? e. 当 x ? e 时, y ? ? 0, 当 x ? e 时, x2
1

y? ? 0 ,所以 x ? e 为极大值点,极大值为 y(e) ? e e .
(10)y ? ? ?

2 1 , x ? ?1 是导数不存在的点,当 x ? ?1 时, y ? ? 0, 当 x ? ?1 时, y ? ? 0. 所以 3 ? x ? 1?1 3

x ? ?1 是极大值点,极大值为 y(?1) ? 2.
5.求下列曲线的凹凸区间和拐点: (4) y ? xe? x ; (6) y ? ln(x 2 ? 1).

解 (4) y? ? e ? x ? x(?e ? x ) ? (1 ? x)e ? x ,

y?? ? ?e ? x ? (1 ? x)(?e ? x ) ? e ? x ( x ? 2),
令 y ?? ? 0 ,得 x ? 2. 当 x ? 2 时, y ?? ? 0; 当 x ? 2 时, y ?? ? 0. 所以点 ? 2, 上是凸的,在 ?2,??? 上是凹的. (6) y ? ?

? ?

2? ? 为拐点,曲线在 ?? ?,2? e2 ?

2x 2 x 2 ? 1 ? 2 x ? 2 x ? 2?x ? 1??x ? 1? ? ? , ? , 令 y ?? ? 0 得 x ? ?1. y ? 2 2 2 2 x2 ?1 x ?1 x ?1

?

?

?

?

?

?

?? ?,?1?


1

??1,1?
+ 凹

1

?1,???


所以曲线在 ?? ?,?1? 和 ?1,??? 上是凸的,在 ?? 1,1? 是凹的,拐点为 ?? 1, ln 2? . 6.利用函数图形的凹凸性证明下列不等式: (3) xe x ? ye y ? ?x ? y ?e
x? y 2

?x ? 0, y ? 0, x ? y ?.
x? y f ( x) ? f ( y ) )? , 2 2
x

证 (3)设 f (t ) ? tet , f ?(t ) ? ?t ? 1?et , f ??(t ) ? ?t ? 2?et ? 0?t ? 0?, 所以曲线 f (t ) 在 ?0,??? 上 是凹的.故对任意的 x, y ? ?0,????x ? y ? 有 f (

x? y 即 e 2

x? y 2

1 ? xe x ? ye y , 即 ?x ? y ?e 2

?

?

x? y 2

? xe ? ye y .

7.解下列各题: (2)试确定曲线 y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 中的 a,b,c,d,使得 x ? ?2 处曲线的切线为水平,点 ?1,?10? 为 拐点,且点 ?? 2,44? 在曲线上; (3)试确定 y ? k x 2 ? 3 中 k 的值,使曲线在拐点处的法线通过原点 ?0,0? .
2

?

?

解(2) y? ? 3ax2 ? 2bx ? c, y ?? ? 6ax ? 2b. 依题意,有

? y (?2) ? 44, ? y (1) ? ?10, ? ? ? y ?(?2) ? 0, ? ? y ??(1) ? 0,

?? 8a ? 4b ? 2c ? d ? 44, ?a ? b ? c ? d ? ?10, ? 即? ?12a ? 4b ? c ? 0, ? ?6a ? 2b ? 0.

解之得 a ? ?1, b ? ?3, c ? ?24, d ? 16. (3) y? ? 2k ( x 2 ? 3) ? 2 x ? 4kx3 ? 12kx, y?? ? 12kx2 ? 12k ? 12k ( x ? 1)(x ? 1), 令 y ?? ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 1. 因为在 x1, 2 ? ?1两侧变号,所以 ?? 1,4k ?, ?1,4k ? 为曲线的拐点.

x ? 1时, y1 ? 4k , y?(1) ? ?8k ,过点 ?1,4k ? 的法线方程为 Y ? 4k ?
若要法线过原点,则点 ?0,0? 应满足法线方程,即 ? 4k ? ?

