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集合的概念与运算教案


集合的概念与运算
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 全国新课标 1.集合的概念 2.集合与集合间的关系 3.集合间的运算

适用年级 课时时长(分钟)

高中一年级 60

教学目标

1. 通过案例培养学生的分类讨论思想、数形结合思想。 2. 在解决一些集合问题时,学会转换思想,交、并、补集的思想。 3. 会用数轴分析解决集合问题,掌握空集特性,集合间的关系与运算。

教学重点 教学难点

元素的特性、集合的表示、子集及其性质、集合基本运算 子集、真子集以及空集的性质,交、并、补、全集的性质

教学过程
一、 复习预习
复习初中接触过的常见数集 、不等式组的解集、一元二次方程的根。 预习集合相关概念

二、知识讲解
课程引入:
体育课上老师高喊: “1.3 班集合” ,1.3 班同学会从四面八方聚集到老师身边,不是 1.3 班的就会自动走开,老师的 一声”集合” ,就把“一些确定的不同对象聚集在一起了” 。

考点/易错点 1、元素与集合的概念,元素的特性
1. 相关概念:我们把研究对象统称为元素,用小写字母 a、b、c……表示;把一些元素组成的总体叫做集合,用大 写字母 A、B、C……表示。 2. 3. 元素三要素:确定性、互异性、无序性 元素与集合间的关系:元素与集合有“属于“和“不属于“两种关系,分别用符号“∈”和“?”表示

考点/易错点 2、集合的表示方法
1.集合的表示法:列举法、描述法、韦恩图 2.常见集合的符号表示: 集合 表示 自然数集 N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

考点/易错点 3、集合间的关系
描述关系 集合 间的 基本 关系 真子集 相等 子集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 符号语言

A=B A?B 或 B?A

A 中任意一元素均为 B 中的元素

A 中任意一元素均为 B 中的元素,且 B A B(或 B A)
中至少有一个元素 A 中没有 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 ?? B ? B(B≠? )

空集

集合 A 中有 n 个元素,则集合 A: 子集个数有 2 个,真子集个数 2 -1 个,非空子集个数 2 -1 个,非空真子集个数 2 -2 个
n n n n

考点/易错点 4、集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集 若全集为 U, 则集合 A 的补集为? UA

符号表示

A∪B

A∩B

图形表示 意义 {x|x∈A,或 x∈B} {x|x∈A,且 x∈B} {x|x∈U,且 x? A}

三、例题精析
【例题 1】
【题干】用列举法表示方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集。

【答案】{-1,3} 【解析】,,列举法表示{-1,3}

【例题 2】
【题干】求不等式 2 x ? 3 ? 5 的解集。

【答案】{x|x>4} 【解析】2x-3>5,2x>8,x>4

【例题 3】
【题干】已知 a、b∈R,集合{0,,b}={1,a+b,a},求 b-a 的值

【答案】2 【解析】由题知 a≠0,则 a+b=0,a=-b,所以 =-1,又由=a,得 a=-1,所以 b=1,b-a=2

【例题 4】
【题干】已知集合 A ? ? x ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R? ,若集合 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围.

【答案】a=0 或 a≤-1 【解析】当 a=0 时,x=-1 ,满足;当 a≠0 时,≤0,即 4+4a≤0,所以 a≤-1,综上,a=0 或 a≤-1

【例题 5】
【题干】已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A ,x-y∈A};则 B 中所含元素的个数为( A.3 C. 8 B.6 D.10 )

【答案】D 【解析】x=5,y=1,2,3,4;x=4,y=1,2,3;

x=3,y=1,2;x=2,y=1.共 10 个

【例题 6】
【题干】(2012·浙江高考)设集合 A={x|1<x<4},B={x|x2-2x-3≤0},则 A∩(? RB)=( A.(1,4) C.(1,3) B.(3,4) D.(1,2) )

【答案】B 【解析】 A=(1,4),B=[-1,3],则 A∩(? RB)=(3,4).

【例题 7】
【题干】(2013·云南师大附中高三模拟)设集合 A={x|x= A.{1,2,5} C.{1,4,5} B.{1,2,4,5} D.{1,2,4} 3k+1,k∈N},B={x|x≤5,x∈Q},则 A∩B 等于( )

【答案】B 【解析】当 k=0 时 x=1;当 k=1 时 x=2;当 k=5 时 x=4;当 k=8 时 x=5,故选 B.

【例题 8】
【题干】如图,I 是全集,A、B、C 是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )

A.(? IA∪B)∩C C.(A∩B )∩? IC

B.(? IB∪A)∩C D.(A∩? IB)∩C

【答案】D 【解析】由图可知阴影部分所表示的集合是(A∩? IB)∩C.故选 D.

【例题 9】
【题干】定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合 A={0,1},B={2,3},则集合 A⊙B 的所有元素 之和为( A.0 C.12 【答案】D 【解析】由 A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},A={0,1},B={2,3}. 当 x=0 时,无论 y 为何值,都有 z=0; 当 x=1,y= 2 时,z=1×2×(1+2)=6; 当 x=1,y=3 时,z=1×3×(1+3)=12. ∴A⊙B={0,6,12},各元素之和为 18. ) B.6 D.18

四、课堂运用
【基础】
1. (2012·新课标全国卷)已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( A.A ? B C.A=B B.B ? A D.A∩B=? )

【答案】B 【解析】A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},

B={x|-1<x<1},所以 B ? A.

2.(2012·山西四校联考)已知集合 M={0,1},则满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 的个数是( A.2 C. 4 B.3 D.8

)

【答案】C 【解析】依题意得,满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 有{2},{0,2},{1,2},{0,1,2}共 4 个.

