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2013-2014上高一数学期中试题


龙泉中学 2013~2014 学年度上学期期中考试

②已知函数 f ?x ? ? 4 x ? kx ? 8 在 ?5,20 ? 上具有单调性,则 k 的取值范围是 [40,160] ;
2

高一数学试题
本试卷三大题 21 小题,全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. ★祝考试顺利★ 一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题意要求的. 1.设全集 U ? {1,2,3,4,5} ,集合 A ? {2,3,4} , B ? {2,5} ,则 B ? (? A) ? ( ) U A. {5} B. {1, 2,5} C. {1,2,3,4,5} D. ? 2.高一(1)班共 40 人,其中 24 人喜欢篮球运动,16 人喜欢乒乓球运动,6 人这两项运动都不喜欢, 则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为( ) A.17 B. 1 8 C.19 D.20 3.阅读下列事件和图象,并确定出图象与事件吻合得最好的一组是( ) 甲:小明离开家不久,发现作业掉在了家里,于是返回取了作业再赶到学校; 乙:小明乘车去学校,车匀速行驶直到学校,但是途中遇到了一次交通堵塞; 丙:小明出发后赶时间不断加速,快要到达时减速缓慢行驶; 丁:小明出发后,缓慢行驶,后来赶时间不断加速.

③在区间 ?0,??? 上,函数 y ? x , y ? x , y
?1

1 2

? x , y ? x 3 中有 3 个函数是增函数 ;

1 3

④若 log m 3 ? log n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ; A.①②③④ B.①②③ C.①③④ ?1 ( x为有理数) 7.函数 f ( x) ? ? , 则下列结论 错误 的是 ( ) ? ? ? 0 ( x为无理数) A. f ( x) 是偶函数 C.方程 f ( f ( x)) ? f ( x) 的解为 x ? 1 D.①②④

B. f ( x) 的值域是 {0, 1} D.方程 f ( f ( x)) ? x 的解为 x ? 1

x 8.若当 x ? R 时,函数 f ( x) ? a 始终满足 0 ? f ( x) ? 1 ,则函数 y ? log a

1 的图象大致为( x

)

9.抽 气 机 每 次 抽 出 容 器 内 空 气 的 60%,要 使 容 器 内 剩 下 的 空 气 少 于 原 来 的 0.1%,则 至 少 要 抽 ( 参 考 数 据 : lg 2? 0. 3010, lg 3 0. 4771 ) ) ( ? A.8 次 B.9 次 C.14 次 D.15 次 10.若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,则有(
x



A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3)

B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卡上. 11.集合 A ? ?a, b, c? 的真子集的个数有 A.甲与 D,乙与 A,丙与 C,丁与 B C.甲与 A,乙与 D,丙与 C,丁与 B 4.幂函数 f ( x) ? x 的图象过点( A.
?

个.

B. 甲与 D,乙与 A,丙与 B,丁与 C D. 甲与 A,乙与 D,丙与 B,丁与 C ) D. ?2

12.已知集合 A ? y y ? log 2 x , x ? 1 ,集合 B ? ? y y ? ( ) , x ? 1? 则 A ? B ?
x

1 2 , ),则 log 2 f (2) 的值为( 2 2
C.2

1 2

B. ?

1 2

5.设 x ? log 2

1 1 , y ? 2 2 , z ? 7 ? 2 , 则 x , y , z 的大小关系为( ) 4 A. y ? z ? x B. z ? x ? y C. x ? y ? z D. x ? z ? y

? ? 13.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 v??m / s 和燃料的质量 M kg 、火箭(除燃料外)的质 M 量 m kg 的函数关系是 v ? 2000 ? log 2 (1 ? 倍时,火箭的最 ) .当燃料质量是火箭质量的 m 大速度可达到 12??km / s . ? x? x ? 4?, x ? 0 14.已知函数 f ? x ? ? ? ,若 f ?ln a ? ? f ?2? ,则 a 的取值范围是 . ? x? x ? 4?, x ? 0
15.已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若满足对于任意 x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成 立.则 m 的取值范围是 .
x

?

?

?

1 2

?



6.下列四个结论中,正确的结论是(



①已知奇函数 f ? x ? 在 ?a, b ? 上是减函数,则它在 ?? b,?a ?上是减函数;

第1页

共2页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出必要的文字说明.证 明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)求值: (1) [?2 ? ( ) ] ? [(?2) ] 3 ? 10(2 ? 3) ? 300
0 2 3

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? b ? a
( x2 ? 2 x )

7 3

4

5 ? 3 ? , (a, b 是常数 a ? 0 且 a ? 1 )在区间 ?? ,0? 上有 ymax ? 3, ymin ? . 2 ? 2 ?

?1

(1)求 a, b 的值; (2)若 a ? N ? 当 y ? 10 时,求 x 的取值范围.

