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2012年 - 河北 - 石家庄 - 高三 - 省市模拟(补充、压轴题) - 理科 - 数学


河北省石家庄市 2012 届高中毕业班补充题、压轴题 数学(文、理)
选择题:每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 【文理】已知集合 U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,7? ,则 CU A ? A. ?1,3? B. ?3,7,9? C. ?3,5,9? (D) D. ?3,9? (C )

2. 【文科】如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? A.14 B.21 C.28 D.35

2. 【理科】已知 {an } 为等比数列,Sn 是其前 n 项和,若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差 中项为 A.35

5 ,则 S5 =(C) 4
B.33 C.31 D.29

3. 【文理】设向量 a = (1,0) , b = ( , ) ,则下列结论中正确的是(D) A. a ? b B. a ? b =

1 1 2 2

2 2

C. a//b

D. a - b 与 b 垂直

4. 【文理】将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(B) A.12 种 B.18 种 5. 【理科】如图为一个几何体的三视图, 尺寸如图所示,则该几何体的体积为(C) A. C. C.36 种 D.54 种

2 3? 3 3? ? ?

? ?
D. 3 3 ?

B. 2 3 ? ??

?? ?

x2 y 2 6.【理科】 已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a b
2 O 为坐标原点, 的焦点分别为 F1、F2 ,P 为双曲线上一点, 满足 PO ? 2b ,PF 1 ? PF 2 ?a ,

??? ?

???? ???? ?

则其离心率为(A ) A.

15 3

B.

3 5 5

C.

5 3 3

D.

5 3

6. 【文科】 设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ 的最小值是(C) A.

? 4? )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合, 则? 3 3
C.

2 3

B.

4 3

3 2

D.3

7【文理】下列命题错误的 是 (B) ...
2 2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”;

B.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题;
2 C.命题 p :存在 x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ? p :任意 x0 ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0

2

;

2 D.“ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.

8. 【文理】 执行右面的程序框图, 如果输入 m ? 72, n ? 30 , 则输出的 n 是(B) A. 12 B. 6 C. 3 D. 0

?x ? 1 ? 9. 【文理】 设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ? 1, ?y ? x ?
平面区域是 ?2 与 ? 1 关于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称 , 对于 ? 1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, | AB | 的最小值等于 ( B A. ) B.4 C.

28 5

12 5

D.2 10. 【文理】四面体 ABCD 的棱长均为 1,E 是△ ABC 内一 点,点 E 到边 AB、BC、CA 的距离之和为 x,点 E 到平面 DAB、DBC、DCA 的距离之和为 y,则 x ? y 的值为( D )
2 2

A. 1

B.

6 2

C.

5 3

D.

17 12

10. 【文理】若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC (C) A.一定是锐角三角形. C.一定是钝角三角形. B.一定是直角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

11. 【理科】已知垂直竖在水平地面上相距 20 米的两根旗杆的高分别为 10 米和 15 米,地面 上的动点 P 到两旗杆顶点的仰角相等,则点 P 的轨迹是( B ) A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 a 2 12. 【文理】 设函数 f(x)=ax +bx+c,且 f(1)=- ,3a>2c>2b,则函数 f(x)在区间(0,2)内 2 ( A ) A.至少有一个零点;B. 当 b ? 0 时有一个零点 C.当 a ? 0 时有一个零点 D. 不确定 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 【文理】若 (a ? 2i)i=b ? i(a,b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? 3 .