1 ? X ? 1?, 8k

1 2 ,k ? ? . 8k 8

x2 ? ?1 时,同理可得, k ? ?

2 . 8

所以 k ? ?

2 ,该曲线的拐点处的法线方程通过原点. 8
(4) y ? x ?
2

8.描绘下列函数的图形: (2) y ?

x ; 1? x2

1 . x

解 (2)定义域(-∞,+∞) ,奇函数,关于原点对称 ,无周期性(以下讨论仅在 ?0,??? 上进行), 无铅直渐近线,有水平渐近线 y ? 0 (因为 lim

x ? ??

y? ?

?1 ? x ? ? x ? 2 x ? 1 ? x ?1 ? x ? ?1 ? x ?
2 2 2 2

x ? 0 ), 1? x2

2 2

?

? ?x ? 1??x ? 1?

?1 ? x ?

2 2

,

y ?? ?
列表

2x x ? 3 x ? 3

?

?1 ? x ?
0

??

2 3

?,
?0,1?
+ 1

?1, 3?
-

? 3,???
+ 拐点 ↘

拐点



极大



(4)定义域 ?? ?,0? ? ?0,???, 无奇偶性,无周期性,铅直渐近线 x ? 0, 无斜(水平)渐近线(因为

x ?0

lim y ? ?? , lim y ? ?? ) , y? ? 2 x ? ? ?
x ?0

1 , x2

y ?? ? 2 ?
列表

2 2?x ? 1? x 2 ? x ? _ 1 ? , x3 x3

?

?

?? ?,1?
+ ↘

-1

?? 1,0?
-

0

? 1 ? ? 0, ? 2? ?
+ ↘

1 2

? 1 ? ,?? ? ? ? 2 ?
+ +

不存在

拐点



极小



习题 4-4

函数的最大值和最小值及其在经济中的应用
2

2.讨论下列函数的最大值、最小值; (2) y ? 2 x ? 5x 2 ,?? ? x ? ??; (3) y ? x ? 解 (2)y ? ? 2 ? 10x. 令 y ? ? 0, 得 x ?

54 , x ? 0; x

(4) y ?

x ,0 ? x ? ?? . x ?1
2

1 1 ?1? . y ??? ? ? ?10 ? 0, 所以 x ? 为极大值点.又 lim y ? ?? , x ?? 5 5 ?5?

x?

1 1? ? 时, y ? ? 0, y 在 ? ? ?, ? 上单调增加; 5 5? ?

1 ?1 ? x ? 时, y? ? 0, y 在 ? ,?? ? 上单调减少, 5 ?5 ?
所以函数无最小值,最大值为 y? ? ?

?1? ?5?

1 . 5

(3) y ? ? 2 x ?

54 2 x 2 ? 54 ? , x ? ?? ?,0?. 令 y ? ? 0, 得 x ? ?3. x2 x2

当 x ? ?3 时, y ? ? 0, 在 ?? ?,3? 上单调减少; 当 ? 3 ? x ? 0 时, y ? ? 0, y 在 ?? 3,0? 上单调增加. 又 lim ? x ?
2

? x??? ?

54 ? ?, 所以函数无最大值,最小值为 y(?3) ? 27. x?
2

(4) y ? ?

?x

?x

? 1 ? x ? 2x
2

?

?1

?

2

?

? ?x ? 1??x ? 1?

?x

2

?1

?

2

.

令 y? ? 0 得 x ? 1 ( x ? ?1 舍去).