3.设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=( A.{3,0} C.{3,0,2} B.{3,0,1} D.{3,0,1,2}

)

【答案】B 【解析】因为 P∩Q={0},所以 0∈P,log2a=0,a=1,而 0∈Q,所以 b=0.所以 P∪Q={3,0,1}.

4.(2013·天津新华中学模拟)设集合 A={x||x-a|<1 },B={x|1<x<5},若 A∩B=? ,则实数 a 的取值范围是( A.{a|0≤a≤b} C.{a|a≤0 或 a≥6} B.{a|a≤2 或 a≥4} D.{a|2≤a≤4}

)

【答案】C 【解析】解|x-a|<1 得 a-1<x<a+1,由 A∩B=? 得,a-1≥5 或 a+1≤1,即 a≥6 或 a≤0,故选 C.

【巩固】
5.(2012·天津高考)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)( x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m= ________,n=________.

【答案】-1,1 【解析】∵A={x∈R||x+2|<3}= {x|-5<x<1}, 又∵A∩B=(-1,n),画数轴可知 m=-1,n=1.

6.(文)已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(? RB)=R,则实数 a 的取值范围是________.

【答案】 【解析】

a ≥2
? RB=(-∞,1]∪[2,+∞),又 A∪(? RB)=R,借助数轴可得 a≥2.

(理)已知全集 I={x|x∈R},集合 A={x|x≤1,或 x≥3},集合 B={x|k<x<k+1,k∈R},且(? IA)∩B=? ,则实数 k 的取 值范围是________.

【答案】

(-∞,0]∪[3,+∞)

【解析】 ∵A={x|x≤1,或 x≥3},∴? IA={x|1<x<3}. 又∵B={x|k<x<k+1,k∈R},且(? IA)∩B=? , ∴k≥3 或 k+1≤1,即 k≥3 或 k≤0.

7.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不 喜爱乒乓球运动的人 数为________.

【答案】12

【解析】借助 Venn 图分析(如图所示).

【拔高】 8.已知集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若 A∩B={-3},求 A∪B.

【解析】

由 A∩B={-3}知,-3∈B.

又 a2+1≥1,故只有 a-3,a-2 可能等于-3. ①当 a-3=-3 时,a=0, 此时 A={0,1,-3},B= {-3,-2,1},A∩B{1,-3}. 故 a=0 舍去. ②当 a-2=-3 时,a=-1, 此时 A={1,0 ,-3},B={-4,-3,2}, 满足 A∩B={-3},从而 A∪B={-4,-3,0,1,2}.

9. 已知集合 A={y|y =2x-1,0<x≤1}, B={x|(x -a)[x-(a+3)]<0}. 分别根据下列条件, 求实数 a 的取值范围. ∩B=A; (2)A∩B≠? .

(1)A

【解析】 因为集合 A 是函数 y=2x-1(0<x≤1)的值域, 所以 A=(-1,1],B=(a,a+3). ? ?a≤-1, ? (1)A∩B=A? A?B? ? ?a+3>1, 即-2 <a≤-1, 故 a 的取值范围是(-2,-1]. (2)当 A∩B=? 时,结合数轴知,a≥1 或 a+3≤-1,即 a≥1 或 a≤-4. 故当 A∩B≠? 时,a 的取值范围是(-4,1).

10.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R}. (1)若 A∩B=[1,3],求实数 m 的值; (2)若 A?? RB,求实数 m 的取值范围.

【解析】A={x|-1≤x≤3},

B={x|m-2≤x≤m+2}.

? ?m-2=1, (1)∵A∩B=[1,3],∴? ? ?m+2≥3,

得 m=3.

(2)? RB={ x|x<m-2,或 x>m+2}. ∵A ?? RB,∴m-2>3 或 m+2<-1. ∴m>5 或 m<-3.

五、课堂小结 1. 相关概念 (1)一般的,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合 (2)元素三要素:确定性、互异性、无序性 (3)表示法:列举法、描述法、Veen 图法 (4)分类:有限集和无限集

2. 关系 (1)集合与元素:“属于”或者”不属于“,记成 a∈A,a? A (2)集合与集合:子集、相等、真子集、空集 子集:A 中任意一元素均为 B 中的元素,记做 A?B 或 B?A 性质:A?A ;如果 A?B,且 B?C,那么 A?C。 相等:集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同,记做 A=B 真子集:A 中任意一元素均为 B 中的元素,且 B 中至少有一个元素 A 中没有,记做 A B(或 B A) 性质:如果 A B,且 B C,那么 A C 空集:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

3. 运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 若全集为 U, 则集合 A 的补集为? UA

符号表示

A∪B

A∩B

图形表示 意义 {x|x∈A,或 x∈B} {x|x∈A,且 x∈B} {x|x∈U,且 x? A}

4.交、并、补、全集的性质 交集:①A∩B=B∩A;②A∩A=A;③A∩? =? ;④A∩B=A,那么 A?B;⑤A∩B?A,A∩B?B 并集:①A∪B=B∪A;②A∪A=A;③A∪? =A ;④A?(A∪B) ,B?(A∪B) ; ⑤若 A∪B=A,那么 B?A;A∪B=B,那么 A?B 全集与补集:①A∪? UA=U;②A∩? UA=? ;③? U(? UA)=A;④? U? =U;⑤? UU=? 得摩根公式:①? U(A∪B)=(? UA)∩(? UB) ;②? U(A∩B)=(? UA)∪(? UA) 运算律:结合律①A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;②A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率①A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ;②A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)


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