第Ⅱ卷(非选择题

14. 【文理】某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年 职工为 7 人,则样本容量为 15 15. 【理科】.圆心在抛物线 x2 ? 2 y 上,与直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 相切的面积最小的圆的方程

1? 1 ? 为 ? x ? 1? ? ? y ? ? ? 2? 2 ?
2

2

?| log2 x |, 0 ? x ? 4 ? 16.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若方程 f ( x) ? k ? 0 有三个不同的解 a, b, c , ? x ? 6, x ? 4 ? ? 2
且 a ? b ? c ,则 ab ? c 的取值范围是___________ (9,13) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.数列【理科】数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? an ? 2, n ? N* . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . lg an ?1 lg an ? 2

解:(Ⅰ) n ? 1, S1 ? a1 ? 2 ,

?a1 ? 1 ,
n ? 2, Sn ? an ? Sn?1 ? an?1 ? 0, ? 2an ? an?1 ,

1 an 1 ? ,数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 的等比数列. 2 an ?1 2

?1? 所以 an ? ? ? . ?2?
(Ⅱ) bn ?

n

1 ?1? ?1? lg ? ? ? lg ? ? ?2? ?2?
2

n

n ?1

?

1 ? 1? ? lg ? n ? n ? 1? ? 2?
2

?

1 ? ?1 ? ? ? ? lg 2 ? ? n n ? 1 ? 1
2

Tn ?

1

? lg 2 ?
1
2

?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ?? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? n ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ??

?

? lg 2?

?

n . n ?1

17.数列【文科】 已知 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d , 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ? , , 解得 a1 ? ?10, d ? 2

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

.

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12

.

(Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q , 因为 b2 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?24, b1 ? ?8, 所以 ?8q ? ?24 , 即 q =3,

b1 (1 ? q n ) 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ? ? 4(1 ? 3n ) 1? q .

17.三角【文理】在某海湾为我国商船护航的甲、乙两驱逐舰分别在海面上 A,B

两点处正常巡航, 甲舰位于乙舰北偏西 25° 方向的 A 处.两舰先后接到在同一海域 上一艘商船丙的求救信号, 商船丙在乙舰北偏东 35 方向距甲驱逐舰 62 海里的 C 处,两舰协商后由乙舰沿 BC 航线前去救援,甲舰仍在原地执行任务.乙舰航行 30 海里后到达 D 处,此时 A, D 相距 42 海里,问乙舰还要航行多少海里才能到达
C 处实施营救?
解:设 ?BAD ? ? , 在 ?ABD 中,由正弦定理得
0

AD BD ? , sin ?ABD sin ?

C

?

42 30 ? , 0 sin 60 sin ?

sin ? ?

5 3 0 ,由题意 ? ? 60 , 14
11 , 14

A D

? cos ? ?

? 1 ? cos ?ADC ? cos( ? ? ) ? ? . 3 7 在 ?ADC 中,设 CD ? x ,
由余弦定理得

B

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 ? 2 AD ? CD cos ?ADC 1 622 ? 422 ? x 2 ? 2 ? 42 x ? (? ) 7
? x 2 ? 12 x ? 2080 ? 0 ,
解得 x ? ?52 (舍) , x ? 40 . 答:乙舰还要航行 40 海里才能到达 C 处实施营救. 18.【理科】已知棱柱 ABCD ? A?B?C ?D? ,底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, ?BAD ? 60 ,
?

对角线 AC 、 BD 交于点 O , A?O ? 平面ABCD . (Ⅰ)证明:不论侧棱 AA? 的长度为何值,总有 平面AA?C?C ? 平面BB?D?D ;

(Ⅱ)当二面角 B ? DD? ? C 为 45 时,求侧棱 AA? 的长度.
?

解: (Ⅰ)法一:因为 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD , 又 A?O ? 平面ABCD , BD ? 平面ABCD , 所以 A?O ? BD , A?O ? AC ? O ,

D' A' B'

C'

BD ? 平面AA?C?C , BD ? 平面BB?D?D ,
所以 平面AA?C?C ? 平面BB?D?D , 故不论侧棱 AA? 的长度为何值,总有 平面AA?C?C ? 平面BB?D?D . 法二:由已知可证 OA? ? OB, OA? ? OA, OA ? OB , 分别以 OA, OB, OA? 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

D A O B

C

D'

z A'

C' B'

O ? xyz .
? 3a ? a ? ? a ? ? , 0, 0 由已知得 A ? 0, ,0 ? , D ? 0, ? ,0 ? ? ? 2 ?, B? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
设 OA? ? h ,则 A? ? 0,0, h ? . 显然, 平面AA?C?C 的一个法向量为 m ? ? 0,1,0? 设 平面BB?D?D 的法向量为 n ? ? x1 , y1 , z1 ? ,

D

x

A

O B
y

C

???? ???? ? ??? ? ? 3a ? , 0, h DB ? ? 0, a,0 ? , BB? ? AA? ? ? ? ? 2 ?, ? ?

