当前位置:首页 >> 机械/仪表 >>

两轮平衡车的建模与控制研究

化工自动化及仪表

第39卷

两 轮平 衡 车的 建 模 与控 制 研究

薛 凡孙京诰严怀成

( 华东理工大学化工过程先进控制和优化技术教育部重点实验室,上海200237)

摘要从 两轮平衡 车的物理 结构出发, 分析车体 在平衡瞬 间的力学 平衡,得到 平衡方程 式.由此 计算

并建立对应的数学模型。仿真结果表明:从开环系统构建闭环系统,并选择适当的反馈增益,控制系统

的角 度、角 速度 、位移 和速 度都能 趋近稳 定,从 而验 证了系 统的 可控性 。

关键词 平衡车 力学平衡极点配置 开环 闭环 反馈增益仿真

中图 分类号TH89

文献标识码 A

文章编号 1000.3 932( 2012) 11- 1 450- 06

符 号 说明
C。C。——左、右车轮的转矩,N·nl ; D——两轮之间的距离,m;
,L以——左、右车轮与地面的摩擦力,N; g——重力加速度,m/s2;
日L、抒。——底盘与轮子在水平方向的作用力,N; 凡、厶、-,广一轮子、摆和车体的转动惯量,kg·m2;
£r 一轮子轴心到质心m的距离,m; 肘L、彤R——左、右轮子的质量,kg;
m— —两 轮 车除 了轮 子 以外 的质 量 ,k g; P。P。——底盘与轮子在垂直方向的作用力,N;
R——左、右 轮半径,m;
x。、z。、xl 『一左、右轮子的位移和平均位移,m;
z,、吒——质心m的水平位移和垂直位移,m; i ——直线速度,m/s ;
盖——直线加速度,m/s 2; 咖。、币。——左、右轮子的旋转角度,r ad; 吊。吊。——左、右轮子旋转角的角加速度,rad/s 2;
卜 摆 杆 与 z平 面 的 倾 斜 角 , r ad; 卜 角 速 度 , rad/ s; 卜角 加速度 ,rad/ s2; 卜 两 轮 车 的 行 驶 方 位 角 , rad; 卜 两轮 车 行驶 方 位角 的 角加 速 度, rad/ s2。
两轮 平衡车 是一 种两轮 左右分 布, 中间带 类 似倒立摆的车子。这种车子是一种不稳定体,因 此需要设计相应的控制系统以控制其保持平衡。 两轮平衡车除了开关,基本没有其他按钮用于加、 减速及刹车等。其工作原理是:系统利用陀螺仪、 加速度传感器及倾斜计等传感器,检测出车身的 俯仰状态以及状态变化率。通过中央处理器计算

并发出指令,驱动电机进行加速向前或向后等动 作保持车体平衡。驾驶者通过前倾或后仰来控制 车子的速度,通过倾斜把手来控制其左右转向。
笔者通过分析两轮平衡车的物理结构以及在 平衡瞬间的力学平衡,得到两轮车的力学平衡方 程,并建立其数学模型。运用MATLAB和SI MU. LI NK仿真系统的角度口、角速度扫、位移菇和速度 x的变化过程,以验证该系统是否可以通过外部 控制器来控制其平衡。 1 建模
两轮平衡车的瞬时力平衡分析如图1所示。 下面将分析归纳此时的力平衡方程¨。J ,并逐步 建立其数学模型。
CL
j=『L

.’ 、
图1 两轮平衡车力学平衡分析
收稿日期 :2012- 09·11( 修改稿) 基金项目:国 家自然科学基金资助项 目( 61004028, 61272064) ;中央高校基本科研业务费资助项且 ( WHI Ol 4013) ;上海市教育委员会科研创新项目(12zz052)

