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【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式教师用书 理 苏教版

§4.5

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β tan α -tan β tan(α -β )= 1+tan α tan β tan α +tan β tan(α +β )= 1-tan α tan β 2.二倍角公式 sin 2α =2sin α cos α ; cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α tan 2α = . 2 1-tan α 3.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形 用等.如 T(α ±β )可变形为 tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan α tan β ), tan α +tan β tan α -tan β tan α tan β =1- = -1. tan?α +β ? tan?α -β ? 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.( √ ) (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( ? )
2 2 2 2

(C(α -β )); (C(α +β )); (S(α -β )); (S(α +β ));

(T(α -β )); (T(α +β )).

tan α +tan β (3)公式 tan(α +β )= 可以变形为 tan α +tan β =tan(α +β )(1-tan 1-tan α tan β α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( ? ) (4)存在实数 α ,使 tan 2α =2tan α .( √ ) π (5)设 sin 2α =-sin α ,α ∈( ,π ),则 tan 2α = 3.( 2 √ )

1

1.(2013?浙江改编)已知 α ∈R,sin α +2cos α = 3 答案 - 4 解析 ∵sin α +2cos α = 10 , 2

10 ,则 tan 2α = 2

.

5 2 2 ∴sin α +4sin α cos α +4cos α = . 2 化简得:4sin 2α =-3cos 2α , sin 2α 3 ∴tan 2α = =- . cos 2α 4 sin α +cos α 1 2.若 = ,则 tan 2α = sin α -cos α 2 答案 3 4 .

sin α +cos α 1 tan α +1 1 解析 由 = ,等式左边分子、分母同除 cos α 得, = ,解得 tan sin α -cos α 2 tan α -1 2 α =-3, 2tan α 3 则 tan 2α = = . 2 1-tan α 4 3 .(2013?课标全国Ⅱ)设 θ = 答案 - . 10 5 π? 1 ? 为第二象限角,若 tan ?θ + ? = ,则 sin θ + cos θ 4? 2 ?

π? 1 1 ? 解析 ∵tan?θ + ?= ,∴tan θ =- , 4? 2 3 ?
? ?3sin θ =-cos θ , 即? 2 2 ? ?sin θ +cos θ =1,

且 θ 为第二象限角,

解得 sin θ =

10 3 10 ,cos θ =- . 10 10 10 . 5 .

∴sin θ +cos θ =-

4.(2014?课标全国Ⅱ)函数 f(x)=sin(x+2φ )-2sin φ cos(x+φ )的最大值为 答案 1

2

解析 ∵f(x)=sin(x+2φ )-2sin φ cos(x+φ ) =sin[(x+φ )+φ ]-2sin φ cos(x+φ ) =sin(x+φ )cos φ +cos(x+φ )sin φ -2sin φ cos(x+φ ) =sin(x+φ )cos φ -cos(x+φ )sin φ =sin[(x+φ )-φ ]=sin x, ∴f(x)的最大值为 1.

题型一 三角函数公式的基本应用 例 1 (1)设 tan α ,tan β 是方程 x -3x+2=0 的两根,则 tan(α +β )的值为 π π π 1 (2)若 0<α < ,- <β <0,cos( +α )= , 2 2 4 3 π β 3 β cos( - )= ,则 cos(α + )= 4 2 3 2 5 3 答案 (1)-3 (2) 9 解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α +tan β =3,tan α tan β =2. tan α +tan β 3 ∴tan(α +β )= = =-3. 1-tan α tan β 1-2 β (2)cos(α + ) 2 π π β =cos[( +α )-( - )] 4 4 2 π π β π π β =cos( +α )cos( - )+sin( +α )sin( - ). 4 4 2 4 4 2 π ∵0<α < , 2 π π 3π 则 < +α < , 4 4 4 π 2 2 ∴sin( +α )= . 4 3 π 又- <β <0, 2 π π β π 则 < - < , 4 4 2 2 .
2