??? ? ?ay1 ? 0 ? n ? DB ?0 3a ? ? , 即? ,取 x1 ? 1, y1 ? 0, z1 ? , ? ? ???? 3a 2 h ? ? x ? hz ? 0 n ? BB ? 0 ? ? ? 1 1 ? 2
? 3a ? n?? ?1, 0, 2h ? ? ? ?
m ?n ? 0,

故不论侧棱 AA? 的长度为何值,总有 平面AA?C?C ? 平面BB?D?D . (Ⅱ)设 平面CDD?C ? 的法向量为 p ? ? x2 , y2 , z2 ? ,

???? ??? ? ? ? ???? ? ? 3a a ? ???? 3a ? ? AA? ? ? ? DC ? AB ? ? ? , , 0 DD , 0, h , ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?

???? ? ? p ? DC ? 0, ? ? ???? ? ? p ? DD? ? 0.

? ?? ? ? ?? ? ?

3a a x2 ? y2 ? 0, 2 2 3a x2 ? hy2 ? 0. 2
? 3a ? 3a ,则 p ? ? 1, 3, ? ? ? , 2 h 2h ? ?

取 x2 ? 1, y2 ? 3, z2 ?

1? cos n, m ? 1? 3a 2 4h 2

3a 2 4h 2

3a 2 1? 2 4h , ? 2 3a 2 3a 4 ? 4? 2 4h 2 4h
?

又二面角 B ? DD? ? C 为 45 ,所以 cos n, m ?

2 , 2

4?

? 3a 2 ? 3a 2 3a 2 2 h ? , , ? 2 1 ? ? 2 ? 8 4h 2 ? 4h ?
3a 2 3a 2 3 2 ? ? a, 8 4 4

2 2 此时 AA? ? h ? OA ?

故 AA? ?

3 2 a . 4

18. 【文科】如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB, BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 解:(Ⅰ)在△ PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G,

则 EG⊥平面 ABCD,且 EG=

1 PA. 2

在△ PAB 中,AD=AB, ? PAB° ,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG= ∴S△ ABC=

2 . 2

1 1 AB· BC= × 2 × 2= 2 , 2 2 1 1 2 1 S△ ABC· EG= × 2 × = . 3 3 2 3 1 1 ? ?2 3 2

∴VE-ABC=

另解: VE ? ABC ? VC ? ABE ?

?

1 3

2 …、 8, 19. 【理科】 某产品按行业生产标准分成 8 个等级, 等级系数 X 依次为 1、、 其中 X ? 5
为标准 A , X ? 3 为标准 B ,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件; 乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应 的执行标准. (Ⅰ)已知甲厂产品的等级系数 X 1 的概率分布列如下所示:

X1
P

5 0.4

6

7 b

8 0.1

a

且 X 1 的数字期望 EX1 ? 6 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)为分析乙厂产品的等级系数 X 2 ,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系 数组成一个样本,数据如下:

3 6 8

5 3 3

3 4 4

3 7 3

8 5 4

5 3 4

5 4 7

6 8 5

3 5 6

4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X 2 的数学期望. (Ⅲ)在(Ⅰ) , (Ⅱ)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买 性?说明理由. 注: (1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学 期望 ; 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性.

