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培优竞赛新方法九年级第4讲——一元二次方程的应用


第4讲
知识纵横

一元二次方程的应用

方程是刻画现实问题的有效模型之一,一元二次方程是方程模型的重要代表。许多数学问题可转化为 解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。 一元二次方程的应用有以下几个方面: (1) 求代数式的值; (2)列二次方程解应用题; (3)解相关几何问题。

例题求解
【例 1】 在平面直角坐标系中有点 A(?2,2) 、 B(3,2) ,C 是坐标轴上一点。若 ?ABC 是直角三角形,则 满足条件的点 C 的坐标是_________。 (山东省竞赛题)

【例 2】 已知实数 x 、 y 满足 4 ? 2 ? 3 , 4 2

x x

y ?y

4

2

4 ? 3 ,则 44 ? y 的值为(

) 。

x

A.7

B.

1 ? 13 2

C.

7 ? 13 2

D.5 (全国初中数学竞赛题)

【例 3】 在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块高墙(墙长 15cm)的空地上修建一个矩形花 园 ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围城(如图所示) 。若花园的 BC 边长为 x(m) ,花 园的面积为 y(m ) . (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)满足条件的花园面积能达到 200m 吗?若能,求出此时 x 的值,若不能,说明理由; (3)根据(1)中求得的函数关系式,判断当 x 取何值时,花园的面积最大,最大面积是多少? (青岛市中考题)
2 2

【例 4】 已知:如图①,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀 速运动,速度为 1cm/s,点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动,速度 2m/s,连接 PQ。若运动时间为 t

(s) (2<t<2),解答下列问题: (1)当 t 为何值时,PQ∥BC? (2)设△AQP 的面积为 y(cm ) ,求 y 与 t 之间的函数关系式;
2

(3) 如图②, 连接 PC, 并把 ?PQC 沿 QC 翻折, 得到四边形 PQP′C, 并且存在某一时刻 t, 使四边形 PQP′ C 为菱形,求此时 ?AQP 的面积. (青岛市中考题)

【例 5】 如图,在平面直角坐标系中,直线 y ? x ? 1 与 y ? ?

3 x ? 3 交于点 A,分别交 x 轴于点 B 和点 C, 4

点 D 是直线 AC 上的一个动点。 (1)求点 A、B、C 的坐标; (2)当△CBD 为等腰三角形时,求点 D 的坐标。 分析 对于(2) ,利用“腰相等”建立方程,解题的关键是分情况讨论状况。 例4图 (太原市中考题)

巧定价格
【例 6】 某公司投资新建了一商场,共有商铺 30 间。据预测,当每年的年租金定为 10 万元时,当全部租 出。每间的年租金每增加 5000 元,少租出商铺 1 间。该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元, 未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元。 (1) 当每间商铺的年租金定位 13 万元, 能租出多少间? (2) 当每间商铺的年租金定位多少万元时,该公司的年收益(收益+租金-各种费用)为 275 万元? (绍兴市中考题)

学力训练
基础夯实
1.某药品经过两次降价,每瓶零售价由 100 元降为 81 元,已知两次降价的百分率相同,那么两次降价的 百分率为_________。 (大连市中考题) 2.庆“五一” ,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场) ,共进行了 45 场比赛, 这次有_______支队参加比赛。 (鄂州市中考题) 3.假如一人患红眼病,经过两轮传染共有 144 人患了红眼病,按这样的传播速度,若有两人患了红眼病, 经过第一轮传染后患红眼病的人数共有______人。

4.已知线段 AB 的长为 a,以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB.取 AB 边上一点 E,以 AE 为边在 AB 的上 方作正方形 AENM.过 E 作 EF 丄 CD,垂足为 F 点.若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等,則 AE 的长 为_________. (2011 年潍坊市中考题)

5.图①是一瓷砖的图案,用这种瓷砖铺设地面,图②铺成了一个 2×2 的近似正方形,其中完整菱形共有 5 (第 4 题) 个;若铺成 3×3 的近似正方形图案③,其中完整的菱形有 13 个;铺成 4×4 的近似正方形图案④,其中 完整的菱形有 25 个;如此下去,可铺成一个 n×n 的近似正方形图案.当得到完整的菱形共 181 个时,n 的值为( ) A. 7 B.8 C.9 D.10 (2011? 荆州市中考题)

6.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10 元,每天 可售出 500 千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每 千克涨价 1 元, 日 销售量将减少 20 千克.现该商场要保证每天盈利 6 000 元,同时又要使 顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? (海口市中考题)

