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三角函数的图像与性质 知识点与题型归纳


●高考明方向 1.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象, 了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值,图象与 x 轴的交点等),理解正切函数 ? π π? 在区间?-2,2 ?内的单调性. ? ? ★备考知考情 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点,题 型既有选择题、填空题、又有解答题,难度属中低档,如 2014 课标全国Ⅱ14、北京 14 等;常与三角恒等变换交汇 命题,在考查三角函数性质的同时,又考查三角恒等变换 的方法与技巧, 注重考查函数方程、 转化化归等思想方法. 一、知识梳理《名师一号》P55 知识点

1

二、例题分析: (一)三角函数的定义域和值域 例 1. (1) 《名师一号》P56 对点自测 3 1 函数 y=lg(sinx)+ cosx- 的定义域为____________ 2

解析

sinx>0, ? ? 要使函数有意义必须有? 1 cosx- ≥0, ? 2 ?

sinx>0, 2kπ<x<π+2kπ, ? ? ? ? 即? 解得? π 1 π cosx≥ , - +2kπ≤x≤ +2kπ ? ? 2 3 3 ? ? (k∈Z). π ∴2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z. 3 π ∴函数的定义域为{x|2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z}. 3

例 1. (2) 《名师一号》P56 高频考点 例 1(1) 函数 y= sinx-cosx的定义域为________.

2

解 :(1) 要使函数有意义,必须有 sinx- cosx≥0 ,即 sinx≥cosx, 同一坐标系中作出 y=sinx, y=cosx, x∈[0,2π] 的图象如图所示.

结合图象及正、余弦函数的周期是 2π 知, ? ? ? ? π 5 ? 函数的定义域为?x?2kπ+4 ≤x≤2kπ+4π,k∈Z ?. ? ? ? ? ? 注意: 《名师一号》P56 高频考点 例 1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式(组) . 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解.

例 2. (1) 《名师一号》P56 对点自测 4 ?πx π? 函数 y= 2sin? 6 -3? (0≤x≤9)的最大值与最小值之 ? ? 和为( ) A.2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3
3

π π π 7π 解:∵0≤x≤9,∴- ≤ x- ≤ . 3 6 3 6 π? ? ? 3 ?π ∴sin?6x-3?∈?- ,1?. ? ? ? 2 ? ∴y∈[- 3,2],∴ymax+ymin=2- 3. 注意: 《名师一号》P56 高频考点 例 1 规律方法 2 求三角函数的值域的常用方法之一: 利用 sinx 和 cosx 的值域(图像)直接求;

例 2. (2)8 月月考第 17 题(1)
17.(满分 12 分)已知函数

f ( x) ? 3cos 2 x ? 2cos x sin x ? sin 2 x .
(I)当 x ?[0,

?
2

] 时,求 f ( x) 的值域;

f ( x) ? 3cos 2 x ? 2cos x sin x ? sin 2 x ? 1 ? 2cos 2 x ? sin 2 x ………2 分 ? 2 ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2 ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 2
4

sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] 4 2

? 2 sin(2 x ? ) ? 2 …………3 分 4 ? ? 5? ? x ?[0, ] 时, 2 x ? ?[ , ] ,……4 分 4 4 4 2 ? 2 , ……5 分
f ( x) ? [1, 2 ? 2] ,

?



f ( x) 的值域为 [1, 2 ? 2] .

…………………6 分

注意: 《名师一号》P56 高频考点 例 1 规律方法 2 求三角函数的值域的常用方法之二: 化为求 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的值域 如:① y ? a sin x ? b cos x 合一变换 y ? Asin( x ? ? ) ② y ? a sin x ? b sin x cos x ? c cos x 降幂 y ? d sin 2 x ? e cos2 x ? f 合一变换 y ? Asin(2 x ? ? ) ? b
2 2

注意弦函数的有界性!

变式:《名师一号》P58 特色专题

典例 1
5

π 若函数 f(x)=asinx-bcosx 在 x= 处有最小值-2, 3 则常数 a,b 的值是( ) A.a=-1,b= 3 B.a=1,b=- 3 C.a= 3,b=-1 D.a=- 3,b=1

解:函数 f(x)=asinx-bcosx 的最小值为- a2+b2. f(x)= a2+b2sin(x-φ) a b ? ? ?其中cosφ= 2 ?, 2,sinφ= 2 a +b a +b2? ?

?- a +b =-2, 则? ?π? 3 1 ?= a- b=-2, ?f? ? 3? 2 2
2 2

?a=- 3, 解得? ?b=1.

【名师点评】 解答本题的两个关键: ①引进辅助角,将原式化为三角函数的基本形式; ②利用正弦函数取最值的方法建立方程组.

