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2016-2017学年度高二周练10


2016-2017 学年度高二周练 10
一、选择题 1. 已知 m, n ? R , 集合 A ? ?2,log7 m? , 集合 B ? ?m, n? , 若 A ? B ? {0} , 则 m ? n ?( A.1 B.2 C.4 D.8 )

2.将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象向右平移 可能的值为( ) B. ?

? ? 个单位,得到的图象关于 x ? 对称,则 ? 的一个 4 6
D. ?

5? 6 ? 1 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? CD ? CA ? ? CB , 3. 在 ?ABC 中, 已知 D 是 AB 边上的一点, 若 AD ? 2DB , 则? ? ( 3 2 1 1 2 A. B. C. ? D. ? 3 3 3 3 2? A. 3 2? 3
C.

5? 6



4.在等比数列 ?an ?中, a1 ? a3 ? a5 ? 21, a2 ? a4 ? a6 ? 42 ,则 S9 ? ( A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 )



2 5.若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ( ?

A. 14

B.10

1 1 , ) ,则 a ? b 的值是( 2 3 C. ? 10 D. ? 14

6.已知点 A.1

满足 B.2 C.3



的最小值为 3,则 的值为 ( D.4 )



7. m, n, l 为不重合的直线, ? , ? , ? 为不重合的平面,则下列说法正确的是( A. m ? l , n ? l ,则 m / / n C. m / /? , n / /? ,则 m / / n B. ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? D. ? / /? , ? / /? ,则 ? / / ?

8.已知直线 l1 : x ? 2ay ?1 ? 0 , l2 : (a ? 1) x ? ay ? 0 ,若 l1 / / l2 ,则实数 a 的值为( A. ?



3 2

B.0

C. ?

3 或0 2

D.2

9 . 若 直 线 l : ax ? by ? 1 ? 0 始 终 平 分 圆 M : x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的 周 长 , 则

? a ? 2?
A. 5

2

? ? b ? 2 ? 的最小值为(
2

) D.10

B.5

C. 2 5

10.对某小区 100 户居民的月均用水量进行统计,得 到样本的频率分布直方图如图,则估计此样本的众数、 中位数分别为( ) A. 2.25 , 2.5 B. 2.25 , 2.02 C. 2 , 2.5 D. 2.5 , 2.25

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11.二进制数 10101 化为十进制数的结果为( (2) A. 15 B. 21 C. 33 D. 41

)

12.已知点 A(?2, 0) , B(2, 0) ,若圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 上存在点 P (不同于点 A, B )使 得 PA ? AB ,则实数 r 的取值范围是( A. [3,5] 二、填空题 13.若五个数1 , 2 , 3 , 4 , a 的平均数为 3 ,则这五个数的标准差是 14.对于下列表示五个散点,已知求得的线性回归 x 196 197 200 ? = 0.8x - 155 , 则 实 数 m 的 值 y 方程为 y 1 3 6 为 . . B. (1,3] ) C. [1,5] D. (1,5)

203 7

204 m

15.从1 , 2 , 3 , 4 这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率 是 . 16.已知点 A?1 ? m,0? , B ?1 ? m,0? ,若圆 C : x2 ? y 2 ? 8x ? 8 y ? 31 ? 0 上存在一点 P ,使得

??? ? ??? ? PA ? PB ? 0 ,则正实数 ...m 的最小值为



三、解答题 17. (本题 10 分)设△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 b(cosA-3cosC)=(3c -a)cosB. (Ⅰ)求

sin A 1 的值; (Ⅱ)若 cosB= ,且△ABC 的周长为 14,求 b 的值. sin C 6

18. (本题 12 分)某大学生在开学季 准备销售一种文具盒进行试创业,在 一个开学季内,每售出 1 盒该产品获 利润 50 元,未售出的产品,每盒亏 损 30 元.根据历史资料,得到开学 季市场需求量的频率分布直方图,如 图所示.该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 x (单位:盒,

100 ? x ? 200 )表示这个开学季内 的市场需求量, y (单位:元)表示
这个开学季内经销该产品的利润. (I)根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的众数和中位数; (II)将 y 表示为 x 的函数; (III)根据直方图估计利润 y 不少于 4800 元的概率.

