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【精校版】2018年高考北京卷理数试题(word版含答案)


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2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理) (北京卷)

本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)已知集合 A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则 A (A){0,1} (C){–2,0,1,2} (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限 B=

(B){–1,0,1} (D){–1,0,1,2}
1 的共轭复数对应的点位于 1? i

(B)第二象限 (D)第四象限

(3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为

(A) (C)

1 2 7 6

(B) (D)

5 6 7 12

(4)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为 这个理论的发展做出了重要贡献. 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份, 依次得到十三 个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2 .若 第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为 (A) 3 2 f (C) 12 25 f (B) 3 22 f (D) 12 27 f

(5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为

(A)1 (C)3

(B)2 (D)4

(6)设 a,b 均为单位向量,则“ a ? 3b ? 3a ? b ”是“a⊥b”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(7)在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cosθ,sinθ)到直线 x ? my ? 2 ? 0 的距离,当 θ, m 变化时,d 的最大值为 (A)1 (C)3 (B)2 (D)4

(8)设集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, ax ? y ? 4, x ? ay ? 2}, 则 (A)对任意实数 a, (2,1) ? A (C)当且仅当 a<0 时, (2,1) ? A (B)对任意实数 a, (2,1) ? A (D)当且仅当 a ?
3 时, (2,1) ? A 2

第二部分(非选择题

共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)设 ?an ? 是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则 ?an ? 的通项公式为__________. (10) 在极坐标系中, 直线 ? cos? ? ? sin ? ? a(a ? 0) 与圆 ? =2 cos ? 相切, 则 a=__________.
π π (11)设函数 f(x)= cos(? x ? )(? ? 0) ,若 f ( x) ? f ( ) 对任意的实数 x 都成立,则 ω 的 6 4

最小值为__________. (12)若 x,y 满足 x+1≤y≤2x,则 2y–x 的最小值是__________. (13)能说明“若 f(x)>f(0)对任意的 x∈(0,2]都成立,则 f(x)在[0,2]上是增 函数”为假命题的一个函数是__________.

x2 y 2 x2 y 2 (14)已知椭圆 M:2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,双曲线 N: 2 ? 2 ? 1 .若双曲线 N 的两条渐近线 a b m n
与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点, 则椭圆 M 的离心率为 __________;双曲线 N 的离心率为__________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题 13 分) 在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=– (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求 AC 边上的高.
1 . 7

(16) (本小题 14 分) 如图,在三棱柱 ABC- A1 B1C1 中,CC1 ? 平面 ABC,D,E,F,G 分别为 AA1 ,AC, A1C1 ,BB1 的中点,AB=BC= 5 ,AC= AA1 =2.

(Ⅰ)求证:AC⊥平面 BEF; (Ⅱ)求二面角 B-CD-C1 的余弦值; (Ⅲ)证明:直线 FG 与平面 BCD 相交.

(17) (本小题 12 分) 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立. (Ⅰ) 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部, 求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,估计恰有 1 部获得好评的概率; (Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“ ? k ? 1 ”表 示第 k 类电影得到人们喜欢, “ ? k ? 0 ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4, 5,6) .写出方差 D?1 , D? 2 , D? 3 , D? 4 , D? 5 , D? 6 的大小关系.

(18) (本小题13分) 设函数 f ( x) =[ ax2 ? (4a ? 1) x ? 4a ? 3 ] e x . (Ⅰ)若曲线y= f(x)在点(1, f (1) )处的切线与 x 轴平行,求a; (Ⅱ)若 f ( x) 在x=2处取得极小值,求a的取值范围.

(19) (本小题 14 分) 已知抛物线 C: y2 =2px 经过点 P (1,2) .过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同 的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N. (Ⅰ)求直线 l 的斜率的取值范围; (Ⅱ)设 O 为原点, QM ? ? QO , QN ? ? QO ,求证:
1

?

?

1

?

为定值.

(20) (本小题14分) 设 n 为正整数,集合 A= {? | ? ? (t1 , t2 , 素 ? ? ( x1 , x2 ,
, xn ) 和 ? ? ( y1 , y2 , , tn ), tn ?{0,1}, k ? 1, 2, , n} .对于集合 A 中的任意元

, yn ) ,记

1 M( ?,? )= [( x1 ? y1 ? | x1 ? y1 |) ? ( x2 ? y2 ? | x2 ? y2 |) ? 2

? ( xn ? yn ? | xn ? yn |)] .

