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2015年福建省理科高考真题数学卷word版(附答案)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数 学(理工类)

第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
2 3 4 1、若集合 A ? i, i , i , i

?

?

( i 是虚数单位) , B ? ?1, ?1? ,则 A

B 等于

A. ??1? B. ?1? C. ?1, ?1? D. ? 2、下列函数为奇函数的是 A. y ?

x B. y ? sin x C. y ? cos x D. y ? ex ? e? x
x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线 E 上,且 PF1 ? 3 ,则 PF2 9 16
D.3

3、若双曲线 E : 等于 A.11 B.9

C.5

4、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统计数据 表: 收入 x (万元) 支出 y (万 元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9

? ?a ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一户年收入 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
为 15 万元家庭年支出为 A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元

? x ? 2 y ? 0, ? 5、若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值等于 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
A. ?

5 3 B. ?2 C. ? D.2 2 2
B.1 C.0 D. ?1

6、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为 A.2 7、若 l , m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l / /? ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要

条件 8、 若 a , b 是函数 f ? x ? ? x2 ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点, 且 a, b, ?2 这三个数可适当 排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9

9、已知 AB ? AC , AB ? , AC ? t ,若点 P 是 ?ABC 所在平面内一点,且 AP ? 则 PB ? PC 的最大值等于 A.13 B.15 C.19 D.21

1 t

AB AB

?

4AC AC



10、若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足 f ? ? x ? ? k ? 1 ,则下列 结论中一定错误的是 A. f ?

?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1

C. f ?

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

第 II 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、 ? x ? 2 ?
5

的展开式中, x

2

的系数等于

.(用数字作答) .
2

12、若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于 13、如图,点 A 的坐标为 ?1,0 ? ,点 C 的坐标为 ? 2, 4 ? ,函数 f ? x ? ? x 随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 14、若函数 f ? x ? ? ? .

,若在矩形 ABCD 内

?? x ? 6, x ? 2, ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域是 ?4, ??? , ?3 ? log a x, x ? 2,
.

则实数 a 的取值范围是

15 、 一 个 二 元 码 是 由 0 和 1 组 成 的 数 字 串 x1 x2

xn ? n ? N * ? , 其 中

xk ? k ? 1, 2 ,

, n ? 称为第 k 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中
? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0, ? x7 的码元满足如下校验方程组: ? x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0, ? x ? x ? x ? x ? 0, 3 5 7 ? 1

有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0)

已知某种二元码 x1 x2

其中运算 ? 定义为: 0 ? 0 ? 0,0 ?1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ?1 ? 0 . 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用上述校验

方程组可判定 k 等于

.

16.某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱 时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小 王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡 被锁定. (I)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (II)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

17.如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB ^ 平面 BEG,BE ^ EC,AB=BE=EC=2, G,F 分别是线段 BE,DC 的中点. (I)求证:GF 平面 ADE (II)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.

18. 已知椭圆 E:

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 e= . 2 a b 2
9 R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G (- ,0) 4

(I)求椭圆 E 的方程; (II)设直线 l: x = my - 1 ,(m

与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f( x) 的图象是由函数 g ( x) = cos x 的图像经如下变换得到: 先将 g ( x) 图像上所有点的纵坐标 伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,再将所得到的图像向右平移 (I)求函数 f( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (II)已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b (i)求实数 m 的取值范围; ( ii)证明: cos(a - b ) =

p 个单位长度. 2

2m 2 - 1. 5

20.已知函数 f( x) = ln(1 + x) , g ( x) = kx,(k

R),

(I)证明:当 x > 0时,f(x)< x ; (II)证明:当 k < 1 时,存在 x0 > 0 ,使得对 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x); (III)确定 k 的所以可能取值,使得存在 t > 0 ,对任意的 x ? (0,t), 恒有 | f( x) - g ( x) |< x2 .

21.本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答.满分 14 分,如果多做,则 按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将 所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A = 琪 琪

骣 骣 2 1 1 1 ,B =琪 . 琪 4 3 0 -1 桫 桫
-1

(I)求 A 的逆矩阵 A ; (II)求矩阵 C,使得 AC=B. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 í

ì ? x = 1 + 3cos t (t 为参数) .在极坐标系(与平面直角 ? ? y = - 2 + 3sin t

坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为

2 r sin(q -

p ) = m, (m R). 4

(I)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (II)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.

(3) (本小题 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a>0,b>0,c>0,函数 f ( x) =| x + a | + | x +b | +c 的最小值为 4. (I)求 a + b + c 的值; (II )求

1 2 1 2 2 a + b + c 的最小值为. 4 9

数学试题(理工农医类)参考答案

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分。 1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分。 11. 80 12. 7 13.

