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位育中学2015学年第一学期期中考试高三数学试卷


位育中学 2015 学年第一学期期中考试数学试卷
2015-11-6 一、填空题(本大题满分 56 分,每小题 4 分) _____班,_____号,姓名_____________

1.设集合 U ? {1,2,3,4,5,6}, ? {1,2,4} ;则集合 M?______________. UM ?
?? ? 3 2.已知 sin ? ? ? ? ? ,则 cos ?? ? ? ? ?______________. 2 ? ? 5

3.公比为 2 的等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3 a11 ? 16 ,则 log 2 a10 ?______________. 4.求值: arcsin(cos

4? ) ?______________. 7

5.在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 ?______________. 6.在?ABC 中,a?3, b ? 6 , A ?

?
3

,则 B?______________.

7.已知数列 {an } 是递增的等比数列, a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 ,则数列 {an } 的前 n 项和等于______.
x ? 2, ?? x ? 6, 8.若函数 f ( x) ? ? (a>0 且 a?1)的值域是[4,??), ?3 ? log a x, x ? 2.

则实数 a 的取值范围是______________. 9.若函数 f (x) ? x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a?______________. 10.设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an ?1 ? Sn Sn ?1 ,则 Sn ?______________. 11.设函数 f (x) ? ln(1? | x |) ?

1 ,则使得 f(x)>f(2x?1)成立的 x 的取值范围是______________. 1 ? x2

12.已知函数 f(x)?sin?x?cos?x(? >0),x?R,若函数 f(x)在区间(??,?)内单调递增,且函数 f(x)的图像关于直线 x?? 对称,则? 的值为______________. 13.若 a,b 是函数 f ? x ? ? x 2 ? px ? q ? p ? 0,q ? 0 ? 的两个不同的零点,且 a,b,?2 这三个数可适当排序后成等 差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p?q 的值等于______________. 14.已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 ,若同时满足条件: ①对任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ; ②总存在 x0 ? (??, ?4) 时,使 f ( x0 ) g ( x0 ) ? 0 成立. 则 m 的取值范围是______________. 二、选择题(本大题满分 20 分,每小题 5 分)

15.设 S n 是公差为 d(d?0)的无穷等差数列 ?an ? 的前 n 项和,则下列命题错误 的是 .. A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0





C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n?N*,均有 Sn>0 D.若对任意 n?N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列

16.将函数 f(x)?sin2x 的图像向右平移? ( 0 ? ? ? x1,x2,有 | x1 ? x2 |min ? A.

?
2

)个单位后得到函数 g(x)的图像,若对满足|f(x1)?g(x2)|?2 的 ( )

?
3

,则??

? ? ? 5? B. C. D. 3 4 6 12 17. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数且以 2 为周期, 则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数” 的 ( ) A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
18.对于函数 f(x),若存在区间 A?[m,n],使得 ? y y ? f ? x ? , x ? A? ? A ,则称函数 f(x)为“可等域函数” ,区间 A 为函数 f(x)的一个“可等域区间” .给出下列 4 个函数: ?? ? ① f ? x ? ? sin ? x ? ;② f ? x ? ? 2x2 ? 1 ;③ f ? x ? ? 1 ? 2x ;④ f ? x ? ? log 2 ?2 x ? 2 ? . ?2 ? 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 A.①②③ B.②③ C.①③ 三、解答题(本大题满分 74 分) 19. (本题满分 12 分)第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分. 已知二次函数 f(x)?mx2?2x?3,若不等式 f(x)<0 的解集为(?1,n) (1) 解关于 x 的不等式:2x2?4x?n>(m?1)x?1; (2) 是否存在实数 a?(0,1),使得关于 x 的函数 y?f(ax)?4ax?1 (x?[1,2])的最小值为?4?若存在,求 a 的值; 若不存在,说明理由. ( D.②③④ )

20. (本题满分 14 分)第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 在 ?ABC 中,已知 cos A ? (1) 求 cos( A ? B) 的值; (2) 求 ?ABC 的面积.

5 B B 10 , tan ? cot ? , c ? 21 . 13 2 2 3

21. (本题满分 14 分)第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分.

x x x 已知函数 f ( x) ? 10 3sin cos ? 10cos2 . 2 2 2 (1) 求函数 f(x)的最小正周期;
(2) 将函数 f(x)的图象向右平移

? 个单位长度,再向下平移 a(a>0)个单位长度后得到 6

函数 g(x)的图象,且函数 g(x)的最大值为 2. 1 求函数 g(x)的解析式; ○
2 证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x ,使得 g(x )>0. ○ 0 0

22. (本题满分 16 分)第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立. (1) 求 a1 , a 2 的值; (2) 若 a1 ? 0 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn
10a1 且满足 bn ? lg ,证明 {bn } 是等差数列; , an

(3) 当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最大值.