(Ⅰ)当 n=3 时,若 ? ? (1,1,0) , ? ? (0,1,1) ,求 M( ?,? )和 M( ? , ? )的值; (Ⅱ)当 n=4 时,设 B 是 A 的子集,且满足:对于 B 中的任意元素 ? , ? ,当 ? , ? 相同时, M( ?,? )是奇数;当 ? , ? 不同时,M( ?,? )是偶数.求集合 B 中元素个数的最大值; (Ⅲ) 给定不小于 2 的 n, 设 B 是 A 的子集, 且满足: 对于 B 中的任意两个不同的元素 ? , ? , M( ?,? )=0.写出一个集合 B,使其元素个数最多,并说明理由.

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2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案
一、选择题 1.A 8.D 二、填空题 2.D 3.B 4.D 5.C 6.C 7.C

9. an ? 6n ? 3

10. 1 ? 2

11.

2 3

12.3

13.y=sinx(答案不唯一) 三、解答题 (15) (共 13 分) 解:(Ⅰ)在△ABC 中,∵cosB=–

14. 3 ? 1 ; 2

1 π 4 3 ,∴B∈( ,π),∴sinB= 1 ? cos 2 B ? . 7 2 7

由正弦定理得

8 a b 7 3 ? ? = 4 3 ,∴sinA= . sin A sin B sin A 2 7

∵B∈(

π π π ,π),∴A∈(0, ),∴∠A= . 2 2 3
3 1 1 4 3 3 3 = ? (? ) ? ? . 2 7 2 7 14

(Ⅱ)在△ABC 中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA= 如图所示,在△ABC 中,∵sinC= ∴AC 边上的高为
3 3 . 2

h 3 3 3 3 ? ,∴h= BC ? sin C = 7 ? , BC 14 2

(16) (共 14 分) 解: (Ⅰ)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∵CC1⊥平面 ABC, ∴四边形 A1ACC1 为矩形. 又 E,F 分别为 AC,A1C1 的中点, ∴AC⊥EF. ∵AB=BC. ∴AC⊥BE, ∴AC⊥平面 BEF. (Ⅱ)由(I)知 AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1. 又 CC1⊥平面 ABC,∴EF⊥平面 ABC. ∵BE ? 平面 ABC,∴EF⊥BE.

如图建立空间直角坐称系 E-xyz.

由题意得 B(0,2,0) ,C(-1,0,0) ,D(1,0,1) ,F(0,0,2) ,G(0,2,1) .

uuu r uur ∴ CD=(2 ,, 0 1) , CB=(1,, 2 0) ,
b, c) , 设平面 BCD 的法向量为 n ? (a ,

uuu r ? ? 2a ? c ? 0 ? n ? CD ? 0 ∴ ? uur ,∴ ? , ?a ? 2b ? 0 ? ? n ? CB ? 0

令 a=2,则 b=-1,c=-4,
? 1, ? 4) , ∴平面 BCD 的法向量 n ? (2 ,

uur 又∵平面 CDC1 的法向量为 EB=(0 , 2, 0) ,
uur uur n ? EB 21 ∴ cos ? n ? EB ?? . uur = ? 21 | n || EB |

由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角,所以二面角 B-CD-C1 的余弦值为 ?

21 . 21

? 1, ? 4) ,∵G(0,2,1) (Ⅲ)平面 BCD 的法向量为 n ? (2 , ,F(0,0,2) ,

uuu r uuu r uuu r ∴ GF =(0 , ? 2, 1) ,∴ n ? GF ? ?2 ,∴ n 与 GF 不垂直,
∴GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内,∴GF 与平面 BCD 相交. (17) (共 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000, 第四类电影中获得好评的电影部数是 200× 0.25=50. 故所求概率为
50 ? 0.025 . 2000

(Ⅱ)设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”, 事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”. 故所求概率为 P( AB ? AB )=P( AB )+P( AB )