5 12

14. (1, 2]

15.5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查 运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想,满分 13 分 解: (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A, 则 P(A)=

5 4 3 1 ? ? = p 6 5 4 2 1 5 1 , P(X=2) = ? 6 6 5 1 5 4 2 , P(X=3) = 创 1= . 6 6 5 3

(2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3 又 P(X=1) =

所以 X 的分布列为

所以.E(X)=1?

1 1 2 5 2创 +3 = 6 6 3 2

17.本小题主要考查直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的位置关系等基础知识, 考查空间想象能力、 推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分 13 分. 解法一: (1)如图,取 AE 的中点 H,连接 HG,HD, 又 G 是 BE 的中点, 所以 GH//AB,且 GH=

1 AB 2 1 CD , 2

又 F 是 CD 中点, 所以DF=

由四边形 ABCD 是矩形得,AB//CD,AB=CD, 所以 GH//DF,且 GH=DF, 从而四边形 HGFD 是平行四边形,所以 GF//DH.

平面ADE,GF 又 DH 趟

平面ADE ,所以 GF//平面 ADE.

(II)如图,在平面 BEG 内,过点 B 作 BQ//EC,因为 BE ^ CE,所以BQ ^ BE 又因为 AB ^ 平面 BEC,所以 AB ^ BE,AB ^ BQ

以 B 为原点,分别以 BE, BQ, BA 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向 建立空间直角坐标系,则 A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1) 因为 AB ^ 平面 BEC,所以 BA=(0,0,2)为平面 BEC 的法向量, 设 n = (x, y, z) 为平面 AEF 的法向量.又 AE = (2,0,-2), AF=(2,2,-1) 由眄

ì n AE = 0, ì 2 x - 2 z = 0, 镲 取 z = 2 得 n=(2,-1,2) . 得 2 x + 2 y z = 0, 镲 n AF = 0 , ? ?

从而 cos狁 n, BA =

n BA 4 2 = = , | n | ×| BA | 3? 2 3
2 . 3

所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 解法二:(I)如图,取 AB 中点 M,连接 MG,MF, 又 G 是 BE 的中点,可知 GM//AE,

平面ADE,GM 又 AE 趟
所以 GM//平面 ADE.

平面ADE ,

在矩形 ABCD 中,由 M,F 分别是 AB,CD 的中点得 MF//AD. 又 AD ? 平面 ADE,MF ? 平面 ADE,所以 MF//平面 ADE. 又因为 GM ? MF=M,GM ? 平面 GMF,MF ? 平面 GMF 所以平面 GMF//平面 ADE, 因为 GF ? 平面 GMF,所以 GF//平面 ADE (II)同解法一. 18.本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能 力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 满分 13 分 解法一:(I)由已知得

ì b= 2 ? ì a =2 ? ? 2 镲c 解得 b = 2 眄 = 2 镲a 2 2 镲 ?c= 2 a = b + c2 ? ?
所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 . 4 2

(II)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点为 H( x0 , y0 ) .

ì x = my - 1 ? 由 í x2 y 2 得(m2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, ? + =1 ? ? 4 2
所以 y1 + y 2 =
2

2m 3 2 , y1 y 2 = 2 , 从而 y 0 = 2 . 2 m +2 m +2 m +2 9 4
2 2

所以 GH| = ( x0 + ) + y 0 = (my 0 + ) + y 0 = (m +1) y 0 +

5 4

2

2

2

2

5 25 my0 + . 2 16

|AB|2 ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 ) 2 (m 2 +1)( y1 - y 2 ) 2 = = 4 4 4 =
故 |GH|2 -

(m2 +1)[( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2 ] = (m2 +1)(y0 2 - y1 y2 ) , 4

|AB|2 5 25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 = my0 + (m2 +1) y1 y2 + = + = >0 4 2 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2)
|AB| 9 ,故 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 2 4 9 4 9 4

所以 |GH|>

解法二:(I)同解法一. (II)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y2 ), ,则 GA = ( x1 + , y1 ), GB = ( x2 + , y2 ).

ì x = my - 1 ? 2m 3 由 í x2 y 2 得(m2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, 所以 y1 + y 2 = 2 , y1 y 2 = 2 , m +2 m +2 ? + =1 ? ? 4 2
从而 GA GB = ( x1 + )( x2 + ) + y1 y2 = (my1 + )(my 2 + ) + y1 y2 = = (m +1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) +
2

9 4

9 4

5 4

5 4

5 4

25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 = + = >0 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2)

所以 cos狁 GA,GB > 0, 又GA, GB 不共线,所以 ?AGB 为锐角. 故点 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、抽象概 括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想. 满 分 13 分. 解法一: (I)将 g ( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变) 得到 y = 2cos x 的 图 像 , 再 将 y = 2cos x 的 图 像 向 右 平 移

9 4

p p 个 单 位 长 度 后 得 到 y = 2 cos( x - ) 的 图 像 , 故 2 2

f( x) = 2sin x

从而函数 f( x) = 2sin x 图像的对称轴方程为 x = kp + (2)1) f( x) + g( x) = 2sin x + cos x = 5(

p (k 2

Z).