解:(Ⅰ)因为 EX1 ? 6 , 所以 5 ? 0.4 ? 6a ? 7b ? 8 ? 0.1 ? 6 ,即 6a ? 7b ? 3.2 , 又 0.4 ? a ? b ? 0.1 ? 1 ,所以 a ? b ? 0.5 , 解方程组 ?

?6a ? 7b ? 3.2, 解得 a ? 0.3 , b ? 0.2 . ? a ? b ? 0.5

(Ⅱ)由样本的数据,样本的频率分布表如下:

X2
f

3 0.3

4

5 0.2

6
0.1

7
0.1

8 0.1

0.2

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X 2 的概率分布列如 下表:

X2
P

3 0.3

4

5 0.2

6
0.1

7
0.1

8 0.1

0.2

所以 EX 2 ? 3? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.1 ? 8 ? 0.1 ? 4.8 . (Ⅲ)甲厂的产品的等级系数的数学期望为 6 ,价格为 6 元/件,所以性价比为 甲厂的产品的等级系数的数学期望为 4.8 ,价格为 4 元/件,所以性价比为

6 ? 1, 6

4.8 ? 1.2 ? 1 . 4

所以,乙厂的产品更具可购买性. 19. 【文科】有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具,每个玩具的各个面上分别写着数 字 1,2,3,5.同时投掷这两枚玩具一次,记 m 为两个朝下的面上的数字之和. (Ⅰ)求事件“m 不小于 6”的概率; (Ⅱ)“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率是不是相等?证明你作出的结论. 解:因玩具是均匀的,所以玩具各面朝下的可能性相等,出现的可能情况有 (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,5) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,5) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,5) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,5) 共 16 种 (Ⅰ)事件“m 不小于 6”包含其中(1,5) , (2,5) , (3,5) , (3,3) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,8)共 8 个基本事件 所以 P(m≥6)=

8 1 ? 16 2

,

(Ⅱ)“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率不相等. 因为 m 为奇数的概率为 P(m ? 3) ? P(m ? 5) ? P(m ? 7) ?

2 2 2 3 ? ? ? , 16 16 16 8

M 为偶数的概率为 1 ?

3 5 ? ,这两个概率值不相等. 8 8

20. 【理科】设动点 P 到点 A(? 1 , 0) 和 B(1, 0) 的距离分别为 d1 和 d2 , ?APB ? 2? ,若

d1d2 cos2 ? ? 1.
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

| EN | 的最 (Ⅱ)过点 B 作直线 l 交轨迹 C 于 M ,N 两点,交直线 x ? 4 于点 E ,求 | EM | ?
小值.
2 解: (Ⅰ)在 ?PAB 中 由余弦定理得 | AB |2 ? d12 ? d2 ? 2d1d2 cos 2? ,

因为 | AB |? 2 , d1d2 cos 2? ? d1d2 (2cos2 ? ?1) ? 2d1d2 cos2 ? ? d1d2 ? 2 ? d1d2 , 所以 d1 ? d2 ? 2 2 ?| AB |? 2 , 所以点 P 的轨迹 C 是以 A、B 为焦点的椭圆,其方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

? x2 ? ? y 2 ? 1, 由? 2 消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , ? y ? k ( x ? 1). ?
?= 16k ? 4(1 ? 2k )(2k ? 2)
4 2 2

? 8k 2 ? 8 ? 0 ,
所以 x1 ? x2 ?

4k 2 , 1 ? 2k 2

x1 x2 ?

2k 2 ? 2 . 1 ? 2k 2

| EM |? 1 ? k 2 ( x1 ? 4) 2 ? 1 ? k 2 (4 ? x1 ) , | EN |? 1 ? k 2 ( x2 ? 4) 2 ? 1 ? k 2 (4 ? x2 ) ,

| EM |? | EN | ? (1 ? k 2 )(4 ? x1 )(4 ? x2 )

? (1 ? k 2 )[16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1x2 ] ? (1 ? k 2 )[16 ?