第1 1期

薛 凡等.两轮平衡车的建模与控制研究

1451

对两轮平衡车的右轮进行力学分析,如图2 所示 。
÷z
/ CR

J p0=( P。+P。) Lsi n0一( 吼+H。) Lc os 0 ( 10) 两轮平衡车的转向平衡受力分析如图4所 示。 Y÷

* ×y

图2 两轮平衡车右轮力学分析

依据图2对右轮进行受力分析,并建立其平 衡方程:

MR菇 。=厶一日 。

( 1)

J 。吊。=c。一矗R

( 2)

同理,对左轮进行受力分析,并建立其平衡方

程:

ML茹L=,L一抒。

( 3)

几吊。=C。- An

( 4)

同时,令M。=M。=M,J 。=J 。=J 。。 两轮平衡车摆杆的受力分析如图3 所示,由

图3可以得到水平和垂直方向的平衡方程以及转 矩方程。

:}

图4 两轮车转向平衡分析 由图 4对转 向运动 分析可 得:
几莎:盟辜业( 11)

巾 =字 巾=二i 2

( 12)

至此,两轮平衡车的所有平衡方程建立完毕。 当0在±50变化时,s i n0—0,cos 0—1,矿一0, 由此可得两轮车的数学模型:
( 2肘 +等+巾 。 +枷 =半㈣ ,

L移+mL2矛一mg LO=一,n反。

( 14)

( … 警 +警 ) 莎 =竿 ㈣,

由式( 13) 一( 15) 可得系统状态方程:

00 oo

o口32

o

口。:

1 0] r
0 o 1 8 o o o oj L_

0

O

0

0

b3l b32 b41 b42

* ×v

睁㈨盼眨挑:】

图3 车摆杆瞬时力学分析

水平方向的平衡方程:

赫。 =HL+起 R

其中菇P=菇。+Ls i n0,贝4有:

i 。=茹。一Ls i n0·扫2+Lcos 0·净

2T 。m

茹L+鬈R

垂直方向的平衡方程:
,n 互;=PL+PR— mg
其中算:=Lcos0一L,则有:
互:=一Lcos 0·分 2一Ls i n0· i 》
转矩 程为:

设M=0.8kg,R=0.1m,L=0.5m,几=

0.001kg·m2,m=10kg,几=0.002kg·m2,J P=

…0.003 4kg·m2,D=0.5m。则控制系统的状态方

程可 以写成 :

胃=AX+曰I 正 ( 6)
Y=CX+Du

( 7)

式中 A——系统矩阵;

B——输入矩阵;

( 8)

C——输出矩阵;

D——直接传 递矩阵;

( 9)

u——输入向量;

X——状态向量:

化工自动化及仪表

第39卷

y——输出向量。

即:

0

o

l

O

盖= —. .。 . .。L

O

0

0



BO

O l o掘坻 酏酣 8 0

9
1IlpJ .9 . 0酌叭

l OO

0

010

0

Y=



OOl

O

0 OO

O4—1●pJ

此时,两轮平衡车的状态方程建立完毕。 2仿真

根据 系统的 状态方 程对 矩阵A,可 以利用

MATLAB的函数[ y,T] =ei g( A) 计算其特征值:

At =0 ,A2=0,A3=10.8004,A4=一10.8004。
显然A,>0,说明两轮平衡车系统是不稳定

的。

X=Ax+Bu,Y=CX+Du是一个开环系统,

不稳定。因此,需要对该系统引入一个由角度和

位移组成反馈量,将此系统构成为一个可控的闭 环系 统,即 :

11, =r — KX

则:

工=AX+曰( r —KX) =( A—BK) X+Br
式中 K——闭环系统的反馈增益; r ——系统的参考输入。
可以看出,只要合理选择矩阵K的值,就能

将原开环系统转换成闭环系统。K的选择有多种

取最佳值的方法。MATLAB中有ac ker 、pl ace、es -

t i m及r e g等函数,可以根据期望极点求取反馈增

益㈠5| 。以pl ace 为例,用法为K=pl ac e( A,B,

P) 。其中,A、曰为原状态 方程的状态矩阵;P为期

望的极 点。

对于上文求得的开环系统的状态方程,有:

O

O

lO

0

O

O1

O

. 48 63 0 0

0 I 1 6 . .648 O 0

0

O

4.966

取P=[ 一2+歹木4—2- j 木4—10—20] ,P 中极点都位于直角坐标平面的左半平面,则有:
K=pl ace( A,B,P) s ys =ss ( A—B木K,B,eye( 4) ,0)
t =0: 0.01 :4
菇=i nit i al ( s ys ,[1;0;0;0] ,t ) 戈,=[ 1 0 0 石2=[ 0 1 0 省3=[ 0 0 1 戈。=[ 0 0 0 s ubpl ot ( 2,2,1) pl ot (t ,戈1) ,gr i d

MATLAB仿真得到如图5所示的结果,可以 看出各 变量都能随时 问变化趋近于 稳定。

_口

{

、蛊





越 援

? ∞





_口





、£















图5 MATLAB仿真结果

第11期

薛凡等 .两轮平 衡车的建 模与控制 研究

运行MATLAB的SI MULI NK工具㈨,将上述 过程形象地绘制为如图6所示的结构图,其中状
图6 两轮车平衡系统的SI MULI NK结构

态空间模块中的内容即为前文求得的状态空间方 程,其输出Y即为位移省、角度0、速度菇和角速度 扫,分别乘以对应的增益K,并与阶跃输入相加,就 可以得到两轮平衡 车模型的输入量。
图7 为图 6的仿 真结 果, 可以 明显 地看 到: 两 种仿真工具的结果很相似,角度、速度和角速度的 收敛曲线几乎相同,只有位移的收敛曲线稍有不 同。MATLAB仿真中,位移从一个起始位置收敛 于0;SI MULI NK仿 真中 ,位 移从0收敛于一个终 值。但也说明在此闭环系统中,系统的4个输出 值都能够被 控制并使系统趋 于稳定。



{





宣 蠢













、皂 屯

_a
、皇 ’屯

划 援

魁 幽



图7 SI MULI NK仿真结果

为了能更好地得到反馈控制增益,对于系统 断远离原点,K不断增大,曲线的收敛速度越快,动

的期望极点,取以下几组不同值:

态响应好,到达稳定的时间越短,但相对波动幅度

P1=[ 一2+J 女4—2一j }4— 10—20] P2=[ 一4+J } 8—4一j {8一10—20] P3=[ 一8+j % 16—8一J }16—10— 20]
以位移和角度为研究对象,经过MATLAB仿 真后得到 如图8所示的 收敛曲线,随 着配置极点不

也越大,在实际控制中需要的控制力也越强;但当 极点越远,增益过大时,又会引起波动幅值过大,导 致控制过量,引起控制的不稳定。因此,需要合理 选取期望极点的值( 如P.) ,这样既能获得较好的 收敛速度,也不会引起过大的超调量。





~昱





蹿 g

赵 征

时间t /s

时间 t l s

图8 不同期望极点下收敛曲线变化

除了 用极点 配置 来求取 反馈增 益外 ,还可 以

通过MATLAB的LQR函 来求取。通过LQR可

化工自动化及仪表

第39卷

以得到状态线性反馈的最优控制规律,易于构成 闭环最优控制。Q和尺的值用于平衡状态向量和 输入向量的权重,使性能指标.,达到最优。对此,

250 0 0 0

0

00O

取:Q=

, R=1。

O O 10 0

0

0 O0

用MATLAB的 LQR函数来求取相应的反 馈 增益,即K=LQR( A,B,Q,R) ,经仿真运行后与极 点配置方法的比较结果如图9所示,两种方法的 收敛速度基本相同,但是LQR方法得到的曲线超 调量比极点配置的要小很多,控制性能更好h 81。