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19. (本题 12 分) 如图所示, 四棱柱 ABCD ? A 侧棱 AA1 ? 底面 ABCD ,AB / / DC , 1B 1C1D 1 中,

AB ? AD , AD ? CD ? 1 , AA1 ? AB ? 2 , E 为 AA1 的中点.
(1)证明: B1C1 ? CE ; (2)求二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值; (3) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1 A 1 所成角的正弦值为 长.

2 , 求线段 AM 的 6

20. (本题 12 分)已知直角 ?ABC 的顶点 A 的坐标为 (?2, 0) ,直角顶点 B 的坐标为 (1, 3) ,顶 点 C 在 x 轴上. (1)求边 BC 所在直线的方程; (2)求直线 ?ABC 的斜边中线所在的直线的方程.

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21. (本题 12 分)设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? n ? 1 , n ? N ? . (1)证明:数列 {an ? n} 为等比数列,并求 {an } 的通项公式; (2)若数列 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . n(an ? 2n?1 ? 1)

2 22.(本题 12 分)已知圆 M : x ? ? y ? 4 ? ? 4 ,点 P 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的一动点,过点 P 2

作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)当切线 PA 的长度为 2 3 时,求点 P 的坐标; (2)若 ?PAM 的外接圆为圆 N ,试问:当 P 在直线 l 上运动时,圆 N 是否过定点?若存在, 求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由. (3)求线段 AB 长度的最小值.

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析: 因为 A ? B ? 0 , 则0? A且0? B , 所以 log7 m ? 0 ,n ? 0 , 即 m ? 1 ,n ? 0 , 所以 m ? n ? 1 ,故选 A. 考点:1、集合的元素;2、集合的交集运算. 2.B 【解析】

? 个单位,得到的图象对应的函数解析 6 ? ? ? 式为 y ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin( 2 x ? ? ? ), 再根据所得函数的图象关于 x ? 对称,可 6 3 4 ? ? ? ? 2? 得 2 ? ? ? ? k? ? , k ? Z , 即 ? ? k? ? , k ? Z , 则 ? 的一个可能的值为 ? . 4 3 2 3 3
试题分析:将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象向右平移 考点:1、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象变换规律;2、正弦函数的图象的对称性. 3.A 【解析】

D C ? A ? AD ? 2DB , 试题分析: 即C
故选 A. 考点:平面向量的线性表示 4.C 【解析】 试题分析: 依题意 故

????

??? ?

? ? ??

?? ? ? ?C B 2 C D ?

?

1 2 2 ?? ? , 解得 CD ? CA ? CB , ?, 3 3 3

??? ?

??? ?

??? ?

a2 ? a4 ? a6 解得 a1 ? 1 , ? q ? 2 ,a1 ? a3 ? a5 ? a1 ? a1q2 ? a1q4 ? 21 , a1 ? a3 ? a5

1 ? 29 S9 ? ? 511 . 1? 2
考点:等比数列基本性质. 5.D 【解析】 试题分析:由不等式的解集为 ( ?

1 1 , ) 可得方程 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 2 3

b ? 1 1 ? ? ?? ? ? 2 3 a ?a ? ?12 ?? ?? ? a ? b ? ?14 1 1 2 b ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 a
考点:三个二次关系 6.C
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【解析】

x ?1 ? ? 试题分析:画出不等式 ? x ? y ? 1 ? 0 所表示的平面区域,该区域是位于第一象限的△ABC ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
(如右图)

通过直线方程联解,可得 A(1,0) ,B(3,4) ,C(1,2) 设 z=F(x,y)=ax+y,可得 F(1,0)=a,F(3,4)=3a+4,F(1,2)=a+2, 显然,实数 a 不是零,接下来讨论: ①当 a>0 时,z=ax+y 的最小值为 F(1,0)=a=3,符合题意; ②当 a<0 时,z=ax+y 的最小值为 F(1,0) ,F(3,4) ,F(1,2)中的最小值, ∵F(1,0)=a 为负数,说明 z 的最小值为负数 ∴找不到负数 a 值,使 z=ax+y 的最小值为 3. 综上所述,得 a=3. 考点:简单线性规划 7.D 【解析】 试题分析: m ? l , n ? l 时 m, n 可平行,可相交,可异面; ? ? ? , ? ? ? 时 ? , ? 可平行, 可相交; m / /? , n / /? 时 m, n 可平行,可相交,可异面; ? / /? , ? / /? 时 ? / / ? ,所以选 D. 考点:线面关系 8.C 【解析】 试题分析:由于两条直线平行,所以 a ? 2a ? a ? 1? ? 0, a ? 0或 ?