16k 2 2k 2 ? 2 ? ] 1 ? 2k 2 1 ? 2 k 2

5 14 ? 18k 23 ? (1 ? k 2 )? ? 9k 2 ? ? 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 5 9 ? (1 ? 2k 2 ) ? 2 2 ? 7 , 2 1 ? 2k 1 5 2 | EN | ? (9t ? ) ? 7 在 [1, ??) 单调递增, 令 1 ? 2k ? t ? 1 ,则 | EM |? 2 t 1 | EN | ? (9 ? 5) ? 7 ? 14 , 所以 | EM |? 2
2

t ? 1 时取得最小值,此时 k ? 0 ,

| EN | 的最小值为 14. 所以 | EM |?
, 0) 和 B(1, 0) 的距离分别为 d1 和 d2 , ?APB ? 2? ,若 20.【文科】设动点 P 到点 A(?1

d1d2 cos2 ? ? 1.
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 B 作直线 l 交轨迹 C 于 M ,N 两点,若 E(4, 0) ,求 EM ?EN 的取值范围.
2 解: (Ⅰ)在 ?PAB 中 由余弦定理得 | AB |2 ? d12 ? d2 ? 2d1d2 cos 2? ,

???? ? ????

因为 | AB |? 2 , d1d2 cos 2? ? d1d2 (2cos2 ? ?1) ? 2d1d2 cos2 ? ? d1d2 ? 2 ? d1d2 , 所以 d1 ? d2 ? 2 2 ?| AB |? 2 , 点 P 的轨迹 C 是以 A、B 为焦点的椭圆,其方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)(1)当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 , 代入

x2 2 2 ? y 2 ? 1得 M (1, ) , N (1, ? ), 2 2 2

???? ? ???? ???? ? ???? 1 17 2 2 ) , EM ?EN ? 9 ? ? ; EM ? (?3, ) , EN ? (?3, ? 2 2 2 2
(2)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) ,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 )

? x2 ? ? y 2 ? 1, 由? 2 消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , ? y ? k ( x ? 1). ?
?= 16k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(2k 2 ? 2)

? 8k 2 ? 8 ? 0 ,
所以 x1 ? x2 ?

4k 2 , 1 ? 2k 2

x1 x2 ?

2k 2 ? 2 , 1 ? 2k 2

???? ? ??? ? EM ? ( x1 ? 4, ? y1 ) , EN ? ( x2 ? 4, ? y2 ) ,
???? ? ???? EM ?EN ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? y1 y2
2 2

? x1 x2 ?4 ( x1 ? x2) ? 1 6 ?2k ( x (2 ? 1) 1 ? 1) x
2

? (k ?1) x1x2 ? (4 ? k )( x1 ? x2 ) ? 16 ? k
2

= (k ? 1)
2

2k 2 ? 2 4k 2 2 ? (4 ? k ) ? 16 ? k 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

11 17k ? 14 17 ? ? ? 2 2, 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 11 11 2 ? 11 ,所以 17 ? 17 ? 2 ? 17 ? 11 ? 14 , 由于 0 ? 2 2 1 ? 2k 2 2 2 1 ? 2k 2 2 当 k ? 0 时取等号, ???? ? ???? 17 综上知 EM ?EN 的取值范围为 [ , 14] . 2 3 a 21. 【理科】已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ? ( a ? R ). 2 x
(I)当 a ? 1 时,求函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? [4,??) 上的最小值; (Ⅱ)若方程 e2 f ( x ) ? g ( x)

1 (e 为自然对数的底数)在区间 [ ,1] 上有解,求 a 的取值范围; 2

(Ⅲ)证明:

n 5 1 n? ? ? ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1)? ? 2n ? 1, n ? N* (参考数据: 4 60 k ?1

ln 2 ? 0.6931 )
解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

1 ?1 x ?1 1 3 ? , ? ' ( x) ? ? 2 ? 2 ,令 x 2 x .x x

? ' ( x) ? 0 ,又 x ? 0 ,

? ? ( x) 在 x ? (0,1] 上单调递减,在 x ? [1,??) 上单调递增.

