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江苏省南通市通州区2013届高三重点热点专项检测数学试题(含附加题及答案)


2013 届高三重点热点专项检测

数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在相应位置上. 1.已知集合 A ? ??1, , B ? ? x ax ? 1 ? 0? ,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集 1? 合为 ▲ .

??? ??? ? ? z 2.如图,在复平面内,复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB ,则复数 1 对应的点位于第 z2



象限. ▲ .

3.右面伪代码的输出结果为

第 2 题图
4 ? 3 ? ?π ? 4.已知 ? ? ? π, π ? ,cos ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? 5 ? 2 ? ?4 ?

第 3 题图 ▲ .

5.当 A,B ??1,2,3? 时,在构成的不同直线 Ax-By=0 中,任取一条,其倾斜角小于 45? .. 的概率是 ▲ . ▲ .

6.已知直线 m, l ,平面 ? , ? ,且 m ? ? , l ? ? .下列命题中,正确命题的序号是 ①若 ? // ? ,则 m ? l ; ③若 m ? l ,则 ? // ? ; ②若 ? ? ? ,则 m // l ; ④若 m // l ,则 ? ? ? .

7 . 若 圆 C : ( x ? h)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 在 不 等 式 x ? y ? 1≥ 0 所 表 示 的 平 面 区 域 内 , 则 h 的 最 小 值 为 ▲ .

8.已知奇函数 f ( x ) 是 R 上的增函数,且 f (2) ? 1 ,设集合 P ? ? x f ( x ? t ) ? 1? ,

Q ? {x | f ( x ? t ) ? ?1} ,若“ x ? P ”是“ x ? Q ”的充分不必要条件,则实数 t 的取值
范围是 ▲ . ▲ 个单位,可得一个偶函数的图象. ▲ .

5π ? ? 9.将函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象向左平移至少 6 ? ?

10.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,对 ?n ? N * , an? 2 ≤ an ? 3?2n , an?1≥2an ? 1 ,则 a 2 = 11.若 x ? 0, y ? 0 ,且 x2 ? y 2 ? 1 ,则 12.已知 F1 , F2 为椭圆
x y ? 的最小值是 2 1 ? x 1 ? y2





x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,若点 P 在椭圆上,且满足 PF1 ? 3 ,Q 是 y 轴 25 9 ??? ???? ???? ? ? 上的一个动点,则 PQ? PF1 ? PF2 ) = ▲ . (
An 9n ? 77 a ? ,若 k ? k ? N *? 是整数, Bn n?3 b2 k

13.两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 前 n 项的和分别为 An 和 Bn ,且 则k = ▲ .

14.已知 f ( x) ? 1 ?

1 1 , g ( x) ? ,若实数 a 满足对任意的 x ? 0,1 ,恒有 f ( x) ? g ( x) ≥a , x 1? x
▲ .

则 a 的最大值为

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 已知 O 为坐标原点, OA ? (2sin2 x,1), OB ? (1, ?2 3sin x cos x ? 1) , f ( x) ? OA ? OB ? m .
(1)求 y ? f (x) 的单调递增区间;
?π ? (2)若 f ? x ? 的定义域为 ? , π ? ,值域为 ? 2,5? ,求 m 的值. ?2 ?

16. (本小题满分 14 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明: D1 E ? A1 D ; (2) AE 等于何值时,平面 D1DE ? 平面 D1CE ,并证明你的结论;

D1

C1 B1

A

17. (本小题满分 14 分) 在淘宝网上,某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产 每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克, 1 ? x ≤ 5 )满足:当 1 ? x ≤ 3 时,

b , a, b为常数) ;当 3 ? x ≤ 5 时, y ? ?70 x ? 490 .已知当销售价格为 2 元/千克 ( x ?1 时,每日可售出该特产 700 千克;当销售价格为 3 元/千克时,每日可售出 150 千克. y ? a ? x ? 3? ?
2

(1)求 a, b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销售该特产所获利润 . f ? x ? 最大( x 精确到 0.01 元/千克)

18. (本小题满分 16 分) 已知斜率为 ?2 的直线 l1 与椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 交于 A, B 两点,且线段 AB 的中点为 a2

