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高中数学3.2立体几何中的向量方法3.2.1用向量方法解决平行问题课件新人教a选修2_1_图文

第1课时

用向量方法解决平行问题

1.理解直线的方向向量和平面的法向量. 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.

1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向 量确定.这个向量叫做直线的方向向量. (2)直线l垂直于平面α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的 法向量. 【做一做1-1】 若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方 向向量为( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)

解析: ∵ = (2,4,6), ∴ 的一个方向向量应平行于. 故选A.
答案:A

【做一做1-2】 若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量 中能作为平面α的法向量的是( ) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 解析:同一个平面的法向量平行,故选D. 答案:D

2.空间中平行关系的向量表示 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则 (1)线线平行:l∥m?a∥b?a=kb(k∈R); (2)线面平行:l∥α?a⊥u?a· u=0; (3)面面平行:α∥β?u∥v?u=kv(k∈R). 【做一做2-1】 下列各组向量中不平行的是( ) A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40) 解析:A项中,b=-2a?a∥b;B项中,d=-3c?d∥c;C项中,零向量与任何 向量都平行.故选D. 答案:D

【做一做2-2】 若两个不同平面α,β的法向量分别为μ=(1,2,-1), υ=(-3,-6,3),则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.以上均不正确

解析:∵α,β 的法向量满足 μ=? ,

∴μ∥υ,∴α∥β.
答案:A

1 3

1.求一个平面的法向量的一般步骤 剖析:若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要先建立空间直 角坐标系,再用待定系数法求解,一般步骤如下: (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). · = 0, (3)根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组 · = 0. (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量. · = 0, 在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组 · = 0 有无数多个解,只需给 x,y,z 中的一个变量赋一个值,即可确定平面的 一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向 量.注意赋值不能为零.

2.用向量方法证明空间中的平行关系 剖析:空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面 平行. (1)线线平行 设不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证 明a∥b,即a=kb(k∈R). (2)线面平行 ①设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需 证明a⊥u,即a· u=0. ②根据线面平行的判定定理:“如果直线(平面外)与平面内的一条 直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个 平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共 线向量即可.

③要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向
量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可. (3)面面平行 ①由平面与平面平行的判定定理可知,要证明面面平行,只要转 化为证明相应的线面平行、线线平行即可. ②若能求出平面α,β的法向量u,v,则要证明α∥β,只需证明u∥v即 可.

题型一

题型二

题型三

利用向量方法判定线、面的位置关系 【例1】 (1)设a,b分别是两条不同的直线l1,l2的方向向量,判断l1,l2 的位置关系: ①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); ②a=(5,0,2),b=(0,4,0). (2)设u,v分别是两个不同的平面α,β的法向量,判断α,β的位置关系:

①u=(1,-1,2),v=

1 3,2,2

;

②u=(0,3,0),v=(0,-5,0).
(3)设u是α的法向量,a是直线l的方向向量,判断α,l的位置关系: ①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2); ②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12).

题型一

题型二

题型三

解:(1)①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),

∴a=? 3 , ∴a∥b.∴l1∥l2. ②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0), ∴a· b=0,∴a⊥b.∴l1⊥l2. 1 (2)①∵u=(1,-1,2),v= 3,2,- , 2 ∴u· v=0,∴u⊥v.∴α⊥β. ②∵u=(0,3,0),v=(0,-5,0), 3 ∴u=? 5 , ∴u∥v.∴α∥β. (3)①∵u=(2,2,-1),a=(-3,4,2), ∴u· a=0,∴u⊥a.∴l∥α 或 l?α. ②∵u=(0,2,-3),a=(0,-8,12), 1 ∴u=? 4 , ∴u∥a.∴l⊥α.

1

题型一

题型二

题型三

反思解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法 向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断 向量共线、垂直的方法.在把向量问题转化为几何问题时,要注意 两者的区别,如第(3)问中的①题,直线的方向向量和平面平行,则直 线可能在平面内,也可能与平面平行.

题型一

题型二

题型三

【变式训练1】 根据下列条件,判断相应的线、面位置关系: (1)直线l1,l2的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2); (2)两个不同的平面α,β的法向量分别是μ=(1,3,0),υ=(-3,-9,0); (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a=(1,-4,-3), μ=(2,0,3). 解:(1)∵a=(1,-3,-1),b=(8,2,2), ∴a· b=8-6-2=0,∴a⊥b,即l1⊥l2. (2)∵μ=(1,3,0),υ=(-3,-9,0), ∴υ=-3μ,∴υ∥μ,即α∥β. (3)∵a=(1,-4,-3),μ=(2,0,3), ∴a· μ≠0,且a≠kμ(k∈R), ∴a与μ既不共线也不垂直,即l与α相交但不垂直.

题型一

题型二

题型三

平面的法向量的求法 【例2】 四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量. 分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共 线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.

题型一

题型二

题型三

解:∵AD,AB,AS 是三条两两垂直的线段,∴以 A 为原点,以 , , 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 如图所示,则 A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2), ∴ = (1,0,0)是平面SAB 的法向量. 设平面 SCD 的一个法向量为 n=(1,y,z), 则 n· = (1, , )· (1,2,0)=1+2y=0,

∴y=? 2.
又 n· = (1, , )· (-1,0,2)=-1+2z=0,

1

∴z= 2. ∴n=

1

1 1 1,- , 2 2

即为平面SCD 的法向量.

题型一

题型二

题型三

反思任一平面的法向量有无数个,一般用待定系数法解一个三元一 次方程组,求得其中的一个即可.构造方程组时,注意所选平面内的 两个向量是不共线的,赋值时应保证所求法向量为非零向量,本题 中的法向量的设法值得借鉴.

题型一

题型二

题型三

【变式训练2】 已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个 法向量.

解:设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z), 由题意 = (?1,1,0), = (1,0, ?1). · = - + = 0, ∵n⊥ , 且n⊥ , ∴ · = - = 0, 令 x=1,得 y=z=1. ∴平面 ABC 的一个法向量为 n=(1,1,1).

题型一

题型二

题型三

利用向量法证明空间中的平行关系 【例3】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是 棱AA1,BB1,A1B1的中点. 求证:CE∥平面C1E1F.

题型一

题型二

题型三

证明:以 D 为坐标原点,以, , 1 的方向分别为x,y,z 轴正方 向,建立空间直角坐标系,如图.

设 BC=1,则 C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E1 1, ,2 .

1 2

题型一

题型二

题型三

设平面 C1E1F 的法向量为 n=(x,y,z).

1 ∵ 1 1 = 1,- ,0 , 1 = (?1,0,1), 2
1

∴ 即 = 2 , 取n=(1,2,1). = , · 1 = 0, ∵ = (1, ?1,1),n· = 1 ? 2 + 1 = 0, ∴ ⊥n,且 ?平面 C1E1F. ∴CE∥平面 C1E1F.

· 1 1 = 0,

题型一

题型二

题型三

【变式训练 3】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M,N 分 别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN=
2 . 求证: ∥平面 3

BB1C1C.

题型一

题型二

题型三

证明:以 D 为坐标原点,以, , 1 的方向为x 轴、y 轴、z 轴 的正方向建立空间直角坐标系如图所示,

则 A(a,0,0),B(a,a,0),

1 2 则 = (0, , 0), = - ,0,- , 3 3
所以 · = 0, 即 ⊥ . 又为平面BB1C1C 的法向量,且 MN?平面 BB1C1C, 所以 MN∥平面 BB1C1C.

1 2 , , 3 3

,

2 1 , ,0 3 3

,


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