.当 0 ? x ? 1 时, y ? ? 0. y 在 ?0,1? 上单调增加;

当 x ? 1 时, y ? ? 0. y 在 ?1,??? 上单调减少. 又 lim

x 1 ? 0. 所以最大值为 y (1) ? , 最小值为 y (0) ? 0. 2 x ?? 1 ? x 2
? x 3

3.求下列经济应用问题中的最大值或最小值: (2)设价格函数 P ? 15e ,求最大收益的产量、价格和收益; ( x为产量)

(3)某工厂生产某种商品,其年销售量为 100 万件,分为 N 批生产,每批生产需要增加生产准备 费 1000 元,而每件商品的一年库存费为 0.05 元,如果年销售率是均匀的,且上批售完后立即生产 出下批(此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半).问 N 为何值时,才能使生产准备费与库存 费两项之和最小? ( 4 ) 设 某 企 业 在 生 产 一 种 商 品 件 时 的 总 收 益 为 R( x) ? 100x ? x 2 , 总 成 本 函 数 为

C( x) ? 200? 50x ? x 2 ,问政府对每件商品征收货物税为多少,在企业获得最大利润的情况下,最
税额最大? (5)设生产某种商品的总成本为 C( x) ? 10000? 50x ? x 2 ( x为产量), 问产量为多少时,每件产品 的平均成本最低? 解 (2) R( x) ? x ?15e
?

?
3

? 15xe , R?( x) ? 15e
3

?

?

?

?
3

? 15xe

?

?
3

? 1 ? (? ) ? 5e 3 (3 ? x), 3

?

令 R?( x) ? 0 得 x ? 3. 当 0 ? x ? 3时, R?( x) ? 0, 当 x ? 3 时, R?( x) ? 0. 所以 x ? 3 为极大值点. 依题意,此唯一的极大值点即为最大值点,即 x ? 3 时有最大收益,此时 P ? 15e ?1 , 最大收益 为 R(3) ? 45e ?1 . (3)设每年的生产准备费与库存费之和为 C,批量为,则
9 x ? 1000000 ? ? x ? 10 ? ? , C ( x) ? 1000 ? 0 . 05 ? ? ? ? x 40 x ? ? ?2?

由 C ?( x) ?

1 109 2 ?109 ? 2 ? 0 得 驻 点 x0 ? 2 ?105 , 由 C ??( x) ? ? 0, 知 驻 点 为 极 小 值 点 , 因 此 , 40 x x3
100万 ? 5. 20万

x ? 20 万件时,C 值最小,此时 N ?
(4)设每件商品征收的货物税为,

L( x) ? R( x) ? C ( x) ? ax ? 100x ? x 2 ? (200? 50x ? x 2 ) ? ax ? ?2x 2 ? (50 ? a) x ? 200,
L?( x) ? ?4 x ? 50 ? a,

令 L?( x) ? 0, 得 x ?

50 ? a a (50 ? a ) . 此时 L( x) 取最大值,税收为 T ? ax ? , 4 4 1 1 T ? ? (50 ? 2a), 令 T ? ? 0, 得 a ? 25 .T ?? ? ? ? 0, 所以 a ? 25 时,T 取最大值,故征收货物税应为 25. 4 2 10000 10000? 50x ? x 2 10000 , ? x ? 50 ? , C ?( x) ? 1 ? x2 x x 20000 ? 0. 所以 x ? 100 时 C ( x) 取得最小值, 即 x3

(5) C ( x) ?

令 C ?( x) ? 0, 得 x ? 100( x ? ?100 舍去), C ??( x ) ? 产量为 100 时,平均成本最低.

习题 4-5

泰勒公式
f ( x) ? x 2 ? 3 x ? 1 .

2.应用麦克劳林公式,按的乘幂展开函数:

?

?

3

解 因为 f ( x) 是的 6 次多项式,所以

f ?x ? ? f ?0? ? f ??0?x ?

f ???0? 2 f ????0? 3 f ?4 ? ?0? 4 f ?5 ? ?0? 5 f ?6 ? ?0? 6 x ? x ? x ? x ? x . 2! 3! 4! 5! 6!

又 f ?0? ? 1, f ??0? ? ?9, f ???0? ? 60, f ????0? ? ?270 , f ?4? ?0? ? 720, f ?5? ?0? ? ?1080 , f ?6? ?0? ? 720, 故

f ?x? ? 1 ? 9x ? 30x 2 ? 45x 3 ? 30x 4 ? 9x 5 ? x 6 .

