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第二章 2.3 第2课时 等差数列的前n项和公式的性质及应用


[课时作业] [A 组 基础巩固] 1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=( A.5 C.9 B.7 D.11 )

5?a1+a5? 解析:a1+a3+a5=3a3=3?a3=1,S5= =5a3=5. 2 答案:A 2.数列{an}为等差数列,若 a1=1,d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=( A.8 C.6 B.7 D.5 )

解析: ∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k +4=24,∴k=5. 答案:D 1 3.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6=( 2 A.16 C.36 B.24 D. 48 )

n n?n-1? 解析:设数列{an}的公差为 d,则 Sn= + d,∴S4=2+6d=20,∴d=3,∴S6=3+ 2 2 15d=48. 答案:D 4.设{an}是等差数列,若 a2=3,a7=13,则数列{an}的前 8 项和为( A.128 C.64 B.80 D.56 )

8?a1+a8? 8?a2+a7? 8×?3+13? 解析:设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S8= = = =64. 2 2 2 答案:C 5.数列{an}是等差数列,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列的前 20 项和等于 ( ) B.180 D.220 A.160 C.200

解析:∵{an}是等差数列,∴a1+a20=a2+a19=a3+a18. 又 a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78, ∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54. ∴3(a1+a20)=54.∴a1+a20=18.
1

20?a1+a20? ∴S20= =180. 2 答案:B Sn 2n+1 a8 6.有两个等差数列{an},{bn},它们的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn.若 = ,则 等于 T n n+ 2 b7 ________. Sn 2n+1 解析:由{an},{bn}是等差数列, = ,不妨设 Sn=kn(2n+1),Tn=kn(n+2)(k≠0), Tn n+2 a8 32k-k 31 则 an=3k+4k(n-1)=4kn-k,bn=3k+2k(n-1)=2kn+k.所以 = = . b7 14k+k 15 31 答案: 15 7.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前 n 项和,则 使得 Sn 达到最大值的 n 是________. 解析:由已知得 3a3=105,3a4=99, ∴a3=35,a4=33, ∴d=-2,an=a4+(n-4)(-2)=41-2n,
?an≥0 ? 由? ,得 n=20. ? ?an+1<0

答案:20 8. 已知某等差数列共有 10 项, 其奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差为________. 解析:S 奇=a1+a3+a5+a7+a9=15, S 偶=a2+a4+a6+a8+a10=30, ∴S 偶-S 奇=5d=15,∴d=3. 答案:3 9.设正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且对于任意 n∈N*,an 与 1 的等差中项等于 Sn,求 数列{an}的通项公式. 解析:由题意知, Sn= ?an+1?2 Sn= , 4 ∴a1=S1=1, 1 又∵an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+1)2-(an+1)2], 4 ∴(an+1-1)2-(an+1)2=0. 即(an+1+an)(an+1-an-2)=0, ∵an>0,∴an+1-an=2,
2

an+1 ,得: 2

∴{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. ∴an=2n-1. 10.已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n. n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. 2 进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0.解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7 为所求结果. [B 组 能力提升] 1.若一个等差数列的前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这 个数列有( A.13 项 C.11 项 解析:∵a1+a2+a3=34,① an+an-1+an-2=146,② 又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2, ∴①+②得 3(a1+an)=180,∴a1+an=60.③ ?a1+an?· n Sn= =390.④ 2 将③代入④中得 n=13. 答案:A 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-a2 m=0,S2m-1=38,则 m=( A.38 C.10 B.20 D.9 ) ) B.12 项 D.10 项

解析:由等差数列的性质,得 am-1+am+1=2am,
2 ∴2am=am .由题意得 am≠0,∴am=2.

?2m-1??a1+a2m-1? 2am?2m-1? 又 S2m-1= = 2 2
3

=2(2m-1)=38, ∴m=10. 答案:C a1+a2+a12 An 2n 3.已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 An,Bn,且满足 = ,则 = Bn n+3 b2+b4+b9 ________. a1+a9 a1+a9 9× 2 2 a1+a2+a12 3a1+12d1 a5 A9 2×9 3 解析: = = = = = = = . b2+b4+b9 3b1+12d2 b5 b1+b9 b1+b9 B9 9+3 2 9× 2 2 3 答案: 2 nπ 4.数列{an}的通项公式 an=ncos ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 016 等于________. 2 解析:由题意知,a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4= 2,k∈N,故 S2 016=504×2=1 008. 答案:1 008 5.某电站沿一条公路竖立电线杆,相邻两根电线杆的距离都是 50 m,最远一根电线杆距离 电站 1 550 m,一汽车每次从电站运出 3 根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为 17 500 m,共竖立多少根电线杆?第一根电线杆距离电站多少米? 解析:由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列,记为{an}, 则 an=1 550×2=3 100,d=50×3×2=300, Sn=17 500. 由等差数列的通项公式及前 n 项和公式, a +?n-1?×300=3 100, ? ? 1 得? n?n-1? ?na1+ 2 ×300=17 500. ② ? 由①得 a1=3 400-300n. 代入②得 n(3 400-300n)+150n(n-1)-17 500=0, 整理得 3n2-65n+350=0, 35 解得 n=10 或 n= (舍去), 3 所以 a1=3 400-300×10=400. 故汽车拉了 10 趟,共拉电线杆 3×10=30(根),最近的一趟往返行程 400 m, 1 第一根电线杆距离电站 ×400-100=100(m). 2 所以共竖立了 30 根电线杆,第一根电线杆距离电站 100 m. ①

4

1 6.已知数列{an},an∈N*,Sn 是其前 n 项和,Sn= (an+2)2. 8 (1)求证{an}是等差数列; 1 (2)设 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2 1 解析:(1)证明:当 n=1 时,a1=S1= (a1+2)2, 8 解得 a1=2. 1 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (an+2)2- (an-1+2)2, 8 8 即 8an=(an+2)2-(an-1+2)2, 整理得,(an-2)2-(an-1+2)2=0, 即(an+an-1)(an-an-1-4)=0. ∵an∈N*,∴an+an-1>0,∴an-an-1-4=0, 即 an-an-1=4(n≥2). 故{an}是以 2 为首项,4 为公差的等差数列. (2)设{bn}的前 n 项和为 Tn, 1 ∵bn= an-30,且由(1)知 an=2+(n-1)×4=4n-2, 2 1 ∴bn= (4n-2)-30=2n-31, 2 故数列{bn}是单调递增的等差数列. 1 令 2n-31=0,得 n=15 , 2 ∵n∈N*,∴当 n≤15 时,bn<0; 当 n≥16 时,bn>0,即 b1<b2<…<b15<0<b16<b17<…, -29-1 当 n=15 时,Tn 取得最小值,最小值为 T15= ×15=-225. 2

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