例 2.(3)《名师一号》P56 高频考点 例 1(2) ?π 7π? 当 x∈?6, 6 ?时,函数 y=3-sinx-2cos2x 的最小值 ? ? 是________,最大值是________.
6

?π 7π? ? 1 ? 解:∵x∈?6, 6 ?,∴sinx∈?-2,1?. ? ? ? ? 2 又 y=3-sinx-2cos x=3-sinx-2(1-sin2x) 1? 7 ? =2?sinx-4?2+ . ? ? 8 1 7 ∴当 sinx= 时,ymin= ; 4 8 1 当 sinx=- 或 sinx=1 时,ymax=2. 2 注意: 《名师一号》P56 高频考点 例 1 规律方法 2 求三角函数的值域的常用方法之三: 把 sinx 或 cosx 看作一个整体,转换成二次函数求值域. 练习: (补充)

tan 2 x ? 1 (1)求函数 f ( x) ? 的值域 tan 2 x ? 1
【答案】 ?1,1?

?

2sin 2 x ? 1 ? ? ? ?? x ? (2)求函数 f ( x ) ? ? 0, ? ? 的值域 sin 2 x ? ? 2 ?? ?
7

【答案】 ? 3, ??

?

?

2sin 2 x ? 1 3sin 2 x ? cos x f ( x) ? ? sin 2 x 2sin x cos x 3tan 2 x ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? 3tan x ? ? 2 tan x 2? tan x ? ? ?? ? x ? ? 0, ? ? tan x ? 0 ? 2? 1 1 ? f ( x ) ? ?2 3tan x ? ? 3 2 tan x
注意:求三角函数的值域的常用方法之三: 求三角函数的值域的常用方法: 化为求代数函数的值域 注意约束条件----三角函数自身的值域!

例 2. (4)(补充) 求函数 f ( x) ? sin x cos x ? sin x ? cos x 的值域

【答案】 ? ?

? 1 ? ? 2,1? ? 2 ?
8

注意:求三角函数的值域的常用方法之四: 《名师一号》P56 问题探究 问题 3 如何求三角函数的值域或最值? ③形如 y=asinxcosx+b(sinx± cosx)+c 的三角函数, 可先设 t=sinx± cosx,化为关于 t 的二次函数求值域(或最 值). 利用 sin x ? cos x ? 1 转化为二次函数在指定区间 上的值域问题
2 2

变式: 求函数 f ( x) ? sin x cos x ? sin x ? cos x 的值域

例 2. (5)详见 第一章 第二讲函数值域 7.数形结合法: 例 7(2) 《名师一号》P14 问题探究 问题(6) 当一个函数图象可作时, 通过图象可求其值域和最值; 或利用函数所表示的几何意义, 借助于几何方法求出函数 的值域. (补充)如两点间距离、直线斜率等等 求函数 y ? 4sin x ? 1 的值域 2cos x ? 4

9

1? ? ? 1? 4 ? sin x ? ? sin x ? ? ? ? 4? ? 4 ? 可视作单位圆外一点 解: y ? ? ? 2? 2 ? cos x ? 2 ? cos x ? 2

1? ? P ? 2, ? ? 与圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点 ? cos x,sin x ? 所连线 4? ? 1? ? 段斜率的 2 倍,设过点 P ? 2, ? ? 的点的直线方程为 4? ? 1 1 y ? ? k ? x ? 2 ? 即 kx ? y ? 2k ? ? 0 4 4 1 2k ? 3 5 4 ? 1 解得 k ? ? 或 k ? 令 4 12 1? k2 ? 3 5? 答案: ? ? , ? ? 2 6?
注意:求三角函数的值域的常用方法之五: 数形结合法 练习:求函数 y ? cos x ? 1 sin x ? 2

x ? ?0,? ? 的值域

10

答案: ? 0, ? 3 变式:求函数 y ? cos x ? 1 sin x ? 2 答案: ? 0, ? 2 拓展:8 月月考第 16 题
? ? ?? x ? ? ? , ? 的值域 ? 2 2?

? 4? ? ?

? 1? ? ?
?

2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? x 4 函数 f ( x) ? 的最大值是 M ,最小值是 2 x 2 ? cos x . m ,则 M ? m 的值是

2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? x sin x ? cos x ? 2 x 2 ? x sin x ? x 4 f ( x) ? ? ? 1? 2 2 2 2 x ? cos x 2 x ? cos x 2 x ? cos x sin x ? x ,记 g ( x) ? ,则 g ( x) 是奇函数且 f ( x) ? 1 ? g ( x) , 2 x 2 ? cos x 所以 f ( x ) 的最大值是 M ? 1 ? g ( x)max , 最小值是 m ? 1 ? g ( x)min ,因为 g ( x) 是奇函数, 所以 g ( x)max ? g ( x)min ? 0 , 所以 M ? m ? 1 ? g ( x)max ? 1 ? g ( x)min ? 2 .
11

?