(2) 2log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 8 ? 52 log5 3 9

20. (本小题满分 13 分) 经 市 场 调 查 , 方 百 货 超 市 的 一 种 商 品 在 过 去 的 一 个 月 内 以 30 天 计 算 ) 销 售 价 格 f (t ) 东 ( , 17. (本小题满分 12 分) 全集 U ? R ,函数 f ( x) ? (1)求 ? A ; U

1 ? lg(3 ? x) 的定义域为集合 A ,集合 B ? x x 2 ? a ? 0 . x?2

?

?

与 时 间 t ( 天 ) 的 函 数 关 系 近 似 满 足 f (t ) ? 1 0 0 (1 ? 系 近 似 满 足 g (t ) ? ?

1 , 销 售 量 g (t ) 与 时 间 t ( 天 ) 的 函 数 关 ) t

(2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

? t? ?1 0 0? t (1 t ? 2 5, N ) . ?150 ? t (25 ? t ? 30, t ? N ) ( 1) 试 写 出 该 商 品 的 日 销 售 金 额 W (t ) 关 于 时 间 t (1? t ? 30 ,t ? N 的 函 数 表 达 式 ; ) ( 2) 求 该 商 品 的 日 销 售 金 额 W (t ) 的 最 大 值 与 最 小 值 .

18. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2
x ?m

1 1 2 已知定义在 (??, 0) ? (0, ? ?) 上的函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? ?1 ? 2log 2 ( x ? 2 ) . x x (1)求 f (1) 的值; (2)求函数 f ( x) 的解析式.

和函数 g ( x) ? x x ? m ? 2m ? 8 ,其中 m 为参数,且满足 m ? 8 .

(1)若 m ? 2 ,写出函数 g ( x) 的单调区间(无需证明) ; (2)若方程 f ( x) ? 2 在 x ?[?4, ? ?) 恒有唯一解,求实数 m 的取值范围;
m

(3)若对任意 x1 ? (?? , 4] ,均存在 x2 ? [4, ? ? ) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

龙泉中学 2013~2014 学年度上学期期中考试

高一数学 (参考答案)
一、选择题: 1 题号 答案 B 2 B 3 A 4 A 5 D 6 C 7 C 8 B 9 A 10 D

二、填空题:
第2页 共2页

11.7

12. ? y 0 ? y ? 1 ? ? ?
? 2?

13.63

14. a ? e 2或0 ? a ?

1 e2

15. ?4 ? m ? 0

若 0 ? a ? 1 ,函数 y ? a t 在 R 上单调递减, 所以 a t ? [1, ] ,则 b ? a x

1 a

2

?2 x

1 ? [b ? 1, b ? ] , a

三、解答题:

10 ? 300 2? 3 ? 4 ?16 ? 10(2 ? 3) ? 10 3 ? 84 …………………………………………6 分 32 (2) 原式 ? log3 4 ? log3 +log3 8 ? 5log5 9 9 32 ? log3 (4 ? ? 8) ? 9 ? 2 ? 9 ? ?7 ………………………………………12 分 9 ?x ? 2 ? 0 17.解:(1)∵ ? ∴ ?2 ? x ? 3 ………………………………………………………3 分 ?3 ? x ? 0 ? ? ∴A=(-2,3) ∴ Cu A ? ? ??, 2? ? ?3, ? ? …………………………………………6 分
16.解: (1) 原式 ? (?2 ?1) ? (?2)
2

3?

4 3

?

2 ? 1 ? ?b ? a ? 3 ?a ? 3 ? ? , ………………………………………………………………………………6 分 ?? ? 5 3 ?b ? 1 ? ?b ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ?a ? 3 ?a ? 2 ? 所求 a , b 的值为 ? 或? ;………………………………………………………………7 分 ?b ? 3 ?b ? 2 ? ? 2 (2)由(1)可知 a ? 2 , b ? 2 , …………………………………………………………………8 分
则 y ? 2?2

? 10 ,得 x 2 ? 2 x ? 3 即 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 解得 x ? 1 或 x ? ?3 .………………………………………………………………………………12 分
20.解:(1)当 1 ? t ? 25 时, W (t ) ? g (t ) f (t ) ? 100(100 ? t )(1 ? ) ? 100(t ? 当 25 ? t ? 30 时, W (t ) ? g (t ) f (t ) ? 100(150 ? t )(1 ? ) ? 100(

x2 ? 2 x

(2)当 a ? 0 时, B ? ? 满足 A ? B ? A 当 a ? 0 时, B ? (? a,a ) ∵ A? B ? A ∴? ∴B ? A ∴0 ? a ? 4

………………………………………………8 分

1 t

100 ? 101) ; t

?? a ? ?2 ? ? a ?3 ?