23. (本题满分 18 分)第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. 已知函数 f ( x) , 如果存在给定的实数对 ( a, b) , 使得 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 恒成立, 则称 f ( x) 为 “? ? 函数” . (1) 判断函数 f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? 3 x 是否是“ ? ? 函数” ; (2) 若 f 3 ( x) ? tan x 是一个“ ? ? 函数” ,求出所有满足条件的有序实数对 ( a , b ) ; (3) 若定义域为 R 的函数 f ( x) 是“ ? ? 函数” ,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),当 x?[0,1]时,
f ( x) 的值域为[1,2],求当 x?[?2016,2016]时函数 f ( x) 的值域.

参考答案: 一、填空题 1.{3,5,6} 6. 2. ?

∴a ?

1 为所求. 3
12 3 , sin B ? ,∵sinA>sinB,∴A>B, 13 5

3 5

3.5 8.(1,2] 13.9

4. ? 9.1

?
14

5.10 10. ?

? 4

n 7. 2 ? 1

1 n

20.解:(1) 由已知可得: sin A ?

1 11. ( ,1) 3 二、选择题 15.C 三、解答题

12.

? 2

cos B ?

14. m?(?4,?2)

4 5
56 ; 65

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
17.C 18.B

16.D

(2) sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 由正弦定理: b ?

63 65

2 19.解:(1)由不等式 mx ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 (?1, n) 知关于 x 的方程

sin B c ? 13 sin C

2 ? ??1 ? n ? m 2 mx ? 2 x ? 3 ? 0 的两根为 ?1 和 n ,且 m ? 0 ,∴ ? ,解得 3 ??1? n ? ? m ?

1 ∴ S?ABC ? bc sin A ? 126 . 2
21.解:(1) ∵ f ( x) ? 5 3sin x ? 5cos x ? 5 ? 10sin( x ? ) ? 5 , 6 3∴函数 分 f(x)的最小正周期 T?2?;

?

?m ? 1 , ? ?n ? 3
原不等式化为 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ,∴原不等式的解集为

? 个单位长度后得到 y?10sinx?5 的图象, 6 再向下平移 a(a>0)个单位长度后得到 g(x)?10sinx?5?a 的图象,
1 将 f(x)的图象向右平移 (2) ○

(??, 1) ? (2, ? ?) ;

g(x)的最大值为 2,所以 10?5?a?2,解得 a?13, 5又已知函数 分 ∴g(x)?10sinx?8;
2 要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x ,使得 g(x )>0,就是要证明 ○ 0 0

1) , x ? [1, 2] 得 a x ?[a2, (2)设 t ? a x ,由 a ? (0, a]
2 函数 y ? t ? (4a ? 2)t ? 3 ,对称轴 t ? 2a ? 1 ? a

2 ∴ ymin ? a ? (4a ? 2)a ? 3 ? ?4 ,解得 a ?

1 或 a ? ?1 (舍去) 3

9分 4 存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 10sin x0?8>0,即 sin x0 ? , 5 由
4 3 ? 4 ? 知,存在 0 ? ?0 ? ,使得 sin ? 0 ? , 5 2 3 5

由正弦函数的性质可知,当 x ? (?0 , ? ? ? 0 ) 时,均有 sin x ? ∵y?sinx 的周期为 2?, ∴当 x ? (2k? ? ?0 , 2k? ? ? ? ?0 )(k ? Z) 时,均有 sin x ?

4 , 5

取 n ? 2 ,得 a22 ? 2a1 ? 2a2

②,

又②-①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 ③

4 , 5

若 a ? 0 ,由①知 a1 ? 0 ; 12 分2

∵对任意的整数 k, (2k? ? ? ? ?0 ) ? (2k? ? ?0 ) ? ? ? 2?0 ?

?
3

? 1,

若 a2 ? 0 ,易知 a2 ? a1 ? 1 ,④ 由①④得: a1 ? 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2 或 a1 ? 1 ? 2 , a2 ? 2 ? 2 ; (2) 当 a1 ? 0 时,由(1)知, a1 ? 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2 ; 当 n ? 2 时,有 (2 ? 2)an ? S2 ? Sn , (2 ? 2)an?1 ? S2 ? Sn?1 , ∴ an ? 2an?1 (n ? 2) ,∴ an ? a1 ( 2)n?1 ? (1 ? 2) ? ( 2)n?1 , 14 分 令 bn ? lg

∴对任意的正整数 k,都存在正整数 xk ? (2k? ? ?0 , 2k? ? ? ? ?0 )(k ? Z) , 使得 sin xk ?

4 , 5

亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)>0.
2 注:也可直接如下证明○

4 4 4 ,解得 x ? (2k? ? arcsin ,2k? ? ? ? arcsin )(k ? Z) 5 5 5 ∵对任意的整数 k,
由 sin x ?