(三)三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例 1. (1) 《名师一号》P56 对点自测 5 π? ? 设函数 f(x)=sin?2x-2 ?,x∈R,则 f(x)是( ) ? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π π C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2

答案

B 高频考点 例 3(2)

例 1. (2) 《名师一号》P57

(2014· 新课标全国卷Ⅰ)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|, π? π? ? ③y=cos? ?2x+6?,④y=tan?2x-4?中,最小正周期为 π 的所 有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③

2π 解:由于 y=cos|2x|=cos2x,所以该函数的周期为 =π;由 2 π 2x+ ?的周期 函数 y=|cosx|的图象易知其周期为 π;函数 y=cos? 6? ? π 2π π ? 为 =π; 函数 y=tan? 故最小正周期为 π 的函 ?2x-4?的周期为2, 2 数是①②③,故选 A.
12

注意: 《名师一号》P56 问题探究 问题 1 如何求三角函数的周期? (1)利用周期函数的定义. (2)利用公式: y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 π . |ω| 2π , |ω|

例 1. (3) 《名师一号》P58 特色专题 典例 2 π? 函数 f(x)= sin? ?ωx+3?+sinωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距
离为 2,则 ω=________

【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为 2,即 T=4. π 1 3 3 ωx+ ? + sinωx = sinωx + cosωx + sinωx = f(x) = sin ? 3 ? ? 2 2 2 π 3 ? sinωx+ cosωx= 3sin? ?ωx+6?,又因为 f(x)相邻两条对称轴之 2 2π π 间的距离为 2,所以 T=4,所以 =4,即 ω= . ω 2

注意: 【名师点评】 函数 f(x)=Asin(ωx+φ), f(x)=Acos(ωx
+φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值
13

π ,纵坐标之差的绝对值是 2A.在解决由三角函 |ω| 数图象确定函数解析式的问题时,要注意使用好函数图象显示出 来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐 标等. 是函数的半周期 练习:《加加练》P3 第 11 题 例 3(1)

例 2. (1) 《名师一号》P57 高频考点

x+φ (1)若函数 f(x)=sin (φ∈[0,2π])是偶函数, 3 则 φ=( ) π 2π 3π 5π A. B. C. D. 2 3 2 3 x+φ (1)∵f(x)=sin 是偶函数, 3 ∴f(0)=± 1. φ φ π ∴sin =± 1,∴ =kπ+ (k∈Z). 3 3 2 3π ∴φ=3kπ+ (k∈Z). 2 3π 又∵φ∈[0,2π],∴当 k=0 时,φ= .故选 C. 2 解:

14

x+φ 变式: 若函数 f(x)=sin (φ∈[0,2π])是奇函数, 则 φ=? 3
例 2. (2) 《名师一号》P57 高频考点 例 3(3)

?4π ? (3)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0? ? ? 中心对称,那么|φ|的最小值为( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2

解:(3)由题意得 4π ? ?2π ? 3cos? ?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π? 2π 2π π ? =3cos? ? 3 +φ?=0,∴ 3 +φ=kπ+2,k∈Z. π π ∴φ=kπ- ,k∈Z,取 k=0,得|φ|的最小值为 . 6 6

注意: 【规律方法】 (1)若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取 得最大或最小值,若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x =0 时,f(x)=0. (2)对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的 最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判 断直线 x=x0 或点 (x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心
15

时,可通过检验 f(x0)的值进行判断. 《名师一号》P56 问题探究 问题 4 如何确定三角函数的对称轴与对称中心? 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数, 则当 x=0 时,f(x)取得最大值或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数, 则当 x=0 时,f(x)=0. 如果求 f(x)的对称轴, π 只需令 ωx+φ= +kπ(k∈Z),求 x. 2 (补充)结果写成直线方程! 如果求 f(x)的对称中心的横坐标, 只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)即可. (补充)结果写点坐标! 同理对于 y=Acos(ωx+φ),可求其对称轴与对称中心, 对于 y=Atan(ωx+φ)可求出对称中心.
练习 1: 《名师一号》P58 特色专题 典例 3

π? 已知 f(x)=sinx+ 3cosx(x∈R), 函数 y=f(x+φ)? ?|φ|≤2?为偶 函数,则 φ 的值为________.