3

π β 6 则 sin( - )= . 4 2 3 β 1 3 2 2 6 5 3 故 cos(α + )= ? + ? = . 2 3 3 3 3 9 思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、 差、倍、互补、互余等关系. π π 1 (1)若 α ∈( ,π ),tan(α + )= ,则 sin α = 2 4 7 1+cos 20° 1 (2)计算: -sin 10°( -tan 5°)= 2sin 20° tan 5° 3 3 答案 (1) (2) 5 2 π tan α +1 1 解析 (1)∵tan(α + )= = , 4 1-tan α 7 3 sin α ∴tan α =- = , 4 cos α 4 ∴cos α =- sin α . 3 又∵sin α +cos α =1, 9 2 ∴sin α = . 25 π 3 又∵α ∈( ,π ),∴sin α = . 2 5 2cos 10° cos 5°-sin 5° (2)原式= -sin 10°? 4sin 10°cos 10° sin 5°cos 5° = = = = = cos 10° sin 20° - 2sin 10° sin 10° cos 10°-2sin 20° 2sin 10° cos 10°-2sin?30°-10°? 2sin 10° cos 10°-2sin 30°cos 10°+2cos 30°sin 10° 2sin 10° 3 . 2
2 2 2 2 2

. .

题型二 三角函数公式的灵活应用 例 2 (1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)?cos(110°-x)的值为 .

4

1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 (2)化简: = π π 2 2tan? -x?sin ? +x? 4 4 cos 15°+sin 15° (3)求值: = cos 15°-sin 15° 答案 (1) 解析 2 2 1 (2) cos 2x (3) 3 2 .

.

(1) 原式=sin(65°- x)?cos(x -20°)+cos(65°- x)cos[90°- (x -20°)]=

sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin[(65°-x)+(x-20°)]= sin 45°= 2 . 2

1 4 2 ?4cos x-4cos x+1? 2 (2)原式= π 2?sin? -x? 4 π 2 ?cos ? -x? π 4 cos? -x? 4 = ?2cos x-1? cos 2x = π π π 4sin? -x?cos? -x? 2sin? -2x? 4 4 2 cos 2x 1 = cos 2x. 2cos 2x 2
2 2 2 2



1+tan 15° tan 45°+tan 15° (3)原式= = 1-tan 15° 1-tan 45°tan 15° =tan(45°+15°)= 3. 思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用 及变形,如 tan α +tan β =tan(α +β )?(1-tan α tan β )和二倍角的余弦公式的多种 变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力. α α ?1+sin α +cos α ???cos -sin ? 2 2 2+2cos α

(1) 已 知 α ∈(0 , π ) , 化 简 : = .

(2) 在△ABC 中,已知三个内角 A ,B ,C 成等差数列,则 tan + tan + 3tan tan 的值 2 2 2 2 为 . (2) 3

A

C

A

C

答案 (1)cos α 解析 (1)原式=

5

?2cos

2

α α α α α +2sin cos ???cos -sin ? 2 2 2 2 2 α 4cos 2
2

.

α 因为 α ∈(0,π ),所以 cos >0, 2 所以原式= ?2cos
2

α α α α α +2sin cos ???cos -sin ? 2 2 2 2 2 α α α α = (cos + sin )?(cos - sin ) = α 2 2 2 2 2cos 2

cos

2

α 2α -sin =cos α . 2 2

2π A+C π A+C (2)因为三个内角 A, B, C 成等差数列, 且 A+B+C=π , 所以 A+C= , = , tan 3 2 3 2 = 3, 所以 tan +tan + 3tan tan 2 2 2 2

A

C

A

C A C

? ?? ? =tan? + ??1-tan tan ?+ 3tan tan 2 2? 2 2 ?2 2??
A C A C A C? A C ? = 3?1-tan tan ?+ 3tan tan = 3. 2 2? 2 2 ?
题型三 三角函数公式运用中角的变换 3 1 例 3 (1)已知 α , β 均为锐角, 且 sin α = , tan(α -β )=- .则 sin(α -β )= 5 3 cos β = . . ,