1 100 lg 2 lg 2 10a1 n ?1 n? ?1 , ,则 bn ? 1 ? lg( 2) ? lg n ?1 ? ? 2 2 2 2 an

12 分 1 ∵ bn?1 ? bn ? ? lg( 2)n ? lg( 2)n?1 ? ? lg 2 是常数, 2

4 4 4 (2k? ? ? ? arcsin ) ? (2k? ? arcsin ) ? ? ? 2arcsin ? 1, 5 5 5 ∴对任意的正整数 k,都存在正整数 4 4 xk ? (2k? ? arcsin ,2k? ? ? ? arcsin )(k ? Z) , 5 5
使得 sin xk ?

4 , 5

1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2 10 ? lg1 ? 0 , (3) b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b7 ? lg 8 1 100 1 ? lg1 ? 0 , 当 n ? 8 时, bn ? b8 ? lg 2 128 2
∴数列 {bn } 是以 ? 所以, n ? 7 时, Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 14 分 7(b1 ? b7 )

亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)>0.

T7 ?

2

? 7?

21 lg 2 . 2

22.解:(1) 取 n ? 1 ,得 a2 a1 ? S2 ? S1 ? 2a1 ? a2

①,

23.解:(1) 若 f1 ( x) ? x 是“ ? ? 函数”,则存在常数 (a, b) ,使得

(a ? x)( a ? x) ? b .

即 x 2 ? a 2 ? b 时,对 x ? R 恒成立.而 x 2 ? a 2 ? b 最多有两个解,矛盾, 因此 f1 ( x) ? x 不是“ ? ? 函数”. 若 f 2 ( x) ? 3 x 是“ ? ? 函数”,则存在常数 a , b 使得 3a ? x ? 3a ?x ? 32a ? b , 即存在常数对 (a,3 2a ) 满足条件.因此 f 2 ( x) ? 3 x 是“ ? ? 函数”;

(1, 4) ,
于是 f ( x) ? f (?x) ? 1, f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 4 , 2分 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 4 ? f ( x) ? f (2 ? x) ? 4 . x?[1,2]时,2?x?[0,1],f(2?x)?[1,2], f ( x) ? 4分 ∴x?[0,2]时, f ( x) ? [1,4] ,

4 ?[2,4] , f ( 2 ? x)

(2) f 3 ( x) ? tan x 是一个“ ? ? 函数”,有序实数对 ( a, b) 满足

tan( a ? x) ? tan( a ? x) ? b 恒成立,
当 a ? k? ?

?
2

1 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 1 ? ?? ? f ( x ? 2) ? 4 f ( x) , ? 4 ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 4 ? f (? x) ? ? f (2 ? x) ?
x?[2,4]时,f(x)?[4,16],x?[4,6]时,f(x)?[16,64],?? 以此类推可知:x?[2k,2k?2]时,f(x)?[22k,22k?2], x?[2014,2016]时,f(x)?[22014,22016], 因此 x ?[0, 2016] 时,f ( x) ?[1, 22016 ] ,

, k ? Z 时, tan(a ? x) ? tan(a ? x) ? ? cot 2 x ,不是常数.∴

a ? k? ?

?
2

, k ?Z,

当 x ? m? ?

?
2

, m ? Z 时,有

tan a ? tan x tan a ? tan x tan 2 a ? tan 2 x ? ? ? b 恒成立 1 ? tan a ? tan x 1 ? tan a ? tan x 1 ? tan 2 a tan 2 x
即 (b ? tan 2 a ? 1) tan 2 x ? (tan 2 a ? b) ? 0 恒成立.

x ? [?2016, 0] 时, f ( x) ?


1 , ? x ? [0, 2016], f ( ? x) ? [1, 2 2016 ] ? f ( x) ? [2 ?2016 , 1] f (? x)

? ? ? ?b ? tan a ? 1 ? 0 ?tan a ? 1 ?a ? k? ? 则? ?? ?? 4 , k ?Z , 2 ? ? ?b ? 1 ?tan a ? b ? 0 ?b ? 1
2 2

-2016 8综上可知当 分 22016 ] . x ? [?2016, 2016] 时函数 f ( x) 的值域为 [2 ,

当 x ? m? ? 立.

?
2

, m ? Z , a ? k? ?

?
4

时,tan( a ? x) ? tan( a ? x) ? cot a ? 1 成
2

(2) 另解: tan(a ? x) ? tan(a ? x) ?

sin(a ? x)sin(a ? x) cos 2 x ? cos 2a ? ?b cos(a ? x) cos(a ? x) cos 2 x ? cos 2a

因此满足 f 3 ( x) ? tan x 是一个“ ? ? 函数”, (a, b) ? (k? ?

,1)(k ? Z) . 4 (3) 函数 f ( x) 是“ ? ? 函数”,且存在满足条件的有序实数对 (0, 1) 和

?

恒成立 即(b?1)cos2x?(b?1)cos2a?0 恒成立,即 cos2a?0,b?1,∴ 10 分 k? ? (a, b) ? ( ? ,1)( k ? Z) . 2 4


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