?1 1? E ? , ? .直线 l2 与 y 轴交于点 M ? 0, m ?? m ? 0 ? ,与椭圆 C 交于相异两点 P, Q ,O 为坐标原点,且 ?2 2? ???? ? ???? ??? ? ? ???? ???? ? PM ? ? MQ, OP ? ? OQ ? 4OM , ? ? R .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 ? 的值; (3)求 m 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 An : a1 , a2 ,?, an ,如果数列 Bn : b1 , b2 ,?, bn 满足 b1 ? an , bk ?1 ? bk ? ak ?1 ? ak (2≤k≤n) ,

则称 An 的衍生数列是 Bn . (1)若 A2013 的衍生数列是 B2013 :1, 2,?, 2013 ,写出 a1 的值(不必给出过程) ; (2)若 A4 是公比 q ? 1 的等比数列,其衍生数列 B4 也是等比数列,求 q 的值;
3 (3) n(n≥) 是奇数,An , Bn , Cn 满足后者是前者的衍生数列,ak , bk , ck 分别是 An , Bn , Cn 中的第 k 设

项( 1 ≤ k ≤ n ) ,求证: ak , bk , ck 成等差数列.

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ?

a 3 x ? bx2 ? cx(a, b, c ? R, a ? 0) . 3

(1)若函数 f ? x ? 为奇函数,求 b 的值; (2)在(1)的条件下,若 a ? ?3 ,函数 f ? x ? 在 ? ?2,2? 上的值域为 ? ?2,2? ,求 f ? x ? 的零点; (3)若不等式 axf ?( x) ≤ f ( x) ? 1恒成立,求 a ? b ? c 的取值范围.

2013 届高三重点热点专项检测

数学附加题
21.本题包括高考 A,B,C,D 四个选题中的 B,C 两个小题,每小题 10 分,共 20 分.把答案写 在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. B.选修 4—2:矩阵与变换
?? ?1 ? ?? ? ?? ? ?1 1? 已知矩阵 A ? ? ,向量 ? ? ? ? .求向量 ? ,使得 A2 ? ? ? . ? ?2? ? 2 1?

C.选修 4—4:极坐标与参数方程

? x ? 3 cos? 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) .以 O 为极点, x 轴 ? y ? sin ?
π? ? 正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 2 ? cos ? ? ? ? ? 3 6 . 求椭圆 C 上的点到直线 l 距 3? ?

离的最大值和最小值. 22. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

在公园游园活动中有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球,乙箱子里装有 1 个 白球和 2 个黑球,这些球除颜色外完全相同;每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球,若摸 出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (1)在一次游戏中:①求摸出 3 个白球的概率;②求获奖的概率; (2)在两次游戏中,记获奖次数为 X :①求 X 的分布列;②求 X 的数学期望. 23. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

对正整数 n≥2 ,记 an ?

? n ? i ? 2i?1
i ?1

n?1

n

1

(1)求 a2 , a3 , a4 , a5 的值; (2)求证:当 n≥5 时,有 an ≤

10 . 3

2013 届高三重点热点专项检测
数学参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. ??1,0,1? 8. t ? ?2 2.二 9. 3.26 4.

1 7

5.

3 7
12. ? 20

6.① ④ 13.29

7. ?2 ? 2 14.1

π 3

10.3

11. 2 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.解: (1) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? m = 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? m = ?2sin(2 x ? ) ? 2 ? m 6 ……2 分

?

3? ? 2k? (k ? Z ) 2 6 2 ? 2? ? ? (k ? Z ) 得 y ? f (x) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? 6 3 ? ? ?


?

? 2k? ≤ 2 x ?

?



……6 分 ……7 分

(2)当

7? ? 13? ? 2x ? ? 2 6 6 6 ? 1 ∴ ? 1 ? sin( 2 x ? ) ? 6 2

?

? x ? ? 时,

∴ 1 ? m ? f ( x) ? 4 ? m ,∴ ?