1 t

150 ? t ? 149) ; t

……………………………………………11 分

综上所述:实数 a 的范围是 a ? 4 ……………………………………………………12 分 18.解: (1)? 2 f ( x) ? f ( ) ? ?1 ? 2log 2 ( x ?
2

1 ) ,令 x ? 1 , x2 1 ? 2 f (1) ? f (1) ? ?1 ? 2log 2 (1 ? 1) ? 1, ? f (1) ? . ………………………………6 分 3 1 1 2 (2)由 2 f ( x) ? f ( ) ? ?1 ? 2log 2 ( x ? 2 ) …………………………① x x 1 1 1 用 来代替 x 得 2 f ( ) ? f ( x) ? ?1 ? 2log 2 ( x 2 ? 2 ) …………② x x x 1 2 1 ①? 2 ? ② 得 f ( x )? ? ? l o2gx 2(? 2 ………………………………………12 分 ) 3 3 x
3 , 0] ,∴ t ? x 2 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1 值域为 [?1, 0] , 2
所以, a t ? [ ,1] 则 b ? a x

1 x

100 ? ? 100(t ? t ? 101) (1 ? t ? 25, t ? N ) ? 所以 W (t ) ? ? …………………………………………6 分 ?100(150 ? t ? 149) (25 ? t ? 30, t ? N ) ? t ? 100 (2)(i)当 1 ? t ? 25 时,由双勾函数的性质知 W (t ) ? 100(t ? ? 101) 在区间 [1,10] 上单减, t 在区间 [10, 25) 上单增, W (10) ? 12100, W (1) ? 20200, W (25) ? 13000 . 所以当 t ? 10 时, W (t ) 最小值为 12100 ,当 t ? 1 时, W (t ) 最大值为 20200 ;……………9 分 150 150 (ii)当 25 ? t ? 30 时, W (t ) ? 100( ? t ? 149) , y ? 和y ? ?t 在 [25, 30] 单减,则 W (t ) 在区 t t 间 [25, 30] 单减, W (t )max ?W (25) ? 13000, W (t )min ?W (30) ? 12400 ;……………………11 分 综上,当 t ? 1 时, W (t ) 最大值为 20200 ;当 t ? 10 时, W (t ) 最小值为 12100 …………13 分
?x2-2x-4?x≥2?, ? 21.解:(1)m=2 时,g(x)=? 2 ? ?-x +2x-4?x<2?.

…………………………………………………1 分

19.解: (1)因为 x ? [ ?

即 t ? [?1, 0] …………………………………………………………………………………… 2 分 若 a ? 1 ,函数 y ? a 在 R 上单调递增,
t

1 a

2

?2 x

1 ? [b ? , b ? 1] , a

函数 g(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞),单调减区间为(1,2). ……………4 分 (2)由 f(x)=2|m|在 x∈[-4,+∞)恒有唯一解, 得|x-m|=|m|在 x∈[-4,+∞)恒有唯一解. 即 ( x ? m) ? m ,解得 x ? 0 或 x ? 2m ,由题意知 2m=0 或 2m<-4, 即 m<-2 或 m=0. 综上,m 的取值范围是 m<-2 或 m=0.……………………………………………………8 分
2 2

? 1 5 ?a ? 2 ?b ? ? , ? a 2 ?? ?b ? 2 ?b ? 1 ? 3 ?

………………………………………………………………………4 分
第3页 共2页

? x m?x≥m?, ?2 (3)f(x)=? m-x ? ?x<m?. ?2


则 f(x)的值域应是 g(x)的值域的子集.………………………………………………………10 分 ①m≤4 时,f(x)在(-∞,m]上单调递减,[m,4]上单调递增,故 f(x)≥f(m)=1. g(x)在[4,+∞)上单调递增,故 g(x)≥g(4)=8-2m,所以 8-2m≤1, 7 即 ≤m≤4. ………………………………………………………………………………12 分 2 - ②当 4<m≤8 时,f(x)在(-∞,4]上单调递减,故 f(x)≥f(4)=2m 4, g(x)在[4,m]上单调递减,[m,+∞)上单调递增,故 g(x)≥g(m)=2m-8, - 所以 2m 4≥2m-8,解得 4<m≤5 或 6≤m≤8. …………………………………13 分 综上,m 的取值范围是 [ , 5] ? [6, 8] . ……………………………………………………14 分

7 2

本试卷来源于课本必修一的题目有:
第 1 题 课本 P 4 变形 11 第 3 题 课本 P23 练习 2 原题 第 2 题 课本 P44 B组 1 第 4 题 课本 P B组 1 变形 82

第 6 题 ①来自 P45 6(1) ②来自 P44 9 ③来自 P77 ④来自 P 10 75 第 9 题 课本 P66 ?67 例题改编 第 11 题 课本 P7 1 原题 第 13 题 课本 P74 9 原题 第 17 题 课本 P 例 1 改编 17 第 10 题 课本 P83 4 改编 第 12 题 课本 P83 1 原题 第 14 题 课本 P45 4 改编

第4页

共2页


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