4.求函数 f ?x ? ? xe? x 的阶麦克劳林公式. 解

f ?n ? ?x? ? ??1? ?x ? n?e? x , f ?0? ? 0, f ?n ? ?0? ? ??1?
n
n ?1 n

n?1

? n,

所以 x ? e ? x ? x ? x 2 ?

?? 1? x n ? ?? 1? ?? ? n?e ?? ? x n?1 ??在0与x之间?. x3 ? ?? ?n ? 1?! 2! n!
(2) sin 18
1 3
?

5.应用 3 阶泰勒公式计算下列各数的近似值,并估计误差: (1) 3 30;

1 ? 2 ? 10 ? 3 ?4 ? 80 ? 解 (1)设 f ?x ? ? x , 则 f ??x ? ? x 3 , f ???x ? ? ? x 3 , f ????x ? ? x , f ?x ? ? ? x 3 , 3 9 27 81
因为 30=27+3,所以

2

5

8

11

3

30 ? ?27 ?3 ?

1

2 1 ?27 ?? 3 3

5 8 2 ?27 ?? 3 ? 32 10 ?27 ?? 3 ? 33 ? 1 1 1 ? ?3 ? 9 ? 27 ? 3?1 ? 3 ? 6 ? 10 ? ? 3.10724 , 2! 3! 3 ? ? 3 3

80 ?11 ?? ? 3 81 ? 34 误差 ? 4!
? ?? 27 , 30 ?

11 80 ?27?? 3 80 ? 81 ? 34 ? ? 1.88? 10?5. 11 4! 4!?3

(2)因为 18 ?
?

?
10

很靠近 0,所以可用麦克劳林公式作近似计算.

令 f ?x ? ? sin x, 则 f ??x? ? cos x, f ???x? ? ? sin x, f ????x? ? ? cos x, f ?4? ?x? ? sin x,

f ?0? ? 0, f ??0? ? 1, f ???0? ? 0, f ????0? ? ?1, f ?4? ?0? ? 0,


sin 18? ? sin

? f ???0? ? ? ? f ????0? ? ? ? ? 1?? ? ? f ?0? ? f ??0? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? 1? ? 0 ? ? ? ? 0.309, 10 10 2! ? 10 ? 3! ? 10 ? 10 3! ? 10 ? ?
2 3 3

sin ?? ? 4 x 误差 ? 4!

? ?? 0 ,

? ? ? ? ? 10 ?

?

sin

?

6 4!

?? ? ?4 ? ? ? 2.03? 10 . ? 10 ?

4

总复习题四
1.求下列极限 (2) lim ?
x???

?2 ? arctanx ? ; ?? ?
2x

2x

1 1 ? 1 ? ? 2 x ? 3 x ? ? ? 100x ? 1 ? (3) lim? ? x ?? 100 ? ? ? ?

100 x

.

解(2)设 y ? ?

?2 ? ?2 ? arctanx ? , 则 ln y ? 2 x ln? arctanx ?, ?? ? ?? ?

1 2 1 ? ? 2 ? ? 2 ? 1? x2 ln? arctanx ? arctanx 4 2 x2 ? ? ? lim ? ?? , ? lim ? lim ln y ? lim ? 2 X ??? arctanx 1 ? x x ??? X ??? X ??? 1 1 ? ? 2 2x 2x
所以

?2 ? lim ? arctanx ? x??? ? ? ?

2x

?e .
?

?

4

1 1 ? 1 ? x x ? 2 ? 3 ? ? ? 100 x ? 1 ? ? (3)设 y ? ? 100 ? ? ? ?

100 x

,

1 1 ? ? 1 ? ? x x x ? ? ln100? lim ln y ? lim100x ?ln? 2 ? 3 ? ? ? 100 ? 1 ? ? x ?? x ?? ? ? ? ? ? ?