1



\昱












时间t l s

时阃t l s








1



















时间t /s

时间t /s

图9 LQR与极点配置比较

3 结束语 两轮平衡车是一种不稳定系统,类似于倒立
摆系统,但又是一种可控系统,因此只需要对其施 加适当的控制,就可以使之达到稳定。笔者根据 两轮车平衡瞬间的动力学方程,建立数学模型,并 采取适当的反馈控制,将原先的开环系统构建为 闭环系统,最终使得平衡车系统的位移、角度、速 度和角速度这些变量 逐渐趋于稳定值。
笔者在该系统中运用的仿真方法,可以被简 单应用于位置式PI D控制方案,反馈增益矩阵K 中的元素对应于PI D参数,能够实现两轮平衡车 的稳定控制和抗扰动性。当然,除了运用PI D控 制外,也可以采用智能控制( 如模糊控制等) 实现 对两轮平衡车的快速、稳定控制。
参考文献
[ 1] 阮晓刚,刘江,狄海江,等.两轮自平衡机器人系统 设计、建模及LQ控制[ J] .现代电子技术,2008,18 ( 4) :57~60.

[ 2] Kh ac Duc Do,Ge r al d See t .Mot i on Co nt r o l of a TwoWh ee l ed Mobi l e Vehi c l e wi t h a n I nver t e d Pe ndul u m [ J] .Journal of I nt el l i ge nt and Robot i c Sys t e ms ,2010, 60( 34) :57 7—605.
[ 3] 阮晓刚.两轮自平衡机器人动力学建模及其平衡控 制[ D] .北京:北京工业大学,2006.
[ 4] 潘晓中.基于MATLAB的线性系统极点配置问题的 算法分析[ J ] .系统工程与电子技术,2002,24( 3) :
78~79.
[ 5] 刘满,井元伟,张嗣瀛.区域极点配置问题的研究方 法[ J ] .控制与决策,2005,20( 3) :241—244.
[ 6] 曾志新,邹海明,李伟光,等.倒立摆系统的建模及 MATLAB仿真[ J] .新技术新工艺,2005,( 10) :16一
18.
[ 7] 彭学锋,鲁兴举,吕鸣.基于Si mMe chani c s的两轮机 器人建模与仿真[ J] .系统仿真学报,2010,22( 11) :
2643~2645.
[ 8] 程刚.两轮自平衡小车的设计与大范围稳定控制的 研究[ D] 。西 安:西安电子科技大学 ,2009. ( 下 转第 1497页)

第1l 期

祁学文等.基于MI F的多路径并发传输的实现

1497

量,减少总的传输时闻。但笔者研究的传输方法 也有待改进,两台服务器所存放的业务内容相同, 提高吞吐量是以牺牲服务器资源为代价的。故在 服务器设备充足,终端接口丰富的前提下,笔者研 究的并发模型具有较高的实用价值,满足物联网、 泛在网的实际需求。
另外 ,笔者 是在 实际应 用开发 平台 上对模 型 进行测试,测试的也是实际的网络环境,加之笔者 设计的传输方法是在应用层实现,具有简单易行、 方便移植的特点,使得笔者设计的传输方法的应 用范围极为广泛。
参考 文 献
薛淼 ,高 德云 ,张思 东, 等. 面向 下一代 网络 的端 到 端多路径传输层架【J] .通信学报,2010,31( 10) :
2 6~3 5.
王斌 ,李 方, 孟宪晴 。并 行传 输控 制协议 与流 控制 传

输协议多流技术[ J] .江苏通信,2011,( 4>:52~

5 4.

rL 3 1j 朱桂勇,吴庆渡.基于SCTP多宿特点的多路径同时传 输研究[ J] .计算机技术与发展,2007,17( 3):5—9.

rL 4 1j

Car o AL.SCTP:A Pr opos e d St a nda rd f or Robus t In—

t er n et Da t a Tr anspor t [ J ] .I EEE Comp,2003,36( 1 t ):

56—63.

rL 5 1J Ahme d AE A,Tar ek S,Myung L.LS—SCTP:A Ban d·

Wi dt h Aggr e ga t i on Techni que f or St re a m Co nt r o l Tr ans —

mi s s i on Pr ot ocol [ J ] .Compu t er Communi cat i ons,27

( 10) :1012~1024.