?1 ? m ? 2 ? m ?1 ?4 ? m ? 5

……14 分

16. (1)证明:连接 AD1 , 依题意有:在长方形 A ADD1 中, AD ? AA ? 1 , 1 1

A1 D ? AD1 ? ? ? A1 D ? 平面AD1 B ? …… 7 分 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1D ? ? ? A1D ? D1E . ? D1 E ? 平面AD1 B ? AD ? AB ? A? (2)证明: AE 等于 1 时,面 D1DE ? 面 D1CE ……… 9 分
证明:当 AE ? 1 时, DE ? CE ? 2 ,又 CD ? 2 ,? DE 2 ? CE 2 ? CD2 , ? DE ? CE ,又长方体中 DD1 ? 面 AC ,?CE ? DD1 ,? CE ? 面 D1 DE 所以,面 D1DE ? 面 D1CE 17.解: (1)因为 x=2 时,y=700;x=3 时,y=150,所以 ……… 14 分

四边形A1 ADD1 ?

?b ? ? 150 解得 a ? 400, b ? 300 ?2 ? a ? b ? 700 ? 300 ? 2 (1 ? x ? 3) ?400( x ? 3) ? 每日的销售量 y ? ? x ?1 ??70 x ? 490(3 ? x ? 5) ?
(2)由(1)知, 当 1 ? x ? 3 时: 每日销售利润 f ( x) ? [400( x ? 3) 2 ?

…………6 分

300 ]( x ? 1) ? 400( x ? 3)2 ( x ?1) ? 300 x ?1 3 2 ? 400( x ? 7 x ? 15x ? 9) ? 300 ( 1 ? x ? 3 )

f '( x) ? 400(3x2 ?14 x ? 15)
5 , 或 x ? 3 时 f '( x) ? 0 , 3 5 5 当 x ? (1, ) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单增;当 x ? ( ,3) 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单减. 3 3 5 5 32 ? x ? 是函数 f ( x) 在 (1,3] 上的唯一极大值点, f ( ) ? 400 ? ? 300 ? 700 ; 3 3 27
当x? …………10 分 当 3 ? x ? 5 时,每日销售利润 f ( x) ? (?70 x ? 490)( x ? 1) = ?70( x2 ? 8x ? 7)

5 f ( x) 在 x ? 4 有最大值,且 f (4) ? 630 ? f ( ) . 3 5 综上,销售价格 x ? ? 1.67 元/千克时,每日利润最大. 3
18.解: (1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? 1, ∵
y1 ? y2 ? ?2 . x1 ? x2

…………13 分 …………14 分

x12 x2 ( x ? x )( x ? x ) ? y12 ? 1, 22 ? y2 2 ? 1 ,∴ 两式相减得 1 2 2 1 2 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 2 a a a



x1 ? x2 y ? y2 1 1 ? ( y1 ? y2 ) 1 ? 0 ,即 2 ? 1? (?2) ? 0 ,得 a 2 ? , 2 x1 ? x2 2 a a

∴ 椭圆 C 的方程为 2 x 2 ? y 2 ? 1 .

…………5 分

(2)解法 1:设 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) , l2 : y ? kx ? m (∵l2 与 y 轴相交,∴l2 的斜率存在) . ???? ? ???? ? ? PM ? ? MQ, ? (? x3 , m ? y3 ) ? ? ( x4 , y4 ? m), ? ? x3 ? ? x4 , ? 由 ? ??? 得? ? ???? ???? 得 ? ? ?( x3 ? ? x4 , y3 ? ? y4 ) ? (0, 4m), ? y3 ? ? y4 ? 4m, ?OP ? ? OQ ? 4OM ? 即?
x3 ? ?? x4 ,??① 将① 代入② (? ? 3)m ? 0 , 得 ?(kx3 ? m) ? ? (kx4 ? m) ? 4m,??② ?