? 当 x ? 4 时, ? ( x) ? ? (4) ? ln 4 ?
? ? ( x) 的最小值为 ln 4 ?

1 3 5 ? ? ln 4 ? . 4 2 4

5 . 4 1 (Ⅱ) e2 f ( x) ? g ( x) 在 x ? [ ,1] 上有解, 2 3 a 1 3 1 ? e 2 ln x ? ? 在 x ? [ ,1] 上有解 ? a ? x ? x 3 在 x ? [ ,1] 上有解. 2 x 2 2 2 3 1 3 令 h( x ) ? x ? x , x ? [ ,1] , 2 2 3 1 2 2 因为 h?( x) ? ? 3 x ? 3( ? x ) , 2 2
令 h' ( x) ? 0 ,又 x ? 0 ,解得: 0 ? x ?

2 . 2

? h( x ) ?

2 3 1 2 x ? x3 在 x ?[ , ] 上单调递增, x ? [ 2 ,1] 上单调递减, 2 2 2 1 2 2 1 2 ) ,即 ? h( x) ? , 2 2 2

又 h(1) ? h( ) ,? h(1) ? h( x) ? h(

故 a ?[ ,

1 2

2 ]. 2

(Ⅲ)设 ak ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1) ,

4k 2 ? 4k ? 1 ak ? 2 ln(2k ? 1) ? ln k ? ln(k ? 1) ? ln k (k ? 1) ,
由(Ⅰ) , ? ( x) min ? ln 4 ?

5 ? 0( x ? 4) , 4

? ln x ?

3 1 ? ( x ? 4) , 2 x

?

4k 2 ? 4k ? 1 ? 4. k (k ? 1)
3 k (k ? 1) 5 1 1 5 1 1 ? 2 ? ? ? ? 2 2 4k ? 4k ? 1 4 4 (2k ? 1) 4 4 (2k ? 1)(2k ? 3) ,

? ak ?

?

5 1 1 1 ? ( ? ). 4 8 2k ? 1 2k ? 3
n

? ? ak ?
k ?I

5 1 1 1 1 1 1 1 n ? ( ? ? ? ??? ? ) 4 8 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3

5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 n? ( ? )? n? ( ? ) ? n? . 4 8 3 2n ? 3 4 8 3 5 4 60 1 1? x 构造函数 F ( x) ? ln x ? x ? 2( x ? 4), F ' ( x) ? ? 1 ? , x x 1? x ? 0. ? 当 x ? 4 时, F ' ( x) ? x ?

? F (.x) 在 [4,??) 上单调递减,即 F ( x) ? F (4) ? ln 4 ? 2 ? 2(ln 2 ? 1) ? 0 .

? 当 x ? 4 时, ln x ? x ? 2 . 1 1 1 1 1 1 ? a k ? ln( 4 ? ? ) ? 4? ? ? 2 .即 a k ? 2 ? ? . k k ?1 k k ?1 k k ?1
? ? a k ? 2n ? 1 ?
k ?1 ri

1 ? 2n ? 1 . n ?1
*

所以

n ,n?N 5 1 n? ? ? ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1)? ? 2n ? 1 4 60 k ?1

21. 【文科】已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( a ? R ,e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若方程 f ( x) ? 0 只有一解,求 a 的值; (Ⅲ)若对任意的 ,均有 f ( x) ≥ f (? x) ,求 a 的取值范围.

x ??0, ???

