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2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案:1.1正弦定理和余弦定理名师导航学案及答案

1.1

正弦定理和余弦定理

知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 (1) 正 弦 定 理 : 在 一 个 三 角 形 中 , 各 边 和 它 所 对 角 的 正 弦 的 比 相 等 , 即

a b c ? ? . sin A sin B sin C
(2)余弦定理:三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 2 2 2 2 2 2 2 2 2 的余弦积的两倍,即 a =b +c -2bccosA,b =c +a -2accosB,c =a +b -2abcosC.

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a 2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 (3)余弦定理的推论:cosA= ,cosB= ,cosC= . 2bc 2ac 2ab
2.正弦定理的推广及变形

1 1 1 absinC= bcsinA= acsinB. 2 2 2 a b c ? ? (2)设 R 为△ABC 外接圆的半径,则 =2R, sin A sin B sin C
(1)由正弦定理的推导过程,得面积公式 S△ABC= 则有如下边角互化公式: a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC——边化角公式; sinA=

a b c ,sinB= ,sinC= ——角化边公式; 2R 2R 2R

a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. 知识导学 本节知识在现实生活中应用广泛,与前面学过的很多内容联系密切.所以学习本节前, 要对相关的知识进行系统的复习.如初中我们学习过的勾股定理、三角形的面积公式以及三 角形的内心、外心、重心、垂心等性质,还有三角形内角和、三边关系、内角平分线定理等 相关内容.这些知识对本节的学习起着基础性的作用. 由于此类问题主要有两类考查方式: 一是与三角函数结合, 再是与平面向量尤其是向量 的数量积结合,求值或判断三角形的形状.所以学习中还要注意与三角函数、平面向量等知 识联系,将新知识融入到已知的知识体系中,从而提高综合运用知识的能力. 疑难突破 1.如何恰当地使用正、余弦定理? 剖析:正、余弦定理揭示的都是同一个三角形的边角间的关系,有了这两个重要定理后,对 于三角形问题的解决就有了一定的信心.在应用时, 通常视题中所给的具体条件而定.一般说 来,正弦定理常宜解决下列问题:(1)已知两角及一边,求其他元素;(2)已知两边及其中一 边的对角,求其他元素.而余弦定理常宜解决下列问题:(3)已知三边,求各角;(4)已知两 边及其夹角,求其他元素. 由于三角形全等的判定定理有“角角边”“角边角”“边边边”“边角边”, 所以以上 的(1)(3)(4)情形都只有一解,而(2)这样的情形可能有一解、两解或无解. 当然这也不是绝对的, 有关解三角形的问题, 在具体的问题中如何恰当地使用这两个定 理必须视具体问题而定, 有时在同一个问题中可能这两个定理要同时使用才能达到目的或者 使用其中的任何一个定理都可以达到目的.另外,还应当注意使用方式, 是利用定理的原始形 式还是使用相应的某种变形形式,这都是要在具体问题中去具体地分析才行. 2.解决三角形问题时,除了正、余弦定理及三角形面积公式是基础外,还要用到哪些基础知

识?应注意的问题是什么?有什么规律? 剖析:另外还用到的知识主要有:(1)三角形的一些性质,如:内角和定理、勾股定理、大边 对大角等,如 cos(B+C)=-cosA,tan

A? B C ? ? cot ,sin(2A+2B)=-sin2C. 2 2

(2)三角变换.三角变换是基础,是计算和证明的关键. 规律:(1)分析条件,缩小差异,尽量实现边角的统一,或化边为角,化角为边;(2)选用合 适的公式,将三角变换和解三角形问题结合起来.(3)注意画图,分清题意,注意条件和结论 的联系,选准突破口.


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