∵m ? 0 ,∴? ? 3 . …………10 分 ???? ? ???? ? ???? ??? ? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ???? ? 解法 2:∵PM ? ? MQ ,∴OM ? OP ? ? (OQ ? OM ) ,∴OP ? ? OQ ? (1 ? ? )OM ,
??? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 又∵OP ? ? OQ ? 4OM ,∴(1 ? ? )OM ? 4OM ,∴(? ? 3)OM ? 0 ,

又∵ OM ? 0 ,∴? ? 3 . (3)将 y ? kx ? m 代入 2 x 2 ? y 2 ? 1 得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2kmx ? (m 2 ? 1) ? 0 .
? ? x3 ? ?3 x4 , ? 2(1 ? m 2 ) ?2km ? ∵? ? 3 ,∴ ? x3 ? x4 ? 2 由 . , 消去 x3 、 x4 得 k 2 ? 4m 2 ? 1 k ?2 ? ? m2 ? 1 ? x3 x4 ? 2 k ?2 ?

???? ?

…………10 分

由 ? ? 0 得 k 2 ? 2(m 2 ? 1) ,即

2(1 ? m 2 ) ? 2(m 2 ? 1) , 2 4m ? 1



(m 2 ? 1)m 2 (m ? 1)(m ? 1) ? 0 ,即 ? 0, 2 (2m ? 1)(2m ? 1) 4m ? 1
1 2 1 ? m ? 1. 2

得 ?1 ? m ? ? ,或

…………16 分

19.解: (1)-2011

-

…………3 分

(2)设 A4 : a, aq, aq2 , aq3 ,则 B4 : aq3 , a(?q3 ? q ? 1), a(q3 ? q2 ? 1), a

?q 3 ? q 2 ? 1 ? q ? 则 ??q3 ? q ? 1 ? q 2 ? q ? ?1 ?q ? 1 ?
(3)由 bk ?1 ? bk ? ak ?1 ? ak ? bk ? ak ? ?(bk ?1 ? ak ?1 )

…………8 分

同理 ck ? bk ? ?(ck ?1 ? bk ?1 ) ,所以问题等价于证明 a1 , b1 , c1 成等差数列, 由题意 b1 ? a1 , b1 ? b2 ? a1 ? a2 , b2 ? b3 ? a2 ? a3 ,?, bn?1 ? bn ? an?1 ? an 将上面第 2,4,6,……,n-1 个等式两边同乘以-1, 则 b1 ? an , ?(b1 ? b2 ) ? ?(a1 ? a2 ), b2 ? b3 ? a2 ? a3 ,?, ?(bn?2 ? bn?1 ) ? ?(an?2 ? an?1 ),
(bn?1 ? bn ) ? an?1 ? an

以上 n 的等式相加得 bn ? an ? a1 ? an ? 2an ? a1 , 因为 b1 ? an , c1 ? bn ,所以 c1 ? 2b1 ? a1 ,即 c1 ? a1 ? 2b1 , 所以 a1 , b1 , c1 成等差数列, 从而 ak , bk , ck 成等差数列. 20.解: (1) f (? x) ? ? f ( x) ,? b ? 0 . (2) f ( x) ? ? x3 ? cx , f ?( x) ? ?3x2 ? c . ① c ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x) 单调递减, 若
? f (?2) ? 2 又函数 f ( x) 在 ? ?2,2? 上的值域为 ? ?2,2? ,? ? ,此方程无解.…………4 分 ? f (2) ? ?2

…………16 分 …………2 分

② c ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ? x ? ? 若 (ⅰ )若

c 3

c ? 2 ,即 c ? 12 时,函数 f ( x) 在 ? ?2,2? 上单调递增, 3

? f (2) ? 2 ?? ,此方程组无解; ? f (?2) ? ?2

…………6 分

? c ?f( )?2 c c 3 ? ?2?2 (ⅱ ) 时,即 3 ? c ? 12 时,? ? ,所以 c ? 3 ;…………8 分 3 3 ? f (? c ) ? ?2 ? 3 ?

(ⅲ 2 ? 2 )

? f (2) ? ?2 c 时,即 c ? 3 时,? ? ,此方程组无解. 3 ? f (?2) ? 2

综上,所以 c ? 3
? f ( x) ? ? x3 ? 3x 的零点为: x1 ? 0, x2 ? ? 3, x3 ? 3 .