3 . 2

考点:两直线的位置关系. 【易错点晴】解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件, 显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁.另外利用直线的斜率和截距讨论时, 不要忘记斜率不存在时的讨论.可将方程化成斜截式,利用斜率和截距进行分析;也可直接 利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解. 一般式方程化成斜截式方程时, 要注意直线 的斜率是否存在(即 y 的系数是否为 0 ). 9.B 【解析】 试题分析: 把圆的方程化为标准方程得 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4 , 所以圆心 M 坐标为 ? ?2, ?1?
2 2

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半径 r ? 2 , 因为直线 l 始终平分圆 M 的周长, 所以直线 l 过圆 M 的圆心 M , 把 M ? ?2 ,1 ?

?

代 入 直 线 l : ax ? by ? 1 ? 0 得 ; ?2a ? b ? 1 ? 0即 , 2 a ? b ? 1 ? 0 , ? a, b ? 在 直 线

2 x ? y ? 1 ? 0 上,? a ? 2 ? ? ? b ? 2 ? 是点 ? 2, 2 ? 与点 ? a, b ? 的距离的平方,因为 ? 2, 2 ? 到直
2 2

线 2a ? b ? 1 ? 0 的距离 d ?

4 ? 2 ?1 5

? 5 ,所以 ? a ? 2 ? ? ? b ? 2 ? 的最小值为 5 ,故选
2 2

B. 考点:1、圆的方程及几何性质;2、点到直线的距离公式及最值问题的应用. 【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用, 属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的 定义和平面几何的有关结论来解决, 非常巧妙; 二是将解析几何中最值问题转化为函数问题, 然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及 均值不等式法,本题就是利用几何意义,将 ? a ? 2 ? ? ? b ? 2 ? 的最小值转化为点到直线的
2 2

距离解答的. 10.B 【解析】 试题分析: 众数是指样本中出现频率最高的数, 在频率分布直方图中通常取该组区间得中点, 所以众数为

2 ? 2.5 ? 2.25 ,中位数是频率为 0.5 的分界点,由频率分布直方图可知前 4 组 2

的频率和为 ? 0.08 ? 0.16 ? 0.30 ? 0.44? ? 0.5 ? 0.49 ,因此中位数出现在第 5 组设中位数为

x ,则 ? x ? 2? ? 0.5 ? 0.01,则 2.02 ,故选 B.
考点:根据频率分布直方图求众数和中位数. 11.B 【解析】
4 2 0 试题分析: 10101 (2)? 2 ? 2 ? 2 ? 21

考点:进制转换 12.D 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 90 ? , 结 合 题 意 可 得 以 AB 为 直 径 的 圆 和 圆

( x ? 3)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 有交点,显然两圆相切时不满足条件,故两圆相交,而以 AB 为直
径的圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 两圆的圆心距为 3, 所以 | r ? 2 |? 3 ?| r ? 2 | , 解得 1 ? r ? 5 , 故选 D. 考点:1、直线与圆的位置关系;2、圆与圆的位置关系. 13. 2

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【解析】 试题分析:由平均数的定义知

1? 2 ? 3 ? 4 ? a ? 3 ,所以10 ? a ? 15 ,即 a ? 5 ;由方差的计 5

算公式可得 s ?

1 [(1 ? 3) 2 ? (2 ? 3) 2 ? (3 ? 3) 2 ? (4 ? 3) 2 ? (5 ? 3) 2 ] ? 2 . 5

考点:平均数和方差公式的运用及运算求解能力. 14.8 【解析】 试题分析: x ? 200, y ? 0.8 ? 200 ? 155 ? 5 ? m ? 8 . 考点:线性回归方程 15.

1 3

【解析】 试题分析:从 1,2,3,4 四个数中任取两个数共有 (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) 六种可能, 其中一个数是另一个的两倍的可能只有 (1,2), (2,4) 一种,所以其概率为 p ? 是

2 1 ? ,即概率 6 3

1 . 3

考点:列举法、古典型概率公式及运用. 16. 4 . 【解析】 试题分析:分析题意可知,问题等价于以 AB 为直径的圆与圆 C 有交点,故以 AB 为直径的 圆: ( x ?1)2 ? y 2 ? m2 ,而圆 C 化为标准方程: ( x ? 4)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 ,圆心距为 5 , ∴ | m ? 1|? 5 ? m ? 1 ? 4 ? m ? 6 ,即实数 m 的最小值是 4 ,故填: 4 . 考点:1.平面向量数量积;2.圆与圆的位置关系. 【思路点睛】用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些,其具体方法是:利用 圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距 d 和两圆的半径 R 和 r ,再根据 d 与 R ? r ,d 与 R ? r 的大小关系来判定 17. (Ⅰ)