rL 6

I ye nga r J ,Ame r P,Rt e wa r t R.Concur r ent Muhi pat h

Tr a nsf e r Us i ng SCTP Mu hi h omi n g ove r I nde pe ndent
End —t o—e nd Pat hs [ J ] .I EEE/ACM Tra ns a ct i ons on

Net worki ng。2006,14(5) :951~964. rL 7 1l- 1J 王枫,罗家融.Li nux下多线程Socke t 通讯的研究与
应用[ J] .计算机工程与应用,2004,40( 16) :106一
】09.

Real i zat i on of Mul t i .pat h Concur r e nt Tr a ns mi s si on Bas ed on MI F QI Xue—wen8,LI NG Zhi 。hao钆 “,ZHANG Zhi —f ei o
( a .Sch oo l of I nf or mat i on Sci ence an d Engi neer i ng;b.MOE Ke y Labor a t or y of Advanced Cont r ol a nd Opt i mi za t i on f o,Che mi c a l Pr oce ss e s,Ea st Chi n a Un i ve r si t y of Sci ence an d Technol ogy,Shanghai 2002 37,Chi na) Abs t r a ct Co ns i d er i n g t he f a c t t hat MI F( Mul t i —i nt er f a ce ) t er mi na l a nd t he di ver s i t y of I nt ernet acce s s t ech · nol ogy ca n pr ov i de po wer f ul t echni ca l suppor t ,and i n t er mi nal cont r ol mec hani s m,t o meet t he ne e d of bot h i nt e r net of t hi ngs a nd ubi qu i t ous net wor k f or mul t i — fl ow con cur r e nt t r a ns mi s s i on,a mul t i —pa t h co ncur r en t t ra nsmi s s i on mode l was pr op ose d t o t r ans mi t t r af f i c f l ows t o MI F t er mi nal conc ur r en t l y by s pl i t t i ng t r af f i c f l ows on t he s er ver s i de.Th e exp er i ment al r es ul t s pr o ve i ts s upe r i or i t y i n i mpr ovi ng ne t wor k t h r oug hpu t a nd t r ans mi s s i on ef fi ci ency of t r af f i c f l ows. Key wor ds MI F,mul t i - pat h,t hr oughput
( 上接第1454页) St udy on Model i ng and Cont r ol of Two·- wheel ed Aut o·- bal anci ng Vehi cl e
XUE Fan,SUN J i ng- ga o,YAN Hua n- che ng ( MOE Ke y Labor a t or y of Advanced Cont r ol an d Opt i mi z at i on f or Chemi cal Pr o cess,
East Chi n a Un i ve r si t y of Sci ence and Technol ogy,Shanghai 200237,Chi na) Abs t r a c t Ba si n g on phys i cal s t r uct ur e of t he t wo- whee l e d vehi cl e, t he mec ha ni c al equ i l i b r i um of t he vehi cl e at t r ansi ent equ i l i b r i um was ana l yz ed t o obt ai n t he ba l ance equ at i on SO a s t o benef i t cal cul at i o n a nd t o es t abl i s h ma t he mat i ca l model .Si mul a t i on wi t h MATLAB a nd SI MULI NK t ool bo x s hows t hat t o cons t r uc t cl os ed l oop s y s t e m bas ed on open s y s t e m a nd mea nwhi l e t o s el e ct a s ui t abl e f e ed bac k gai n ca n make s ys t em’8 a ngl e ,a l l — gul ar vel oci t y, di s p l aceme nt a nd sp ee d t e nd t o be s t abl e a nd t he c ont rol l a bi l i t y of t he s y s t e m ca n be ver i f i ed , Key wor ds ba l a nce ve hi cl e,mechani c al equi l i br i um,pol e a ss i gnme nt ,open l o op,c l os ed l oop,f ee dbac k gai n, s i mul a t i on