=P(A) (1–P(B) )+(1–P(A) )P(B) . 由题意知:P(A)估计为 0.25,P(B)估计为 0.2. 故所求概率估计为 0.25× 0.8+0.75× 0.2=0.35. (Ⅲ) D?1 > D? 4 > D? 2 = D? 5 > D? 3 > D? 6 . (18) (共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 f ( x) =[ ax2 ? (4a ? 1) x ? 4a ? 3 ] e x ,
x x 2 所以 f ′(x)=[2ax–(4a+1)]e +[ax –(4a+1)x+4a+3]e (x∈R)

=[ax2–(2a+1)x+2]ex. f ′(1)=(1–a)e. 由题设知 f ′(1)=0,即(1–a)e=0,解得 a=1. 此时 f (1)=3e≠0. 所以 a 的值为 1.
x x 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ′(x)=[ax –(2a+1)x+2]e =(ax–1)(x–2)e .

若 a>

1 1 ,则当 x∈( ,2)时,f ′(x)<0; 2 a

当 x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0. 所以 f (x)<0 在 x=2 处取得极小值. 若 a≤
1 1 ,则当 x∈(0,2)时,x–2<0,ax–1≤ x–1<0, 2 2

所以 f ′(x)>0. 所以 2 不是 f (x)的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是( (19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为抛物线 y2=2px 经过点 P(1,2) , 所以 4=2p,解得 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x. 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0, 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0) .
? y2 ? 4x 由? 得 k 2 x2 ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0 . y ? kx ? 1 ?

1 ,+∞). 2

依题意 ? ? (2k ? 4)2 ? 4 ? k 2 ?1 ? 0 ,解得 k<0 或 0<k<1.

又 PA,PB 与 y 轴相交,故直线 l 不过点(1,-2) .从而 k≠-3. 所以直线 l 斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1) . (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .
2k ? 4 1 , x1 x2 ? 2 . 2 k k y ?2 ( x ? 1) . 直线 PA 的方程为 y–2= y ? 2 ? 1 x1 ? 1

由(I)知 x1 ? x2 ? ?

令 x=0,得点 M 的纵坐标为 yM ? 同理得点 N 的纵坐标为 y N ?

? y1 ? 2 ? kx1 ? 1 ?2? ?2. x1 ? 1 x1 ? 1

? kx2 ? 1 ?2. x2 ? 1

r uuu r uuur uuu r uuu 由 QM =?QO , QN =?QO 得 ? =1 ? yM , ? ? 1 ? yN .
所以

2 2k ? 4 ? x1 ? 1 x2 ? 1 1 1 1 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 1 k2 k 2 =2 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? yM 1 ? yN (k ? 1) x1 (k ? 1) x2 k ? 1 x1 x2 k ?1 k2 1 1
所以
1

?

?

1

?

为定值.

(20) (共 14 分) 解:(Ⅰ)因为 α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以 M(α,α)=
1 [(1+1?|1?1|)+(1+1?|1?1|)+(0+0?|0?0|)]=2, 2 1 [(1+0–|1?0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1. 2

M(α,β)=

(Ⅱ)设 α=(x1,x 2,x3,x4)∈B,则 M(α,α)= x1+x2+x3+x4. 由题意知 x1,x 2,x3,x4∈{0,1},且 M(α,α)为奇数, 所以 x1,x 2,x3,x4 中 1 的个数为 1 或 3. 所以 B ? {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1, 1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组: (1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1, 1);(0,0,0,1),(0,1,1,1). 经验证,对于每组中两个元素 α,β,均有 M(α,β)=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素.

所以集合 B 中元素的个数不超过 4. 又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件, 所以集合 B 中元素个数的最大值为 4. (Ⅲ)设 Sk=( x1,x 2,…,xn)|( x1,x 2,…,xn)∈A,xk =1,x1=x2=…=xk–1=0) (k=1,2,…, n), Sn+1={( x1,x 2,…,xn)| x1=x2=…=xn=0}, 则 A=S1∪S1∪…∪Sn+1. 对于 Sk(k=1,2,…,n–1)中的不同元素 α,β,经验证,M(α,β)≥1. 所以 Sk(k=1,2 ,…,n–1)中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素. 所以 B 中元素的个数不超过 n+1. 取 ek=( x1,x 2,…,xn)∈Sk 且 xk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n–1). 令 B=(e1,e2,…,en–1)∪Sn∪Sn+1,则集合 B 的元素个数为 n+1,且满足条件. 故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合.


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