π? 2 2? (2)(2013?课标全国Ⅱ改编)已知 sin 2α = ,则 cos ?α + ?= 4? 3 ? 答案 (1)- 10 10 9 1 10 (2) 50 6

π π π 解析 (1)∵α ,β ∈(0, ),从而- <α -β < . 2 2 2 1 又∵tan(α -β )=- <0, 3 π ∴- <α -β <0. 2 ∴sin(α -β )=- 10 3 10 ,cos(α -β )= . 10 10

6

3 4 ∵α 为锐角,sin α = ,∴cos α = . 5 5 ∴cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) 4 3 10 3 10 9 10 = ? + ?(- )= . 5 10 5 10 50 π? ? 1+cos2?α + ? 4? π? ? 2? (2)因为 cos ?α + ?= 4 2 ? ? π? ? 1+cos?2α + ? 2 ? 1-sin 2α ? = = , 2 2 2 1- 3 1 π ? 1-sin 2α 2? 所以 cos ?α + ?= = = . 4? 2 2 6 ? 思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已 知角”有两个时, “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角” 有一个时, 此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所 求角”变成“已知角”. α +β α -β 2.常见的配角技巧:2α =(α +β )+(α -β ),α =(α +β )-β ,β = - , 2 2 α +β α -β α -β β α α = + , =(α + )-( +β )等. 2 2 2 2 2 (1)设 α 、 β 都是锐角, 且 cos α = 5 3 , sin(α +β )= , 则 cos β = 5 5 . .

π 4 7π (2)已知 cos(α - )+sin α = 3,则 sin(α + )的值是 6 5 6 2 5 答案 (1) 25 4 (2)- 5
2

解析 (1)依题意得 sin α = 1-cos α =

2 5 , 5

4 2 cos(α +β )=± 1-sin ?α +β ?=± . 5 又 α ,β 均为锐角,所以 0<α <α +β <π ,cos α >cos(α +β ). 4 5 4 因为 > >- , 5 5 5 4 所以 cos(α +β )=- . 5

7

于是 cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α 4 5 3 2 5 2 5 =- ? + ? = . 5 5 5 5 25 π 4 (2)∵cos(α - )+sin α = 3, 6 5 ∴ 3 3 4 cos α + sin α = 3, 2 2 5

1 3 4 3( cos α + sin α )= 3, 2 2 5 π 4 3sin( +α )= 3, 6 5 π 4 ∴sin( +α )= , 6 5 7π π 4 ∴sin(α + )=-sin( +α )=- . 6 6 5

高考中的三角函数求值、化简问题
2θ 2cos -sin θ -1 2 典例:(1)若 tan 2θ =-2 2,π <2θ <2π ,则 = π 2sin?θ + ? 4

.

π π 1+sin β (2)(2014?课标全国Ⅰ改编)设 α ∈(0, ),β ∈(0, ),且 tan α = ,则 2α 2 2 cos β -β = . 3 ,则 cos 2α = 3 .

(3)已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = sin 47°-sin 17°cos 30° (4) = cos 17° 思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形. .

(2)“切化弦”,利用和差公式、诱导公式找 α ,β 的关系. (3)可以利用 sin α +cos α =1 寻求 sin α ±cos α 与 sin α cos α 的联系. (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化. cos θ -sin θ 1-tan θ 解析 (1)原式= = , sin θ +cos θ 1+tan θ 2tan θ 2 又 tan 2θ = =-2 2,即 2tan θ -tan θ - 2=0, 2 1-tan θ
8
2 2

解得 tan θ =-

1 2

或 tan θ = 2.

