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正余弦定理复习讲义(精典)


正余弦定理复习讲义(精典)
1.正弦定理:________=________=________=2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正 弦定理可以变形为: (1)a∶b∶c=________________; (2)a=__________, b=__________, c=__________;(3)sin A=________,sin B=__________,sin C=________等形式,以 解决不同的三角形问题. 2.余弦定理:a2=________________,b2=________________,c2=________________.余 弦 定 理 可 以 变 形 为 : cos A = ________________ , cos B = ____________ , cos C = __________. 1 1 1 abc 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径),并 2 2 2 4R 2 可由此计算 R、r. 4.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题: (1)已知两角及任一边,求其它边或角; (2) 已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解,应注 意区分. 余弦定理可解决两类问题: (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;(2)已知三边 问题. [难点正本 疑点清源] 解三角形时,三角形解的个数的判断 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 A 为钝角或直角

a+b+c 1.(课本精选题)在△ABC 中,若 A=60° ,a= 3,则 =________. sin A+sin B+sin C 2π 2.(2010· 北京)在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= ,则 a=________. 3 3.(课本改编题)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B=________. π 4.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 c=3,C= ,a=2b,则 3 b 的值为________. 5.已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面 积为 A.2 2 B.8 2 C. 2 D. 2 2 ( )

题型一 利用正弦定理求解三角形

例1

在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A、C 和边 c. (1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解

探究提高 即可.

(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角, 这是解题的难点,应引起注意. (典例新编)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a =1,b= 3,A+C=2B,则角 A 的大小为________. 题型二 利用余弦定理求解三角形 例2 cos B b 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 探究提高 的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且满足 cos =3. (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值. 题型三 正、余弦定理的综合应用 例3 (2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin A+sin C= 1 psin B (p∈R),且 ac= b2. 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 探究提高 在已知关系式中,若既含有边又含有角.通常的思路是:将角都化成边或将边 都化成角,再结合正、余弦定理即可求角. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状. 思考:在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试判断△ABC 的形状. A 2 5 →→ = , AB · AC 2 5 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题

A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.(2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B 等于 1 1 A.- B. 2 2 ( C.-1 D.1 )

2.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcos C,则此三角形一定是 ( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 a+b+c 3.在△ABC 中,若∠A=60° ,b=1,S△ABC= 3,则 的值为 sin A+sin B+sin C 26 3 2 39 39 13 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 二、填空题 π 1 4.(2011· 北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a=________. 4 3 5.(2011· 福建)若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则边 AB 的长度等于________. 9 6.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC=________. 10 三、解答题 7.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A 是锐角,且 3b=2a· sin B. (1)求 A; (2)若 a=7,△ABC 的面积为 10 3,求 b2+c2 的值. 8. 在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c.已知 a2-c2=2b, 且 sin B=4cos Asin C, 求 b. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.(2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A b = 2a,则 等于 ( ) a A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2 ( 6 D. 6 ) 2. (2011· 天津)如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD, 2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值为 3 3 6 A. B. C. 3 6 3 则 A.a>b C.a=b 二、填空题 4.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列,且 B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定 )

(

)

3.(2010· 湖南)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120° ,c= 2a, ( )

a2-c2=ac-bc,则∠A=________ b a tan C 5.(2010· 江苏)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + =6cos C,则 a b tan A tan C + 的值是______. tan B 1 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若其面积 S= (b2+c2-a2),则 A 4 =________. 三、解答题 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 8.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,4sin2 (1)求∠A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值. B+C 7 -cos 2A= . 2 2


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