…………10 分

a (3)由题设得 ( ? a2 ) x3 ? (b ? 2ab) x2 ? (c ? ac) x ? 1 ? 0 恒成立. 3 a 记 F ( x) ? ( ? a2 ) x3 ? (b ? 2ab) x2 ? (c ? ac) x ? 1 , 3 a ? a2 ? 0 ,则三次函数 F ( x) 至少有一个零点 x0 ,且在 x0 左右两侧异号, 3 所以原不等式不能恒成立;
若 所以

a 1 b 2c ? a2 ? 0 ,? a ? ,此时 F ( x) ? x2 ? x ? 1 ? 0 恒成立等价于: 3 3 3 3

?b ? 0 10 . b ? c ? 0 或者 2 0 . ? ? c 2 ? 3b ?? ? 0

在 10 中 a ? b ? c ?

1 3

1 在 2 0 中 a ? b ? c ? ? b ? c ? t ,所以 c2 ? 3t ? 3c ? 1 ? 3t ? c 2 ? 3c ? 1 3 ?3t ? (c2 ? 3c ? 1)min ? ? 5 4
…………16 分

? 5 ? 综上 a ? b ? c 的取值范围是 ? ? , ?? ? . ? 12 ?

附加题参考答案
?1 1? ?1 1? ?1 1? ? 3 2? 2 21B.? A ? ? ? ,? A ? ? 2 1? ? 2 1? ? ?4 3? ? 2 1? ? ?? ? ? ? ?? ? x ? ? ?? ? ? 3 2 ? ? x ? ?1 ? ?3x ? 2 y ? ?1 ? 设 ? ? ? ? ,则 A2 ? ? ? ? ? ? ? y ? = ? 2 ? ? ?4 x ? 3 y ? ? ?2? ? y? ?4 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? 3x ? 2 y ? 1 ? x ? ?1 ?? ,? ? , ?? ? ? ? . ?4 x ? 3 y ? 2 ? y ? 2 ?2?

………………4 分 …………8 分 ………………10 分 ………………3 分

21C.解:直线 l 的普通方程为: x ? 3 y ? 3 6 ? 0 . 设椭圆 C 上的点到直线 l 距离为 d .
| 3 cos? ? 3 sin ? ? 3 6 | d? ? 2 6 sin(? ? ) ? 3 6 4 2

?

………………7 分

∴当 sin(? ?

?

4

) ? 1 时, d max ? 2 6 ,当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d min ? 6 . .……10 分

22.解:解: (1)记“在一次游戏中摸出 k 个白球”为事件 Ak (k ? 0,1, 2,3) . ① P( A3 ) ?
1 C32 C2 1 ? . 2 2 C5 C3 5

----------------------2 分

②P( A2 ? A3 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? (2) P( X ? 0) ?

2 1 1 1 C32 C2 ? C3 C2 C2 1 7 ? ? . 5 10 C52 C32

-------------------5 分

3 3 9 3 21 7 7 49 1 7 . ? ? , P( X ? 1) ? C2 ? ? , P( X ? 2) ? ? ? 10 10 100 10 10 50 10 10 100

①X 的分布列为 X
P

0
9 100

1
21 50

2
49 100

---------8 分
9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? . 100 50 100 5 7 7 7 【或:∵X ? B(2, ) ,∴E ( X ) ? 2 ? ? 】 10 10 5

②X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

-------------------10 分

23.解:解: (1)经计算知 a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? a5 ? (2)下面用数学归纳法证明:当 n ? 5 时,有 an ? 当 n ? 5 时,由(1)可得 an ?

10 , 3

--------- ------------4 分

10 . 3

10 10 假设 n ? k 时, ak ? ? k ? 5? , 3 3 k ?1 k ?1 1 k ?1 1 k ?1 1 ? ? ? ? ?? ? ? k ?1 则 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ---------6 分 k k ? 1 2 k ? 2 22 1 2 k ?1 k ?1? k k 1 k 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? k ?2 ? ? k 2k ? k ? 1 k ? 2 2 1 2 ? k ?1 k ?1 ? ? ak ---------------------------------8 分 k 2k k ? 1 k ? 1 10 k ? 1 8 6 8 10 ? ? ? ? ? ? ? ? . k 2k 3 k 3 5 3 3
所以当 n ? k ? 1 时命题成立 综上,当 n ? 5 时,有 an ?

10 . 3

----------------------------------------------10 分


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