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抽象函数定义域的求解策略


名 师点金 方法技巧 ?

抽象函

数 定义域的
求解策略
□ 河南
陈长松

抽象函数即未给出具体解析式的函数, 由于 其 表现形式的抽象性, 使得学生解答这类问题时总感 棘 手.下 面 结 合 实 例 介 绍 抽 象 函 数 定 义 域 常 见 题 型 及求法 .
数 学 爱 好 者



由题意得 1≤x≤2 ,

所以 1≤x2≤4 , 所以函数 f x) 的定义域是 1 , 4] ( [ 评注 一 般 地 , 已 知 f ! x) ] 的 定 义 域 是 A, [ (

1. 已知 f x) 的定义域, 求 f[ ! x) ] 的定义域 . ( (
例1 已知 f x) 的定义域是 - 1 , 4 ] , 求 f x2- ( [ ( ( [ f x) 的定义域是 - 1 , 4 ] , 意思是凡被

求 f x) 的 定 义 域 的 问 题 , 相 当 于 已 知 f ! x) ] 中 x ( [ ( 的取值范围为 A, 据此求 ! x) 的值域问题 . (

2x- 4) 的定义域 .
分析 [ f 作用的对象都在 - 1 , 4 ] 中, 由此易得不等式 - 1≤

3. 已知 f g x) ] 的定义域, 求 f h x) ] 的定义域 . [ ( [ (
例3 的定义域. 分析 已 知 f x+1) 的 定 义 域 为 - 1 , 2 ] , x 满 ( [ 若 f x+1) 的定义域是 - 1 , 2 ] , 求 f x2) ( [ (

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x2- 2x- 4≤4, 解之即可.
解 因为 f x) 的定义域是 - 1 , 4] , ( [ 所以 - 1≤x2- 2x- 4≤4, 即

高 考



"- 2x- 4≤4 # %2≤x≤4. - x


x2- 2x- 4≥- 1 ,


x≤- 1 或 x≥3 ,

足 - 1 ≤x≤2 , 于 是 1 ≤x+1≤3 , 得 到 f x) 的 定 义 (





域, 然后 f x ) 的定义域由 f x) 的定义域可得 . ( (


所以 - 2≤x≤- 1, 或 3≤x≤4 , 所 以 函 数 f x - 2x- 4) 的 定 义 域 为 - 2 , - 1] ∪ ( [




先求 f x) 的定义域: (

由题意知 - 1 ≤x≤2 ,

[ 3 , 4] . 评注 解决这类问题的关键是正确理解函数



则 1 ≤x+1≤3 ,



记 号 及 其 定 义 域 的 意 义 . 一 般 地 , 若 函 数 f x) 的 定 ( 义 域 是 A, 则 x 必 须 是 A 中 的 元 素 , 而 不 能 是 A 以 外的元素, 否则 f x) 无 意 义 . 所 以 , 这 类 问 题 实 质 上 ( 相 当 于 已 知 !( x) 的 值 域 是 A, 据 此 , 求 x 得 范 围 , 即由 ! x) ∈A, 建立不等式, 解出 x 的范围 . (

即 f x) 的定义域是 1 , 3] , ( [



再求 f x ) 的定义域: (


所以 1 ≤x2≤3 ,



2. 已知 f ! x) ] 的定义域, 求 f x) 的定义域 . [ ( (
例2 定义域 . 分析 本 题 形 式 上 恰 好 与 例 1 相 反 .f x2) 的 定 ( 已知 f x2) 的定义域是 1 , 2] , 求 f x) 的 ( [ (

解得 - ( 3 ≤x≤- ( 2 或 ( 2 ≤x≤ ( 3 ,





所以 f x2) 的定义域是 x│- ( 3 ≤x≤- ( 2 ( {



义域是 1 , 2] , 是 指 1≤x≤2 , 由 此 求 出 x2 的 范 围 即 [ 为所求的 f x) 的定义域 . (

或 ( 2 ≤x≤ ( 3 } .



评注

一 般 地 , 已 知 f[ g x) ] 的 定 义 域 , 求 (

# " ! 数学爱好者

? 2007 7

名 师点金 方法技巧 ?
[ ( [ ( f h x) ] 的定义域 的 问 题 . 其 解 法 是 : 先 由 f g x) ] 的定义域求得 f x) 的定义域, 再由 f x) 的 定 义 域 求 ( ( 得 f h x) ] 的定义域 . [ ( 即

%

- 5≤x≤3 , - # 5 ≤x≤ $ 5 ;

4. 已 知 函 数 f( x) 的 定 义 域 , 求 函 数 F( x) =
[ ( [ ( f g x) ] + f h x) ] 的定义域 . 例4 若 f x) 得 定 义 域 为 - 3,5 ] , 求 g x) = ( [ ( ( ( f - x) + f x2) 的定义域. 分析 函 数 g x) 的 定 义 域 就 是 f - x) 的 定 义 ( (

解得 - $ 5 ≤x≤ $ 5 . 所以函数 g x) 的定义域为 - $ 5 , $ 5 ] . ( [ 评注 由 函 数 f x) 的 定 义 域 为 a , b] , 可 求 得 ( [ 函数 f g x) ] 、 h x) ] 的定义域 . 要使函数 F x) 有 [ ( [ ( f ( 意义, 则 函 数 f g x) ] 、 h x) ] 必 须 同 时 都 有 意 义 , [ ( [ f ( 即求函数 f g x) ] 与 f h x) ] 的定义域的交集即可 . [ ( [ ( 若求由有限个抽象函数经四则运算得到的函 数的定义域, 其解法是: 先求出各个函数的定义 域 , 再 求 交 集.

域与函数 f x2) 的定义域的交集 . ( 解 由 f x) 的定义域为 - 3 , 5] , ( [

则必有

"3≤x ≤5 -


- 3≤- x≤5 ,


&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

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一、 三版讲解类 二、
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对教材把握准确, 与考试方向一致, 题量删减或

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D 不能按原试题使用, 只可选用部分题, 大力加工
可用 .此类稿件可定为 D 级 .








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摘抄稿件 . 内容较新, 但以他人 作品 为 主 , 自 己 稍
分 版 别 小学 一 、 年 级 二 小学 三 、 年 级 四 小学 五 、 年 级 六 初中 各 版 别 数学 爱 好 者 分 级 级

加评点或讲解, 与我报总体风格一致, 与编辑计划一致 . 编 辑可据此进行修改加工后使用。此类稿件可定为 D 级.

A 60 80 100 120 200

B 50 60 80 100 150

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D 20 30 30 40 60

讲解类 一、 三版) 二、 (
单位: 元 / 千字
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