π 1 ∵π <2θ <2π ,∴ <θ <π .∴tan θ =- , 2 2 2 故原式= =3+2 2. 1 1- 2 1+sin β sin α 1+sin β (2)由 tan α = 得 = , cos β cos α cos β 即 sin α cos β =cos α +cos α sin β , π ∴sin(α -β )=cos α =sin( -α ). 2 π π ∵α ∈(0, ),β ∈(0, ), 2 2 π π π π ∴α -β ∈(- , ), -α ∈(0, ), 2 2 2 2 π π ∴由 sin(α -β )=sin( -α ),得 α -β = -α , 2 2 π ∴2α -β = . 2 (3)方法一 ∵sin α +cos α = 3 1 2 ,∴(sin α +cos α ) = , 3 3 1+ 1

2 2 ∴2sin α cos α =- ,即 sin 2α =- . 3 3 又∵α 为第二象限角且 sin α +cos α = π 3 ∴2kπ + <α <2kπ + π (k∈Z), 2 4 3 ∴4kπ +π <2α <4kπ + π (k∈Z), 2 ∴2α 为第三象限角, ∴cos 2α =- 1-sin 2α =- 方法二 由 sin α +cos α = 2 ∴2sin α cos α =- . 3 ∵α 为第二象限角,∴sin α >0,cos α <0,
9
2

3 >0, 3

5 . 3

3 1 两边平方得 1+2sin α cos α = , 3 3

∴sin α -cos α = ?sin α -cos α ? = 1-2sin α cos α = 15 . 3

2

3 ? ?sin α +cos α = 3 , 由? 15 ? ?sin α -cos α = 3 , ∴cos 2α =2cos α -1=-
2

? ?sin α = 得? ? ?cos α =

3+ 15 , 6 3- 15 . 6

5 . 3

sin?30°+17°?-sin 17°cos 30° (4)原式= cos 17° = = sin 30°cos 17°+cos 30°sin 17°-sin 17°cos 30° cos 17° sin 30°cos 17° 1 =sin 30°= . cos 17° 2 π (2) 2 (3)- 5 3 1 (4) 2

答案 (1)3+2 2

温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征,灵活运用或变形使用公式.(2)三角求 值要注意角的变换,掌握常见的配角技巧.

方法与技巧 1.巧用公式变形: 和差角公式变形:tan x±tan y=tan(x±y)?(1?tan x?tan y);倍角公式变形:降幂公式 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 cos α = ,sin α = , 2 2 α ?2 ? α 配方变形:1±sin α =?sin ±cos ? , 2 2? ? 1+cos α =2cos
2

α 2α ,1-cos α =2sin . 2 2

2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽 可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可 能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数 名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形. 失误与防范

10

1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降 次的灵活运用,要注意“1”的各种变通. 2.在(0,π )范围内,sin(α +β )= 2 所对应的角 α +β 不是唯一的. 2

3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) π? 1 π? 2 ? ? 1.已知 tan(α +β )= ,tan?β - ?= ,那么 tan?α + ?= 4? 4 4? 5 ? ? 答案 3 22 .

π π 解析 因为 α + +β - =α +β , 4 4 π? π ? 所以 α + =(α +β )-?β - ?,所以 4? 4 ? π? π ?? ? ? ? tan?α + ?=tan??α +β ?-?β - ?? 4 4 ?? ? ? ? ? π? ? tan?α +β ?-tan?β - ? 4? 3 ? = = . π ? 22 ? 1+tan?α +β ?tan?β - ? 4? ? π π 3 7 2.若 θ ∈[ , ],sin 2θ = ,则 sin θ = 4 2 8 答案 3 4 .

3 2 2 解析 由 sin 2θ = 7和 sin θ +cos θ =1 得 8 3 7 3+ 7 2 2 (sin θ +cos θ ) = +1=( ), 8 4 π π 3+ 7 又 θ ∈[ , ],∴sin θ +cos θ = . 4 2 4 3- 7 3 同理,sin θ -cos θ = ,∴sin θ = . 4 4 1+cos 2α +8sin α 3.已知 tan α =4,则 的值为 sin 2α
2



11

答案 解析

65 4 1+cos 2α +8sin α 2cos α +8sin α = , sin 2α 2sin α cos α
2 2 2 2 2

2+8tan α 65 ∵tan α =4,∴cos α ≠0,分子、分母都除以 cos α 得 = . 2tan α 4 4.(2013?重庆)4cos 50°-tan 40°= 答案 3 .