解: (Ⅰ) f ?( x) ? e x ? a , 当 a ≥ 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??, ??) 上是单调增函数. 当 a ? 0 时, 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) , f ( x ) 在 (ln(?a), ??) 上是单调增函数; 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) , f ( x ) 在 (??, ln(?a)) 上是单调减函数. 综上, a ≥ 0 时, f ( x ) 的单调增区间是 (??, ??) .

a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (ln(?a), ??) ,单调减区间是 (??, ln(?a)) .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 , x ? ln(?a) 时, f ( x ) 最小,即 f ( x)min ? f (ln(?a)) , 由方程 f ( x) ? 0 只有一解,得 f (ln(?a)) ? 0 ,又考虑到 f (0) ? 0 , 所以 ln(?a) ? 0 ,解得 a ? ?1 . (Ⅲ)当 x ≥ 0 时, f ( x) ≥ f (? x) 恒成立, 即得 e x ? ax ≥ e? x ? ax 恒成立,即得 e x ? e? x ? 2ax ≥ 0 恒成立, 令 h( x) ? e x ? e? x ? 2ax ( x ≥ 0 ) ,即当 x ≥ 0 时, h( x) ≥ 0 恒成立. 又 h?( x) ? ex ? e? x ? 2a ,且 h?( x) ≥ 2 e x ? e? x ? 2a ? 2 ? 2a ,当 x ? 0 时等号成立. ①当 a ? ?1 时, h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 [0, ??) 上是增函数,故 h( x) ≥ h(0) ? 0 恒成立. ②当 a ? ?1 时,若 x ? 0 , h?( x) ? 0 , 若 x ? 0 , h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 [0, ??) 上是增函数,故 h( x) ≥ h(0) ? 0 恒成立. ③当 a ? ?1 时,方程 h?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln(? a ? a 2 ? 1) , 此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0,x1 ) 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,与 x ≥ 0 时, h( x) ≥ 0 恒成立矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 [?1, ??) . 选做题: 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,E 是 ? O 中直径 CF 延长线上一点,弦 AB ? CF,AE 交 ? O 于 P,PB 交 CF 于 D,连接 AO、AD. 求证: (Ⅰ) ? E= ? OAD;
A P C B O D F E

OE . (Ⅱ) OF ? OD?
2

证明: (Ⅰ)? ?E ? ?APD ? ?PDE,

?OAD ? ?AOC ? ?ADC ? ?APD ? ?ADC , ?PDE ? ?CDB ? ?ADC , ??E ? ?OAD.
(Ⅱ)? ?E ? ?OAD, ?AOD ? ?EOA

??AOD∽?EOA , OA OD ? ? , OE OA

OE , 即 OA ? OD?
2

又 OA ? OF ;

OE ∴ OF ? OD?
2

23.选修 4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆 C 两焦点的极坐标 分别是 (

2,0),( 2, ? ) ,长轴长是 4.

(I)求椭圆 C 的参数方程;

| PB |? 1 的点, (II)设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 C 交于两点 A、B,P 是 l 上满足 | PA |?
求 P 点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

答案: (I) ?

? ? x ? 2 cos ? , (? 为参数) ; ? ? y ? 2 sin ? .

| PB |? 1 ,得 P 点的轨迹方程为 (II)由 | PA |?

? x ? 2cos ? , (θ 是参数) , ? 2 2 ? y ? 2sin ? ? 1.
消参后为

x2 y 2 x2 ? ? 1(?2 ? x ? 2), ? y 2 ? 1(?2 ? x ? 2) , 6 3 2
即 P 点轨迹为椭圆

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1及椭圆 ? ? 1 夹在两直线 x ? ?2 之间的部分. 2 6 3

24.选修 4-5:不等式选讲

已知 f ( x) ? 2x ? a ? a ( a ? R ). (Ⅰ)若 f (2a) ? ?1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? x ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 2 . 解: (Ⅰ) f (2a) ? 3a ? a ? 2 a ? 2 , 解得 a ? 1 , a ? 1, 或 a ? ?1. (Ⅱ) a ? x ? 1 ,

??2 x ? ?1, ? f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? ?2 x ? 1 ? x ? 1, ?2 x ? 1. ?
则 f ( x) ? 2 的解集为 ?1, ?? ? .


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