【规范解答】 先求出 f(x+φ)的解析式,然后求解.
16

π? ∵f(x)=sinx+ 3cosx=2sin? ?x+3?. π? ∴f(x+φ)=2sin? ?x+φ+3 ?. π π ∵函数 f(x+φ)为偶函数,∴φ+ = +kπ,k∈Z, 3 2 π 即 φ= +kπ(k∈Z). 6 π π 又∵|φ|≤ ,∴φ= . 2 6 练习 2: 《计时双基练》P247

第3题

(四)三角函数的单调性 例 1. (1) 《名师一号》P56

对点自测 6 π π? 下列函数中,周期为 π,且在? ?4,2?上为减函数的是( π? π? A.y=sin? B.y=cos? ?2x+2? ?2x+2? π? π? C.y=sin? D.y=cos? ?x+2? ?x+2?
由函数的周期为 π,可排除 C,D. π π? 又函数在? ?4,2?上为减函数,排除 B,故选 A. 解析

)

练习 1: 《计时双基练》P247

第7题
17

?? ? 函数 y ? cos ? ? 2x ? 的单调递减区间为 ?4 ? 练习 2:《加加练》P1 第 11 题

(2)《名师一号》P57

高频考点

例2

π? 已知函数 f(x)=4cosωx· sin? ?ωx+4?(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; π? (2)讨论 f(x)在区间? ?0,2?上的单调性. π? 解 : (1)f(x) = 4cosωx· sin ? cosωx + 2 2 ?ωx+4? = 2 2 sinωx· π? cos2ωx= 2(sin2ωx+cos2ωx)+ 2=2sin? ?2ωx+4 ?+ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0. 2π 从而有 =π,故 ω=1. 2ω π? (2)由(1)知,f(x)=2sin? ?2x+ 4?+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 4 4 8 2
18

π? 综上可知,f(x)在区间? ?0,8?上单调递增, π π? 在区间? ?8,2 ?上单调递减.

注意: 《名师一号》P56 问题探究 问题 2 如何求三角函数的单调区间? (1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式 先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”. (2)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中, ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解 不等式求解.但如果 ω<0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错.

例 2. 《名师一号》P58 特色专题 典例 4 (2014· 全国大纲卷)若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区 ?π π? 间?6,2?是减函数,则 a 的取值范围是________. ? ?

【规范解答】 先化简,再用换元法求解. f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx.
19

π π? 令 t=sinx,∵x∈? ? 6 , 2 ?, 1 ? ∴t∈? ?2,1?. 1 ? ∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1? ?2<t<1?, a 1 由题意知- ≤ ,∴a≤2. 2×?-2? 2 ∴a 的取值范围为(-∞,2].

课后作业 一、计时双基练 P247 基础 1-11、 课本 P56 变式思考 1 二、计时双基练 P247 培优 1-4 课本 P56 变式思考 2、3 预习 第五节 练习: 1、设函数 f(x)=2sin(

? ? x+ ).若对任意 x∈R,都有 2 5
C.1 D.

f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为( ) A.4 B.2

1 2
20

分析:∵f(x)的最大值为 2,最小值为-2,

∴对?x∈R,-2≤f(x)≤2. 取到最值时 x=

? +kπ,|x1-x2|取最小值,即 2
T =2. 2

f(x1)为最小值, f(x2)为最大值且 (x1, f(x1)), (x2, f(x2))为 相邻的最小(大)值点,即半个周期. 解析:f(x)的周期 T=4,|x1-x2|min=

故选 B. 2、为了使函数 y ? sin ?x(? ? 0) 在区间 [0,1] 上至少出现 50 次最大值,求 ? 的最小值。 3、 (12 天津文 7)将函数 f ( x) ? sin ?x(? ? 0) 的图像向右 ? 3? 平移 个单位长度, 所得图像经过点 ( ,0) , 则 ? 的最小 4 4 值是 特殊情况---三角函数的奇偶性 例 2 (补充) (1) (08. 江西) 函数 f ( x ) ? 是( ) A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数 【答案】A
21

sin x sin x ? 2sin x 2

B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

(07 年辽宁理) 已知函数 π? π? ?x ? ? f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 2 ,x ? R 6? 6? 2 ? ? (其中 ? ? 0 ) (I)求函数 f ( x) 的值域; (II)若对任意的 a ? R ,函数 y ? f ( x) , x ? (a,a ? π] 的图象与直线 y ? ?1 有且仅有两个不同的交点, 试确定 ? 的值(不必证明) ,并求函数 y ? f ( x),x ? R 的单调增区间.

?? ? 答案: (I) f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? ? 1 1 ??3 , ? 6? ? ? ?? ? (II) T ? ? , ? ? 2 k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ? 6 3? ? 变式:求函数 ? ?? y ? f ( x),x ? ?0, ? 的单调增区间. ? 2?

22

23


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