1 1 ? 1 ? x x x ? ? ln100 ln? 2 ? 3 ? ? ? 100 ? 1 ? ? ? ? lim ? x ?? 1 100x
1 1 ? 1 ? ? 1 ? x x x ? ? 2? ?? 1 1 1 ? 2 ln 2 ? 3 ln 3 ? ? ? 100 ln100? ? ? ? ? ? x ? x x x 2 ? 3 ? ? ? 100 ? 1 ? lim x ?? 1 ? 1 ? ?? ? 100? x 2 ?

1

? ln1 ? ln 3 ? ? ? ln100 ? ln100 !,
2.证明下列不等式: (1)当 0 ? x1 ? x 2 ? 证(1)设 f ? x ? ?

1 1 ? 1 ? ? 2 x ? 3 x ? ? ? 100x ? 1 ? 所以 lim? ? x ?? 100 ? ? ? ?

100 x

? e ln100! ? 100 !.

?
2

时,

x1 sin x1 ? ; x2 sin x2
f ??x ? ? x c o sx ? s i n x . 2 x

sin x , x



令 g ?x ? ? x cos x ? sin x, g ??x ? ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x. 当0 ? x ?

?
2

时, g ?( x) ? 0, 所以 g ( x) 单调减少, g ( x) ? g (0) ? 0, 故 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调减少,所以

当 0 ? x1 ? x 2 ?

? sin x1 sin x2 x sin x1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ), 即 ,也就是 1 ? ? . 2 x1 x2 x2 sin x2

3.讨论方程的根: (1) x 3 ? 5x ? 2 ? 0, 在 (0,??) 内 解 (1)令 f ( x) ? x 3 ? 5x ? 2. 则 f ?( x) ? 3x 2 ? 5, 令 f ?( x) ? 0, 得 x ?

5 5 舍去) , (x ? ? 3 3

当0 ? x ?

5 时, f ?( x) ? 0; 3

当x?

5 , f ?( x) ? 0 3
x ???

lim f ( x) ? ?? ,.

所以 x ?

5 为极小值点,极小值点为负值 3

f (0) ? ?2 ? 0
所以 f ( x ) 在 (0,

5 5 ) 内无根,在 ( ,?? ) 内有且仅有一个根 3 3

4.用中值定理证明下列各题: (1)设 f ( x ) 在 ?0, a ? 上连续,在 ?0, a ? 内可导,且 f (a) ? 0 ,证明存在一点 ? ? ?0, a ?, 使得

3 f ?? ? ? ?f ??? ? ? 0;
(2)设 0 ? a ? b, 函数 f ( x ) 在 ?a, b? 上连续,在 ?a, b ? 内可导,证明存在一点 ? ? ?a, b?, 使得

f ?b? ? f ?a? ? e ?? f ??? ? eb ? e a ;
(3)设 f ?x ?, g ?x ? 都是可导函数,且 f ??x? ? g ??x? ,证明当 x ? a 时,

?

?

f ?x? ? f ?a? ? g?x? ? g?a?.
证 ( 1 )设 F ?x? ? x 3 f ?x?. 显然 F ?x ? 在 ?0, a ? 上满足罗尔定理 , 所以 ?? ? ?0, a ? 使得 F ??? ? ? 0, 即

3? 2 f ?? ? ? ? 3 f ??? ? ? 0, 即 3 f ?? ? ? ?f ??? ? ? 0.
(2)显然 f ( x ) 和在 ?a, b? 上满足柯西中值定理,所以 ?? ? ?a, b ? 使得

f ?b ? ? f ?a ? f ??? ? ? ? ,即 eb ? e a e

f ?b? ? f ?a? ? e ?? f ??? ? eb ? e a .
(3)由题设 g ??x? ? f ??x? ? 0, 所以 g ?x ? 单调增加,当 x ? a 时, g ?x ? ? g ?a ?. 又 f ?x ?, g ?x ? 均为可导 函数,所以在 ?a, x ? 上, f ( x ) 和 g ( x) 满足柯西中值定理,所以 ?? ? ?a, x ? ,使

?