1 (Ⅱ)6 3

【解析】 试题分析: ( I ) 由 b ( cosA-3cosC ) = ( 3c-a ) cosB . 利 用 正 弦 定 理 可 得 :

cos A ? 3cos C 3sin C ? sin A sin A 1 ? ? 得 c=3a.利用余 .化简整理即可得出. (II)由 cos B sin B sin B 3 1 弦定理及 cosB= 即可得出 6
试题解析: (1)由正弦定理得, (cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C) .
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5分

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又 A+B+C=π , 所以 sinC=3sinA,因此 (2)由

sin A 1 = . sin C 3

6分

sin A 1 = 得 c=3a, sin C 3 1 由余弦定理及 cosB= 得[来源:学科网 ZXXK] 6 1 2 2 2 2 2 2 2 b =a +c -2accosB=a +9a -6a × =9a . 6
所以 b=3a.又 a+b+c=14, 从而 a=2,因此 b=6. 考点:余弦定理;正弦定理 18. (I) 153 ; (II) y ? ?

10 分

12 分

?80 x ? 4800,100 ? x ? 160 ; (III) 0 .9 . ?8000,160 ? x ? 200

【解析】 试题分析: (I)借助题设条件运用余频率分布直方图和频率分布表的知识求解; (II)借助 题设运用已知建立分段函数进行求解; (III)依据题设运用概率的知识求解探求. 试题解析: (I)由频率直方图得:最大需求量为 150 的频率 ? 0.015 ? 20 ? 0.3 . 这个开学季内市场需求量的 x 众数估计值是 150; 需求量为 [100,120) 的频率 ? 0.005 ? 20 ? 0.1 , 需求量为 [120,140) 的频率 ? 0.01? 20 ? 0.2 , 需求量为 [140,160) 的频率 ? 0.015 ? 20 ? 0.3 , 需求量为 [160,180) 的频率 ? 0.0125 ? 20 ? 0.25 . 需求量为 [180, 200) 的频率 ? 0.0075 ? 20 ? 0.15 . 则 中 位 数

x ?1

1 ?

0

? .……………… 5分

0

?

(II)因为每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元, 所以当 100 ? x ? 160 时, y ? 50 x ? 30 ? (160 ? x) ? 80 x ? 4800 ,………………7 分 当 160 ? x ? 200 时, y ? 160 ? 50 ? 8000 ,………………9 分 所以 y ? ?

?80 x ? 4800,100 ? x ? 160 . ?8000,160 ? x ? 200

(III)因为利润不少于 4800 元所以 80 x ? 4800 ? 4800 ,解得 x ? 120 . 所以由(I)知利润不少于 4800 元的概率 p ? 1 ? 0.1 ? 0.9 .………………12 分
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考点:频率分布直方图和分段函数等有关知识的综合运用. 19. (1)证明见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1) 根据线面垂直有 CC1 ? B1C1 , 计算得 B1E 2 ? B1C12 ? EC12 , 即B C CE 1 1 ? 1 ,

21 ; (3) 2 . 7

所以 B1C1 ? 平面 CC1E ,所以 B1C1 ? CE ; (2)过 B1 作 B1G ? CE 于点 G ,连接 C1G .由 ( 1 ) 知 , B1C1 ? CE , 故 CE ? 平 面 B1C1G , 得 C E ? C 1 G. ∴ ?B 1GC1 为 二 面 角

B1 ? CE ? C1 的平面角.在 Rt ?B1C1G 中计算得 sin ?B1GC1 ?