2 1 sin x + cos x) 5 5 1 2 , cos j = ) 5 5

= 5 sin( x +j )(其中sin j =
依题意, sin( x +j )= 是 (- 5, 5) .

m m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b 当且仅当 | |< 1 ,故 m 的取值范围 5 5

(ii)因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=

m m , sin( b +j )= . 5 5
p - j ), 即a - b = p - 2( b +j ); 2 3p - j ), 即a - b = 3p - 2( b +j ); 2
2

当 1 ? m< 5 时, a +b =2( 当 - 5<m<1 时, a +b =2(

所以 cos(a - b ) = - cos 2( b +j ) = 2sin ( b +j ) - 1 = 2( 解法二:(I)同解法一. (II)(i) 同解法一.

m 2 2m2 ) - 1= - 1. 5 5

(ii) 因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=

m m , sin( b +j )= . 5 5
p - j ), 即a +j = p - ( b +j ); 2 3p - j ), 即a +j = 3p - ( b +j ); 2

当 1 ? m< 5 时, a +b =2( 当 - 5<m<1 时, a +b =2(

所以 cos(a +j ) = - cos( b +j ) 于是 cos(a - b ) = cos[(a +j ) - ( b +j )] = cos(a +j )cos( b +j ) +sin(a +j )sin( b +j )

= - cos2 ( b +j ) + sin(a +j )sin( b +j ) = - [1 - (

m 2 m 2m2 ) ] + ( )2 = - 1. 5 5 5

20.本小题主要考查导数及其应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函 数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想.满分 14 分.

解法一:(I)令 F ( x) = f( x) - x = ln(1 + x) - x, x ? [0, 当 x ? [0,

( x) = ), 则有 F ?

1 x - 1= 1+x 1+x

), F ? ( x) < 0 ,所以 F ( x) 在 [0, + ) 上单调递减,

故当 x > 0时,F ( x) < F (0) = 0,即当x > 0时,f(x)< x . (II)令 G( x) = f( x) - g ( x) = ln(1 + x) - kx, x ? [0, 当 k ? 0 G? ( x) > 0 ,所以 G( x) 在 [0, + 故对任意正实数 x0 均满足题意.

( x) = ), 则有 G?

1 - kx + (1 - k) -k= 1+x 1+x

) 上单调递增, G( x) > G(0) = 0

( x) = 0, 得x = 当 0 < k < 1时,令G?
取 x0 =

1- k 1 = - 1>0. k k

1 - 1,对任意x ? (0, x0 ), 恒有G? ( x) 0 , 所以 G( x ) 在 [0, x 0 ) 上单调递增, G( x) > G(0) = 0 , k

即 f( x) > g ( x) . 综上,当 k < 1 时,总存在 x0 > 0 ,使得对任意的 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x) .

(0, + (III)当 k > 1 时,由(1)知,对于 " x 违

), g ( x) > x > f( x),故g ( x) > f( x) ,

| f( x) - g ( x) |= g ( x) - f ( x) = k x - ln(1 + x) ,

1 -2 x 2 +(k-2)x + k - 1 ? - 2 x= , 令 M( x) = k x - ln(1 + x) - x , x 违 [0,+ ) ,则有 M ( x) = k 1+ x 1+ x
2

故当 x ?(0,

k - 2 + (k - 2)2 +8(k - 1) k - 2 + (k - 2)2 +8(k - 1) ( x) > 0 , M( x ) 在 [0, ) 时,M? ) 上单调 4 4
2

递增,故 M( x) > M(0) = 0 ,即 | f( x) - g ( x) |> x ,所以满足题意的 t 不存在. 当 k < 1 时,由(II)知存在 x0 > 0 ,使得当 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x) . 此时 | f( x) - g ( x) |= f( x) - g ( x) = ln(1 + x) - k x , 令 N( x) = ln(1 + x) - k x - x2 , x 违 [0,+

( x) = ) ,则有 M?