4sin 40°cos 40°-sin 40° 解析 4cos 50°-tan 40°= cos 40° = = 2sin 80°-sin 40° 2sin?50°+30°?-sin 40° = cos 40° cos 40° 3sin 50°+cos 50°-sin 40° 3sin 50° = = 3. cos 40° cos 40° .

π 3 π 5.已知 cos(x- )=- ,则 cos x+cos(x- )的值是 6 3 3 答案 -1

π 1 3 3 3 3 解析 cos x+cos(x- )=cos x+ cos x+ sin x= cos x+ sin x= 3( cos x+ 3 2 2 2 2 2 1 π sin x)= 3cos(x- )=-1. 2 6 sin 50° 6. = 1+sin 10° 答案 1 2
2 2

.

sin 50° 1-cos 100° 解析 = 1+sin 10° 2?1+sin 10°? = 1-cos?90°+10°? 1+sin 10° 1 = = . 2?1+sin 10°? 2?1+sin 10°? 2 .

7.已知 α 、β 均为锐角,且 cos(α +β )=sin(α -β ),则 tan α = 答案 1 解析 根据已知条件: cos α cos β -sin α sin β =sin α cos β -cos α sin β , cos β (cos α -sin α )+sin β (cos α -sin α )=0, 即(cos β +sin β )(cos α -sin α )=0. 又 α 、β 为锐角,则 sin β +cos β >0, ∴cos α -sin α =0,∴tan α =1.

12

8.

3tan 12°-3 = 2 ?4cos 12°-2?sin 12°

.

答案 -4 3 3sin 12° -3 cos 12° 解析 原式= 2 2?2cos 12°-1?sin 12° 3 ?1 ? 2 3? sin 12°- cos 12°? 2 ?2 ? cos 12° = 2cos 24°sin 12° = 2 3sin?-48°? -2 3sin 48° = 2cos 24°sin 12°cos 12° sin 24°cos 24° -2 3sin 48° =-4 3. 1 sin 48° 2 1+sin α - 1-sin α 1+sin α - 1-sin α
2



9.已知 解 因为 = = = =

1-sin α =-2tan α ,试确定使等式成立的 α 的取值集合. 1+sin α 1-sin α 1+sin α ?1-sin α ? 2 cos α
2

?1+sin α ? - 2 cos α

|1+sin α | |1-sin α | - |cos α | |cos α | 1+sin α -1+sin α |cos α | 2sin α , |cos α |

2sin α 2sin α 所以 =-2tan α =- . |cos α | cos α 所以 sin α =0 或|cos α |=-cos α >0. π 3π 故 α 的取值集合为{α |α =kπ 或 2kπ + <α <2kπ +π 或 2kπ +π <α <2kπ + , 2 2

k∈Z}.
α α 6 ?π ? 10.已知 α ∈? ,π ?,且 sin +cos = . 2 2 2 ?2 ? (1)求 cos α 的值; 3 ?π ? (2)若 sin(α -β )=- ,β ∈? ,π ?,求 cos β 的值. 5 ?2 ?

13

解 (1)因为 sin

α α 6 +cos = , 2 2 2

1 两边同时平方,得 sin α = . 2 π 3 又 <α <π ,所以 cos α =- . 2 2 π π (2)因为 <α <π , <β <π , 2 2 π π π 所以-π <-β <- ,故- <α -β < . 2 2 2 3 4 又 sin(α -β )=- ,得 cos(α -β )= . 5 5 cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) =- 3 4 1 ? 3? 4 3+3 ? + ??- ?=- . 2 5 2 ? 5? 10 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1.函数 y=sin(π x+φ )(φ >0)的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点,A,B 是图象与

