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【金版学案】2015-2016高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教A版选修2-2


3.2 3.2.1

复数代数形式的四则运算

复数代数形式的加、减运算及其几何意义

1.掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则,并熟练地进行化简、求值. 2.了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义.

基 础 梳 理 1.复数的加法与减法. (1)复数的加、减法法则. (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即两个复数相加(减),就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). (2)复数加法的运算律. 复数的加法满足交换律、结合律,即对任意 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +z3=z1+(z2+z3). 2.复数加、减法的几何意义. → → 复数 z1,z2 对应的向量OZ1,OZ2不共线. → → → (1)复数加法的几何意义:复数 z1+z2 是以OZ1,OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所 对应的复数.因此,复数的加法可以按照向量的加法来进行. → → (2)复数减法的几何意义:复数 z1-z2 是连结向量OZ1,OZ2的终点,并指向被减向量所对 应的复数. 想一想:(1)类比绝对值|x-x0|的几何意义,|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是什么? (2)若 z1=-1+2i,z2=3-5i,则 z1+z2=________,z1-z2=________. (1)解析:|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复平面内点 Z 到点 Z0 的距离. (2)解析:z1+z2=(-1+2i)+(3-5i)=2-3i,z1-z2=(-1+2i)-(3-5i)=-4+
1

7i. 答案:2-3i -4+7i

自 测 自 评 1.a,b 为实数,设 z1=2+bi,z2=a+i,当 z1+z2=0 时,复数 a+bi 为(D) A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i

2.|(3+2i)-(4-i)|等于(B) A. 58 B. 10 C.2 D.-1+3i
2 2

解析:|(3+2i)-(4-i)|=|-1+3i|= (-1) +3 .故选 B. 3.A,B 分别是复数 z1,z2 在复平面内对应的点,O 是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则

AOB 一定是(B)
A.等腰三角形 C.等边三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形

→ → 解析:根据复数加(减)法的几何意义,知以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相 等,则此平行四边形为矩形,故△OAB 为直角三角形.

基 础 巩 固 1.已知复数 z 满足 z+i-3=3-i,则 z 等于(D) A.0 C.6 B.2i D.6-2i

解析:z=3-i-(i-3)=6-2i. → → → 2.在复平面内,复数 1+i 与 1+3i 分别对应向量OA和OB,其中 O 为坐标原点,则|AB| 等于(B) A. 2 C. 10 B.2 D.4

→ → → 解析:∵AB=OB-OA=(1+3i)-(1+i)=2i.

2

→ ∴|AB|=2. 3.(2014·昆明高二检测)实数 x,y 满足 z1=y+xi,z2=yi-x,且 z1-z2=2,则 xy 的值是(A) A.1 C.-2 B.2 D.-1
? ?x+y=2, ?x-y=0 ?

解析:z1-z2=x+y+(x-y)i=2? ?

? xy=1.

4.若复数 z 满足 z=|z|-3-4i,则 z=________. 解析:设复数 z=a+bi(a,b∈R), 7 ? ?a= , ?a= a2+b2-3, 6 则? 所以? ?b=-4, ? ?b=-4, 7 所以 z= -4i. 6 7 答案: -4i 6 能 力 提 升 → → → 5.在复平面内,向量AB对应的复数是 2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对 应的复数为(D) A.1-2i C.3+4i B.-1+2i

D.-3-4i

→ → → → → → 解析:向量AB对应的复数是 2+i,则BA对应的复数为-2-i,因为CA=CB+BA.所以CA 对应的复数为(-1-3i)+(-2-i)=-3-4i. 6.复数 z1=1+icos θ ,z2=sin θ -i,则|z1-z2|的最大值为(D) A.3-2 2 C.3+2 2 B. 2-1 D. 2+1

解析:|z1-z2|=|(1+icos θ )-(sin θ -i)|= (1-sin θ ) +(1+cos θ ) = 3-2(sin θ -cos θ )= π 3+2 2sin(θ - )≤ 3+2 2= 2+1.故选 D. 4 7.已知|z|= 5,且 z-2+4i 为纯虚数,则复数 z=________. 解析:设 z=x+yi(x,y∈R), 则 z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.
2 2

3

x-2=0, ? ? ? ?x=2, ? ?x=2, 由题意知?y+4≠0, 得? 或? 所以 z=2±i. ?y=1 ?y=-1. ? ? 2 2 ? ?x +y =5,
答案:2±i 8.如图,平行四边形顶点 A,B,C 所对应的复数分别为 i,1,4+2i(A,B,C,D 按逆 时针方向排列).

→ (1)向量BA对应的复数为____________; → (2)向量BC对应的复数为____________; → (3)向量BD对应的复数为____________; (4)点 D 坐标是____________. 答案:(1)-1+i (2)3+2i
2

(3)2+3i (4)(3,3)

9.设 m∈R,复数 z1= 的取值范围. 解析:因为 z1=

m +m +(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若 z1+z2 是虚数,求 m m+2

m2+m +(m-15)i, m+2

z2=-2+m(m-3)i,
所以 z1+z2=? =

?m +m-2?+[(m-15)+m(m-3)]i ? ? m+2 ?

2

m2-m-4 2 +(m -2m-15)i. m-2

因为 z1+z2 是虚数, 所以 m -2m-15≠0 且 m≠-2, 所以 m≠5 且 m≠-3 且 m≠-2, 所以 m 的取值范围是
4
2

(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞). → → 10.在复平面内,复数-3-i 与 5+i 对应的向量分别是OA与OB,其中 O 是原点,求向 → → → 量OA+OB,BA对应的复数及 A,B 两点间的距离. → → 解析:向量OA+OB对应的复数为(-3-i)+(5+i)=2. → → → → ∵BA=OA-OB,∴向量BA对应的复数为 (-3-i)-(5+i)=-8-2i. ∴A,B 两点间的距离为 |-8-2i|= (-8) +(-2) =2 17.
2 2

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