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空间两点间的距离公式_图文

一、空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 并取定长度单位和方向,就建立了空间直角坐标系 .其 中O 点称为坐标原点,数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴,每两 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面. 三个坐标轴的正方向符合右手系. z 竖轴 方法一:
即以右手握住 z 轴,当右 x 轴 手的四个手指从正向

? 以 角度转向正向y 轴 2

定点 o 横轴 x

?

y 纵轴

时,大拇指的指向就是 z 轴的正向 .

空间直角坐标系

方法二:
使右手拇指、食指、中指三个手指两两垂直
1.拇指指向x轴 2.食指指向y轴 3.中指指向z轴
z

竖轴(中指)

定点 o 横轴(拇指)x

?

y

纵轴(食指)

空间直角坐标系

试一试: 分别一黑板中指定的长方体中底面的一个顶点为原点 建立适当的空间直角坐标系使得整个长方体都在直角 坐标系的正方向上。



z

yoz面


zox 面


xoy面
Ⅶ Ⅷ

o

y
Ⅵ Ⅴ



x

空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限

回顾与复习

平面的点P
y

1? ?1 ?? ?? 有序数对(x,y)

(x,y)

x

空间的点P

?? ?? 有序数组 ( x , y , z )

1? ?1

特殊点的表示: 原点 O (0,0,0) x轴上的点 P1 y轴上的点 P2 , z轴上的点 P3 , 坐标平面xoy上的点A, 坐标平面yoz上的点B, 坐标平面xoz上的点B, 非特殊点P(x,y,z) z

P (0,0, z)
3

C ( x , o, z )

o

? P(x, y, z)y
A( x , y ,0)
2

B(0, y , z )

x P1 ( x,0,0)

P (0, y,0)

试一试: 分别一黑板中给定的长方体长、宽、高并建立好的 空间直角坐标系上指出指定各点的坐标。

回顾与复习
长方体的对角线公式 已知长方体的长、宽、高分别为a,b,c
D1 A1 D C b A a B B1

C1
c

则长方体的对角线长

l ? a ?b ?c
2 2 2

2

二、空间两点间的距离
特殊地:若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)

z

M(x,y,z)
z

o

O
x y

Cy

x

d ? OM ? x 2 ? y 2 ? z 2 .

二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点

z

R
M1

d ? M1 M 2 ? ?
? M2

?

Q

P

N

o

y
2

在直角 ? M 1 NM 2 及 直 角 ? M 1 PN 中,使用勾股定 理知
2

x

d ? M1 P ? PN ? NM 2 ,

2

2

? M1 P ? x2 ? x1 , PN ? y2 ? y1 ,
NM 2 ? z2 ? z1 ,
?d ?
2 2

z

R
M1

? M2 ?

Q

o

P

N

y

x
2

M 1 P ? PN ? NM 2

M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ? z2 ? z1 ?2 .
空间两点间距离公式

特殊地:若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)

d ? OM ? x 2 ? y 2 ? z 2 .

例4 给定空间直角坐标系, 在x轴上找一点P,

使它与点P0 (4,1,2)的距离为 30。
解 设点P的坐标是( x,0,0),由题意, P0 P ? 30,

即 ( x ? 4) 2 ? 12 ? 2 2 ? 30 ,
所以?x ? 4? ? 25.
2

解得x ? 9或x ? ?1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0)。

例5 在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使M到 点N(6,5,1)的距离最小。 解 由已知,可设M(x,1-x,0),则
MN ? ( x ? 6) 2 ? (1 ? x ? 5) 2 ? (0 ? 1) 2

? 2( x ? 1) 2 ? 51.

所以 MN min ? 51.

补充 例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解 M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,

2

M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6, M 3 M1 ? (4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
2

2

? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,

原结论成立.

补充 例 2

设P 在x 轴上,它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为

P 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,?1) 的距离的两倍,求点
解 因为 P 在x 轴上, 设P点坐标为 ( x ,0,0),

PP1 ? x ? ? 2 ? ? 32 ? x 2 ? 11,
2 2

PP2 ? x ? ?? 1? ? 1 ? x ? 2,
2 2 2
2

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

思考P109练习 4 在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3), 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标. z (1)关于坐标平 M M’ 面xoz对称的点 M’(1,2,3)
3

o
1 2

y

x

思考P109练习 4 在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3), 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。 z M’ (2)关于z轴对称的点 M M’(-1,2,3)
3

o
1 2

y

x

思考P109练习 4 在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3), 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。 z (3)关于原点对称的点 M M’(-1,2,-3)
3

o
1 2

y

x M’

思考P109练习 4 在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3), 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。 z 用前面的方法 把M点关于其 它坐标平面和 坐标轴对称的 点的坐标求出 来。 M
3

o
1 2

y

x

五、小结
空间直角坐标系 (轴、面、卦限)
(注意它与平面直角坐标系的区别)

空间两点间距离公式
M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

思考题
在空间直角坐标系中,指出下列各 点在哪个卦限?

A(1,?2,3) ,
C ( 2,?3,?4) ,

B( 2,3,?4) , D( ?2,?3,1) .

思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;

练习题
一、填空题 1、下列各点所在卦限分别是:

? 1 , - 2 , 3?在 _________; a、 ? ? 2 , ? 3 , 1?在 _______; d、

? 2, ? 3 , ?4 ?在 ________; c、
2、点 p ( ?3 , 2 ,?1) 关于平面 xoy 的对称点是 ________,关于平面 yoz 的对称点是 ______, 关于平面 zox 的对称点是 ________,关于 x 轴 的对称点是 _________,关于 y 轴的对称点是 _________,关于 z 轴的对称点是 _________;

? 2 , 3 , ? 4 ?在 ________; b、

二、在 yoz 面上,求与三个已知点 A( 3 , 1 , 2 ) , B ( 4 ,?2 ,?2 ) 和 C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
三、 求平行于向量 a ? 6i ? 7 j ? 6k 的单位向矢 量的分解式.

练习题答案
一、 1 、Ⅳ , Ⅴ , Ⅷ , Ⅲ; 2 、 (-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1) ;

二、(0,1,-2).
6 7 6 三、 i ? j ? k . 11 11 11


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