7.如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长 120 米,下底长 180 米,上下底相距 80 米,在两腰中 点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为 x 米. (1)用含 x 的式子表示横向甬道的面积; (2)根据设计的要求,甬道的宽不能超过 6 米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例

关系,比例系数是 5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元,那么当甬道的宽度为多少米时, 所建花坛的总费用为 239 万元? (南宁中考题)

8.如图,在平面直角坐标中,四边形 OABC 是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点 P 为 x 轴 上的一个动点,但是点 P 不与点 0、点 A 重合.连接 CP,D 点是线段 AB 上一点,连接 PD. (1)求点 B 的坐标; 第7题 (2)当∠CPD=∠OAB,且,求这时点 P 的坐标. (广东省中考题)

第8题

能力拓展
9.过点 P(-1,3)作直线,使它与两坐标轴围城的三角形面积为 5,这样的直线可以作_____条。 (全国初中数学联赛题) 10.参加会议的成员都互相握过手,其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。若这次会议握手的总数是 159 次,那么参加会议的成员有______人,其中,第二次握手共有_____次。 (第 19 届江苏省竞赛题)

11.如图,直线

y??

3 k x?b 与 y 轴交于点 A,与双曲线 y ? 在第一象限内交于点 B、 C 两点,且 3 x
(武汉市中考题)

AB ? AC ? 4 ,则 k =________.

12.如图,正方形 A1B1P1P2 的顶点 P1、P2 在反比例函数 y ?

2 ( x ? 0) 的图象上,顶点 A1、B1 分别在 x 轴、y x

2 第 11 题 轴的正半轴上,再在其右侧作正方形 P2P3A2B2,顶点 P3 在反比例函数 y ? x
(x>0)的图象上,顶点 A2 在 x 轴的正半轴上,则点 P3 的坐标为_______。 (2011 年宁波市中考题)

13.一个三角形的边长分别为 a,a,b,另一个三角形的边长分别为 b,b,a,其中 a>b,若两个三角形的 最小内角相等,

a 的值等于( b
B.



A.

1? 3 2

1? 5 2

C.

2? 3 2

D.

2? 5 2

14.如图,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设 a=1,则这个正方形的面积为(

) 。

(山东省竞赛题) A.

7?3 5 2

B.

3? 5 2

C.

1? 5 2

D. ? ?1 ? 2

?

?

2

15.(2006? 无锡)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm.点 P 从点 A 出发,以 2cm/s 的速度沿 AB 向终点 B 运动;点 Q 从点 C 出发,以 1cm/s 的速度沿 CD、DA 向终点 A 运动(P、Q 两点 中,有一个点运动到终点时,所有运动即终止) .设 P、Q 同时出发并运动了 t 秒. (1)当 PQ 将梯形 ABCD 分成两个直角梯形时,求 t 的值; (2) 试问是否存在这样的 t, 使四边形 PBCQ 的面积是梯形 ABCD 面积的一半?若存在, 求出这样的 t 的值; 若不存在,请说明理由. (无锡市中考题)

第 15 题

16.某校一间宿舍里住有若干位学生,其中一人担任舍长.元旦时,该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡, 并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡,这样共用去了 51 张贺卡.问这间宿舍里住有多少位学生. (山东省竞赛题)

17. 如图 , 已知直线 y ? (1 ? k ) x ? k (k ? 1) (k<1) 与双曲线 y=6/x 在第一象限和第三象限分别交于点 A ( x1 , y1 )和点 B( x2 , y2 ) ,分别由 A、B 向 x 轴引垂线,垂足为 M、N,当四边形 AMBN 的面积取得最小值

时,求 k 的值。 (世界数学团体锦标赛试题)

第 17 题 18.如图,在△ABC 中,AB=AC=10cm,BD⊥AC 于点 D,且 BD=8cm.点 M 从点 A 出发,沿 AC 的方向匀速运动, 速度为 2cm/秒;同时直线 PQ 由点 B 出发,沿 BA 的方向匀速运动,速度为 1cm/秒, ,运动过程中始终保持 PQ∥AC,直线 PQ 交 AB 于点 P、交 BC 于点 Q、交 BD 于点 F.连接 PM,设运动时间为 t 秒(0<t<5) . (1)当 t 为何值时,PM∥BC? (2)设四边形 PQCM 的面积为 ycm ,求 y 与 t 之间的函数关系式;
2

(3)是否存在某一时刻 t,使 S四边形 PQCM ?