?

f ?x ? ? f ?a ? f ??? ? ? , g ?x ? ? g ?a ? g ??? ?


f ?x ? ? f ?a ? f ??? ? f ??? ? ? ? ? 1, g ?x ? ? g ?a ? g ??? ? g ??? ?

即 又

f ?x? ? f ?a? ? g?x? ? g ?a?.
g ?x ? ? g ?a ? ? 0,
所以

f ?x? ? f ?a? ? g?x? ? g?a?.

5.求下列函数的极值与最值: (1) f ?x ? ? ?

? x 3 x , x ? 0, ? x ? 2, x ? 0,

求 f ? x ? 的极值

(2)求数列

n

n 的最大项.
x ?0

?x ? 2? ? 2, f ? x ? ? lim 解 (1) lim ? ?
x ?0
x ?0 ?

lim f ?x ? ? lim x 3 x ? lim e 3 x ln x ? e 0 ? 1, ? ?
x ?0 x ?0

所以 f ?x ? 在 x ? 0 处不连续,所以 f ??0 ? 不存在.

?3x 3 x ?1 ? ln x ?, x ? 0, f ??x ? ? ? x ? 0, ?1,
令 f ??x ? ? 0, 即 3x 3 x ?1 ? ln x? ? 0 得 x ? 因为当 0 ? x ?
3

1 . e

1 1 时, f ??x ? ? 0; 当 x ? 时, f ??x ? ? 0, 所以函数极小值为 e e
3

? ? 1 ? ? 1 ?e f ? ? ? ? ? ? e e. ?e? ?e?

又因为 x ? 0 时, f ?? x ? ? 1 ? 0,0 ? x ? 值为 f ?0? ? 2.

1 时, f ??x ? ? 0. 所以不可导点 x ? 0 为极大值点,极大 e

(2)令 f ?x ? ? x x ? x x ?x ? 0?, 有对数求导法可得 f ??x ? ? x x 令 f ??x ? ? 0, 得驻点 x ? e.

1

1

?2

?1 ? ln x?,

当 0 ? x ? e 时, f ?x ? ? 0; x ? e 时, f ??x ? ? 0, 所以 x ? e 为唯一的极大值点,由于驻点唯一,极大值 点 也 是 最 大 值 点 , 且 最 大 值 为 f ?e? ? e . 由 于 1 ?
3
1 e

2 及 f ?x ? 在 ?e,??? 内 单 调 减 少 , 知

3 ? 4 4 ? ? ? n n ? ?, 所以最大项为 max 2, 3 3 ? 3 3.

?

?

7.求下列经济应用问题的最大、最小值: ( 2 ) 某 企 业 生 产 产 品 件 时 , 总 成 本 函 数 为 C?x ? ? ax2 ? bx ? c, 总 收 益 函 数 为

R?x? ? ?x 2 ? ?x?a, b, c,? , ? ? 0, a ? ? ?, 当企业按最大利润投产时,对每件产品征收税额为多少才能
使总税额最大? 解 (2)设每件产品的税额为,那么利润为 L( x) ? R( x) ? C ?x ? ? tx =( ax2 ? ?x ) ? (ax2 ? bx ? c) ? tx = (a ? a) x 2 ? (? ? b ? t ) x ? c,

L??x ? ? 2?? ? a ?x ? ? ? b ? t ,
令 L??x ? ? 0 ,得驻点 x ? ?

? ?b?t , 又 L???x? ? 2?? ? a ? ? 0, 所以此时取得最大利润,总税额为 2?? ? a ?

T ? tx ? ?

?? ? b ? t ?t , 2?? ? a ?
? ?b ? ?b ? ? b ? 2t , 此时征税额最大,所以征收税额应为 . ? 0, 得 t ? 2 2 2?? ? a ?

令 T ??t ? ? 0 ,即


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