1 -2 x 2 -(k+2)x - k +1 - k - 2 x= , 1+ x 1+ x

故当 x ?(0,

- (k +2) + (k +2)2 +8(1 - k) - (k + 2) + (k + 2)2 +8(1 - k) ( x) > 0 ,N(x)在 [0, ) 时, N? ) 4 4
2

- (k + 2) + (k + 2)2 + 8(1 - k) 上单调递增,故 N( x) > N (0) = 0 ,即 f( x) - g ( x) > x ,记 x0 与 中较小的 4
为 x1 , 则当 x ? (0,x1 )时,恒有 | f( x) g ( x) |> x ,故满足题意的 t 不存在. 当 k =1 ,由(I)知,当 x>0 时, | f( x) - g( x) | = g( x) - f ( x) = x - ln(1 + x) ,
2

1 -2 x 2 - x ? - 2 x= , 令 H( x) = x - ln(1 + x) - x , x 违 [0,+ ) ,则有 H ( x) = 1 1+ x 1+ x
2

当 x > 0 时, H? 上单调递减,故 H( x) < H (0) = 0 , ( x) < 0 ,所以 H( x) 在 [0, +? ) 故当 x > 0 时,恒有 | f( x) - g ( x) |< x2 ,此时,任意实数 t 满足题意. 综上, k =1 . 解法二: (I) (II)同解法一. (III)当 k > 1 时,由(I)知,对于 " x 违 (0, + , ), g ( x) > x > f( x),

故 | f( x) - g ( x) |= g ( x) - f ( x) = k x - ln(1 + x) > k x - x = (k - 1) x , 令 (k - 1) x > x2 , 解得0 < x < k - 1 , 从而得到当 k > 1 时, 对于x ? (0, k 1) 恒有 | f( x) - g ( x) |> x2 ,所以满足题意的 t 不存在. 当 k < 1 时,取 k1 =

k+1 ,从而k < k1 < 1 2
.

由(II)知存在 x0 > 0 ,使得 x ? (0,x0) ,() fx > kx 1 k x > gx = () 此时 | f( x) - g ( x) |= f( x) - g ( x) > ( k1 - k) x = 令

1- k x, 2

1- k 1- k x > x 2 , 解得0 < x < ,此时 f( x) - g ( x) > x2 , 2 2 1-k 中较小的为 x1 ,则当 x ? (0,x1 )时,恒有 | f( x) g ( x) |> x2 , 2

记 x0 与

故满足题意的 t 不存在. 当 k =1 ,由(I)知,x>0 | f( x) - g ( x) |= g ( x) - f ( x) = x - ln(1 + x) , 令 M( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x2 , x ?[0,+?) ,则有 M?( x) ? 1 ?

1 ?2 x 2 ? x ? 2x ? , 1? x 1? x

( x) < 0 ,所以 M( x) 在 [0, +? ) 当 x > 0 时, M? 上单调递减,故 M( x) < M(0) = 0 ,
故当 x > 0 时,恒有 | f( x) - g ( x) |< x2 ,此时,任意实数 t 满足题意. 综上, k =1 . 21.选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 7 分.

3-1 4=2 解:(I)因为 |A|=2创

? 3 ? 2 ?1 所以 A ? ? ? ?4 ? ? 2

?1 ? 1? ? 3 ? ? 2 ? ? ?? 2 2 ? 2 ? ? ? 2 1 ? ? ? 2 ?

(II)由 AC=B 得 ( A- 1 A) C = A- 1B ,

1? ? 3 ? 3 ? ? ??1 1 ? ? 2? ? = 2 故 C ? A B= 2 2 ? ? ? ? 0 ?1? ? ? ? ? ?2 1 ? ? ?2 ?3 ?
?1

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归 与转化思想.满分 7 分. 解:(1)消去参数 t,得到圆 C 的普通方程为 x - 1 由 2 r sin(q -

(

) +( y + 2)

2

2

= 9,

p ) = m ,得 r sin q - r cosq - m = 0 , 4

所以直线 l 的直角坐标方程为 x - y - m = 0 . (II)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即

|1 - ( - 2) + m | 2

= 2,解得m=-3 2 2

(3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力,考查化归与转化思想. 满分 7 分. 解:(I)因为 f ( x ) 当且仅当 - a #x

b 时,等号成立

又 a > 0, b > 0 ,所以 | a + b |= a + b ,所以 f ( x )的最小值为 a + b + c , 又已知 f ( x )的最小值为 4,所以 a+b+c=4 (II)由(I)知 a + b+ c = 4 ,由柯西不等式得

骣 1 2 1 2 2 琪 琪 a + b +c 4 9 桫


骣 a b 3+c 1 ( 4 +9 +1) 炒琪 琪 2+ 创 2 3 桫
8 . 7

2

= ( a + b + c) = 16 ,

2

1 2 1 2 2 a + b +c 4 9

1 1 b a 8 18 2 c , c = 时,等号成立 当且仅当 2 = 3 = ,即 a = , b = 7 7 7 2 3 1
所以

1 2 1 2 2 8 a + b + c 的最小值为 . 4 9 7


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