9 S ?ABC ?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由; 16

(4)是否存在某一时刻 t,使四边形 PQCM 成为等腰梯形?若存在,求出此时 t 的值;若不存在,说明理 由. (2011 青岛市中考题)

作业;

第 18 题 )

1.已知 x ? 1 是一元二次方程 (a ? 2) x2 ? (a2 ? 3) x ? a ? 1 ? 0 的一个跟,则 a ? ( 2 用换元法解方程 A. B. A.

x2 ? 1 x ? ? 2 ? 0,若设那么原方程可化为( x x2 ? 1



Y 2 ?Y ? 2 ? 0 B. Y 2 ? Y ? 2 ? 0 Y 2 ? 2Y ? 1 ? 0 D. Y 2 ? 2Y ? 1 ? 0 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 3. 将方程 配方程后,原方程变形为( )

( X ? 2)2 ? 3

B.

( X ? 4)2 ? 3

C. (X+2)2=-3

D. ( ( x ? 2)2 ? ?5

二,解答题。 1. 某农场去年种植了 10 亩的南瓜,亩总产量为 200 千克,根据市场需要,今年该农场扩大了种植面 积,并且全部种植了高产量的新品种南瓜,已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长的 2 倍,今年南瓜 的总产量为 60000 千克,求南瓜亩产量的增长率, (15 亩=1 公顷)

2 如图 1-2,在宽为 20 米长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分) ,求余下的部分种上 草坪,要使草坪的面积为 540 平方米,求道路的宽。

3.已知关于 x 的方程 x 2 ? kx ? 2 ? 0 的一个解与方程 (1) (2) 求 k 的值: 求方程 x 2 ? kx ? 2 ? 0 的另一个解。

x ?1 ? 3 的解相同。 x ?1

培优竞赛:

例1. 某公司投资部新建了一个商场,共有商铺 30 间,据预测,每年的年租金定为 10 万元时,可全部租出,每年的年租金每月增长 5000 元,少租出商铺 1 间,该公司 要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元,为租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元。 (1) 当每间商铺的年租金定为为 13 万元时,能租出多少间? (2) 当每间每月商铺的年租金定为为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金各种费用)为 275 元?

基础务实 1. 某药品经过两次降价,每瓶零售价由 100 降为 81 元,已知两次降价的百分率相 同,那么两次降价的百分率为( 2. )

庆五一,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场) ,共

进行了 45 场比赛,这次有(

)多少支队伍参赛?

3.例如一人患红眼病,经过两轮传染共有 144 人患了红眼病,按这样的传播速度若 有两人患了红眼病,经过一轮传染后红眼病的人数共有( ) 。

4 如图,已知线段 AB 的长为 a,以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ABCD,取 AB 边上 一点 E,以 AE 为边在 AB 的下方作正方形,AENM,过 E 作 EF ? CD 垂足为 F 点,若 正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等,则 AE 的长为( )

5 图①是一瓷砖的图案,用这种瓷砖铺设地面,图②铺成了一个 2×2 的近似正方 形,其中完整的菱形共有 5 个:若铺成 3×3 的近似正方形图案 ③,其中完整 的菱形有 13 个:铺成 4×4 的近似正方形图案 ④,其中完整的菱形有 25 个,

如此下去,可铺成一个 n × n 的近似正方形图案,当得到完整的菱形 共 181 时, n 的值为( )

6 某水果批发商场有一种高档水果,如果每千克盈利 10 元,每天可 售出 500 千克,经市场调查发现,现进货不变的情况下,若每千克 涨 1 元,日销量将减少 2 千克,现该商场要保证每天盈利 6000 元, 同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?

7.如图,要设计一个等腰三梯形的花坛,花坛上底长 120 米,下底长 180 米, 上下底相距 80 米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下 底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等,设甬道的宽为 x 米。

(1)用含 x 的式子表示横向甬道的面积: (2)当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一,求甬道的宽。

OA ? 7 , AB ? 4 , 8.如图, 在平面直角坐标系中, 四边形 OABC 是等腰梯形 CB ∥ OA ,

< COA ? 60 ,点 P 为 x 轴上的一点,点 p 不与点 O ,点 A 重合,连接 CP ,经过点 P 作
PD 交 AB 于 D 点。

(1) 求点 B 的坐标: (2) 当点 P 运动到什么位置时,使得< CPD ? OAB 且, 点 p 的坐标。
BD 5 ? ,求这时 AB 8


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