21 ; (3) 连接 D1E , 过点 M 7
为直线 AM

A H 作 MH ? ED1 于点 H , 可得 MH ? 平面 ADD1 A 连接 AH,AM , 则 ?M 1,

AM ? x ,在 ?AEH 中利用余弦定理建立关于 x 的方程,求得 与平面 ADD1 A 1 所成的角.设
x? 2.
试题解析: (1)∵侧棱 CC1 ? 底面 A1B1C1D1 , B1C1 ? 平面 A1B1C1D1 ,∴ CC1 ? B1C1 . 经计算可得 B1E ? 5 , B1C1 ? 2 , EC1 ? 3 , ∴ B1E 2 ? B1C12 ? EC12 ,∴在 ?B1EC1 中, B1C1 ? C1E . 又∵ CC1 , C1E ? 平面 CC1 E , CC1 ? C1E ? C1 ,∴ B1C1 ? 平面 CC1 E . 又 CE ? 平面

CC1 E ,
∴ B1C1 ? CE . (2)如图所示,过 B1 作 B1G ? CE 于点 G ,连接 C1G . 由(1)知, B1C1 ? CE ,故 CE ? 平面 B1C1G ,得 CE ? C1G . ∴ ?B1GC1 为二面角 B1 ? CE ? C1 的平面角. 在 ?ECC1 中,由 CE ? C1E ? 3 , CC1 ? 2 ,可得 C1G ?

2 6 . 3

在 Rt ?B1C1G 中, B1G ?

42 21 ,∴ sin ?B1GC1 ? , 3 7
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即二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值为

21 . 7

(3)如图所示,连接 D1E ,过点 M 作 MH ? ED1 于点 H ,可得 MH ? 平面 ADD1 A 1, 连接 AH,AM ,则 ?MAH 为直线 AM 与平面 ADD1 A 1 所成的角. 设 AM ? x ,从而在 Rt ?AHM 中,有 MH ?

34 2 x. x , AH ? 6 6
2 MH ? 1 x. 3

在 Rt ?C1D1E 中, C1D1 ? 1 , ED1 ? 2 ,得 EH ? 在 ?AEH 中, ?AEH ? 135? , AE ? 1 , 由 AH 2 ? AE 2 ? EH 2 ? 2 AE ?EH cos135? ,



17 2 1 2 x ? 1 ? x2 ? x, 18 9 3
2 (负值舍去).

整理得 5x2 ? 2 2 x ? 6 ? 0 ,解得 x ? ∴线段 AM 的长为 2 .

考点:立体几何证明垂直与求面面角. 【方法点晴】本题要熟练掌握两个平面所成的角和直线与平面所称的角的概念.解题时,注 意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关 系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对 的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、 直角梯形等等. 20. (1) 3x ? y ? 2 3 ? 0 ; (2)直角 ?ABC 的斜边中线 OB 的方程为 y ? 3x . 【解析】 试题分析: (1)由 AB ? BC ,故 k AB ? kBC ? ?1 ,而 k AB ?

3 ,且 B(1, 3) ,由点斜式可 3

得边 BC 所在直线的方程; (2)易求斜边 AC 的中点为 (0, 0) ,则直角 ?ABC 的斜边中线为

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OB ,而 B(1, 3) ,即可求得线 ?ABC 的斜边中线所在的直线的方程
试题解析: (1)依题意,直角 ?ABC 的直角顶点为 B(1, 3) 所以 AB ? BC ,故 k AB ? kBC ? ?1 , 又因为 A(?3, 0) , 所以 k AB ?

3 ?0 3 1 ,从而 k BC ? ? ? ?? 3. 1? 2 3 k AB

所以,边 BC 所在直线的方程为 y ? 3 ? ? 3( x ?1) , 即 3x ? y ? 2 3 ? 0 . (2)因为直线 BC 的方程为 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,点 C 在 x 轴上, 由 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 C (2, 0) , 所以,斜边 AC 的中点为 (0, 0) , 故直角 ?ABC 的斜边中线为 OB ( O 为坐标原点) . 设直线 OB : y ? kx ,代入 B(1, 3) ,得 k ? 3 , 所以直角 ?ABC 的斜边中线 OB 的方程为 y ? 3x . 考点:两条直线垂直的充要条件,点斜式,中点坐标公式 21. (1)证明见解析, an ? 2n?1 ? n ; (2) S n ? 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 在 已 知 式 两 边 同 减 去

n . n ?1

n ?1 得

an?1 ? (n ? 1) ? 2an ? n ? 1 ? (n ? 1) ? 2(an ? n) , 即

an?1 ? (n ? 1) ?2 an ? n

,再求出首项

a1 ? 1 ? 1 即可证明该数列为等比数列,由等比数列的通项公式先求出数列 {an ? n} 的通项
公式,即可求数列 {an } 的通项公式; ( 2 )将数列 {an } 的通项公式代入 bn 的表达式得

bn ?