x 轴的交点,记∠APB=θ ,则 sin 2θ 的值是



答案

16 65

解析 由周期公式可知函数周期为 2,∴AB=2.过 P 作 PD⊥AB 于 D,由函数的最大值为 1, 1 3 1 知 PD=1,根据函数的图象,可得 AD= ,BD= .在 Rt△APD 和 Rt△BPD 中,sin∠APD= , 2 2 5 cos∠APD= 2 3 2 8 ,sin∠BPD= ,cos∠BPD= .所以 sin θ =sin(∠APD+∠BPD)= , 5 13 13 65 1 65 ,故 sin 2θ =2sin θ cos θ =2? 8 65 . ? 1 16 = . 65 65

cos θ =cos(∠APD+∠BPD)=

1 ? π? 2 2.若 α ∈?0, ?,且 sin α +cos 2α = ,则 tan α 的值为 2? 4 ? 答案 3

14

1 ? π? 2 解析 ∵α ∈?0, ?,且 sin α +cos 2α = , 2? 4 ? 1 1 2 2 2 2 ∴sin α +cos α -sin α = ,∴cos α = , 4 4 1 1 ∴cos α = 或- (舍去), 2 2 π ∴α = ,∴tan α = 3. 3 1 π π 3.若 tan θ = ,θ ∈(0, ),则 sin(2θ + )= 2 4 4 答案 7 2 10 .

2sin θ cos θ 2tan θ 4 解析 因为 sin 2θ = 2 = 2 = , 2 sin θ +cos θ tan θ +1 5 π π 又由 θ ∈(0, ),得 2θ ∈(0, ), 4 2 3 2 所以 cos 2θ = 1-sin 2θ = , 5 π 所以 sin(2θ + ) 4 π π 4 2 3 2 7 2 =sin 2θ cos +cos 2θ sin = ? + ? = . 4 4 5 2 5 2 10

? 7π ? ? 3π ? 4.已知函数 f(x)=sin?x+ ?+cos?x- ?,x∈R. 4 ? 4 ? ? ?
(1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π 2 (2)已知 cos(β -α )= ,cos(β +α )=- ,0<α <β ≤ ,求证:[f(β )] -2=0. 5 5 2

? 7π ? ? π π? (1)解 ∵f(x)=sin?x+ -2π ?+cos?x- - ? 4 4 2? ? ? ? ? π? ? π? ? π? =sin?x- ?+sin?x- ?=2sin?x- ?, 4 4 4? ? ? ? ? ?
∴T=2π ,f(x)的最小值为-2. 4 (2)证明 由已知得 cos β cos α +sin β sin α = , 5 4 cos β cos α -sin β sin α =- , 5 两式相加得 2cos β cos α =0, π π ∵0<α <β ≤ ,∴β = , 2 2
15

∴[f(β )] -2=4sin 5.已知 f(x)=(1+

2

2

π -2=0. 4

1 π π 2 )sin x-2sin(x+ )?sin(x- ). tan x 4 4

(1)若 tan α =2,求 f(α )的值; π π (2)若 x∈[ , ],求 f(x)的取值范围. 12 2

? π? 2 解 (1)f(x)=(sin x+sin xcos x)+2sin?x+ ?? 4? ? ? π? cos?x+ ? 4? ?
= π? 1-cos 2x 1 ? + sin 2x+sin?2x+ ? 2? 2 2 ?

1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2 由 tan α =2,得 sin 2α =
2 2

2sin α cos α 2tan α 4 = 2 = . 2 2 sin α +cos α tan α +1 5
2

cos α -sin α 1-tan α 3 cos 2α = 2 = =- . 2 2 sin α +cos α 1+tan α 5 1 1 3 所以,f(α )= (sin 2α +cos 2α )+ = . 2 2 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2 = π? 1 2 ? sin?2x+ ?+ . 4? 2 2 ?

由 x∈? 所以-

?π ,π ?,得5π ≤2x+π ≤5π . ? 12 4 4 ?12 2 ?
π? 2 2+1 ? ≤sin?2x+ ?≤1,0≤f(x)≤ , 4 2 2 ? ?

所以 f(x)的取值范围是?0,

? ?

2+1? ?. 2 ?

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