1 1 1 1 ,代入 Sn 即可. ? ? ? n?1 n(an ? 2 ? 1) n(n ? 1) n n ? 1

试题解析: ( 1 ) 证 明 : 由 已 知 得 an?1 ? (n ? 1) ? 2an ? n ? 1 ? (n ? 1) ? 2(an ? n) , 即

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an?1 ? (n ? 1) ?2, an ? n
∴数列 {an ? n} 为等比数列, 公比为 2, 首项为 a1 ? 1 ? 1 , ∴ an ? n ? 2n?1 , ∴ an ? 2n?1 ? n . (2)解: bn ? ∴ Sn ? 1 ?

1 1 1 1 , ? ? ? n?1 n(an ? 2 ? 1) n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ?1? ? . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

考点:等比数列的定义与性质;2.裂项相消法求和. 22. (1) P ? 0,0? 或 P ? 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 因 为 PA 是 圆 M 的 一 条 切 线 , 所 以 ?MAP ? 90? ,

? 16 8 ? ?8 4? (2)圆过定点 ? 0, 4 ? , ? , ? ; (3) 11 . , ?; ? 5 5? ?5 5?

? MP ?

? 0 ? 2b ? ? ? 4 ? b ?
2

2

0 (2) 设 P ? 2b, b ? , ∵ ?MAP ? 90 , ∴经过 A, P, M ? AM 2 ? AP2 ? 4 ,即可点 P 的坐标;

2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4 ? 2 ? N MP 三点的圆 以 为 直 径 , 其 方 程 为 ? x ? b? ? ? y ? ,即 ? ? 2 ? 4 ? 2 2

(3)求出点 M 到直线 AB 的距离, ? 2 x ? y ? 4 ? b ? ? x 2 ? y 2 ? 4 y ? ? 0 ,即可得出结论; 用勾股定理, 即可求线段 AB 长度的最小值. 试题解析: (1)由题意知,圆 M 的半径 r ? 2, M ? 0, 4? ,设 P ? 2b, b ? , ∵ PA 是圆 M 的一条切线,∴ ?MAP ? 90 ,
0



∴ MP ?

? 0 ? 2b ? ? ? 4 ? b ?
2

2

? AM 2 ? AP 2 ? 4 ,解得 b ? 0, b ?

8 , 5

∴ P ? 0,0? 或 P ?

? 16 8 ? , ?. ? 5 5?
0

(2)设 P ? 2b, b ? ,∵ ?MAP ? 90 ,∴经过 A, P, M 三点的圆 N 以 MP 为直径,其方程
2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4 ? ? 为 ? x ? b? ? ? y ? , ? ? 2 ? 4 ? 2 2 2
2 2 即 ? 2x ? y ? 4? b ? x ? y ? 4 y ? 0 ,

?

?

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8 ? x? ? ? 2x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 0 ? 5 由? 2 ,解得 ? 或? , 2 ?x ? y ? 4 y ? 0 ?y ? 4 ?y ? 4 ? 5 ?
∴圆过定点 ? 0, 4 ? , ? , ? ,
2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4 ? ? (3)因为圆 N 方程为 ? x ? b ? ? ? y ? , ? ? 2 ? 4 ? 2 2 2

?8 4? ?5 5?

即 x ? y ? 2bx ? ?b ? 4? y ? 4b ? 0 ,
2 2
2 圆 M : x ? ? y ? 4 ? ? 4 ,即 x2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 , 2

②-①得:圆 M 方程与圆 N 相交弦 AB 所在直线方程为:

2bx ? ?b ? 4? y ?12 ? 4b ? 0 ,
点 M 到直线 AB 的距离 d ?

4 5b 2 ? 8b ? 16



相交弦长即: AB ? 2 4 ? d 2 ? 4 1 ?

4 4 , ? 4 1? 2 5b ? 8b ? 16 4 ? 64 ? 5? b ? ? ? 5? 5 ?
2

当b ?

4 时, AB 有最小值 11 . 5

考点:1、待定系数法求点的坐标;2、最值问题及曲线过定点问题. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求点的坐标、最值问题及曲线过定点问题,属于难 题.解决曲线过定点问题一般有两种方法:①探索曲线过定点时,可设出曲线方程,然后利 用条件建立等量关系进行消元, 借助于曲线系的思想找出定点, 或者利用方程恒成立列方程 组求出定点坐标.②从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.本题(2)是运用 方法①列方程组求出定点坐标的.

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